高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

一、填空題(本大題共有14小題,每小題5分，計(jì)70分)

3.底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3的圓錐的體積是______.

4.在三張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各一張,另一張無獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取一張(不放回),兩人都中獎(jiǎng)的概率為______.

5.根據(jù)如圖所示的偽代碼,已知輸出值y為3,則輸入值x為______.

Readx

Ifx≥0 Then

y←sinx

Else

y←x2-1

End If

Prindy

6.已知樣本6,7,8,9,m的平均數(shù)是8,則方差是______.

10.已知正實(shí)數(shù)x、y滿足x+4y-xy=0,若x+y≥m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.

12.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+2xy-1=0,則x2+y2的最小值是______.

二、解答題(本大題共6小題,計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

16.(本小題滿分14分)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分別為BB1、AC的中點(diǎn).求證:

(1)BF∥平面A1EC;

(2)平面A1EC⊥平面ACC1A1.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若y軸被?ABC的外接圓所截得的弦長(zhǎng)為9,求橢圓的方程.

(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí),求此時(shí)小路BD的長(zhǎng)度.

19.(本小題滿分16分)在數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)對(duì)任意正整數(shù)n都成立,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列,且對(duì)任意相鄰三項(xiàng)am、am+1、am+2按某順序排列后成等差數(shù)列?若存在,求出所有k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.718…).

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若函數(shù)y=f(x)g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;

參考答案

一、填空題

二、解答題

16.(1) 連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)O,連結(jié)OE、OF.

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以O(shè)A=OC1.

又BF?平面A1EC,OE?平面A1EC,所以，BF∥平面A1EC.

(2)因?yàn)锳B=CB,點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),所以BF⊥AC.由(1)知BF∥OE,所以O(shè)E⊥AC.

因?yàn)锳A1⊥底面ABC,而BF?底面ABC,所以AA1⊥BF.

由BF∥OE,得OE⊥AA1,而AA1、AC?平面ACC1A1,且AA1∩AC=A,所以O(shè)E⊥平面ACC1A1.因?yàn)镺E?平面A1EC,所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.

SABCD=S?ABD+S?BCD

若am+1為等差中項(xiàng),則2am+1=am+am+2,即2am=am-1+am+1,解得a=1,不合題意.

n=1時(shí)上式也成立.

20.(1)f(x)=(3-x)ex，f′(x)=(2-x)ex，令f′(x)=0，解得x=2.

易見x∈(-∞,2)時(shí)，f′(x)>0,f(x)單調(diào)增；x∈(2,+∞)時(shí)，f′(x)<0,f(x)單調(diào)減.

故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值f(2)=e2，無極小值.

r′(x)=x(1-x)ex,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，r′(x)>0,r(x)單調(diào)增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，r′(x)<0,r(x)單調(diào)減.

由h′(x2)=0,得a=ex2(-x22+3x2-3)，故

令H(x)=ex(2-x)，則H′(x)=ex(1-x),當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，H′(x)<0,H(x)單調(diào)減.

由h(x)的極小值小于整數(shù)b,可知滿足題意的整數(shù)b的最小值為4.

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且x2≥e,|f(x1)-f(x2)|≥m恒成立,求m的最大值．

解(1)略.

(2)依題意，x1、x2是方程x2+ax+1=0的兩根，故x1+x2=-a,x1x2=1.