例談解析幾何中的“隱形圓”問題

許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué)，224700)

解析幾何中的圓在歷年高考中都會(huì)出現(xiàn).對(duì)于那些簡單的圓的問題，很多學(xué)生能夠快速并且準(zhǔn)確地解答；但有些問題的條件中沒有直接給出圓方面的信息,而是隱藏在題目中,需要通過分析和轉(zhuǎn)化才能發(fā)現(xiàn)的圓,再利用圓的知識(shí)來解決問題.后一類問題不妨稱為“隱形圓”問題，它常使學(xué)生束手無策，需要同學(xué)們對(duì)此類問題有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí).本文舉例說明在相關(guān)問題中發(fā)現(xiàn)隱形圓的常用策略，供參考．

題型1利用圓的定義確定隱形圓

題型2利用動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)張角為直角確定隱形圓

例2若實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，且點(diǎn)P(-1,0)在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)M,定點(diǎn)N(3,3),則線段MN長度的最大值是______.

解因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,即0=a-2b+c,直線ax+by+c=0恒過定點(diǎn)Q(1,-2).

題型4利用兩個(gè)定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=D(常數(shù))確定隱形圓.

例4在?ABC中,A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若a2+b2+2c2=8，則?ABC面積的最大值為______.

評(píng)注若A、B為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=λ(λ>0),很快可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)符合圓的一般方程．