選用合適的方法，提升解答偶函數(shù)不等式問(wèn)題的效率

函數(shù)不等式問(wèn)題比較常見(jiàn)，其中偶函數(shù)不等式問(wèn) 題主要考查基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)，以及偶函數(shù) 的定義、圖象的應(yīng)用.筆者對(duì)一道偶函數(shù)不等式問(wèn)題的 解法進(jìn)行了深入的探討，并對(duì)這一類問(wèn)題及其解法進(jìn) 行歸納總結(jié).

題目：

一、分類討論法

對(duì)于偶函數(shù)而言，在 y 軸左右兩側(cè)的函數(shù)圖象關(guān) 于 y 軸對(duì)稱，因而兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性往往不相同，那 么就需分 x lt; 0 和 x gt; 0 兩種情況進(jìn)行分類討論，分別 根據(jù)當(dāng) x lt; 0 和 x gt; 0 時(shí)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ f ”，再求兩個(gè)不等式的并集.

解：當(dāng)xlt;0時(shí)，-xgt;0，所以f（x）=f（-x）=x2+4x，

則f（x）=〈?x2（ìx2）4x（4x）x（x），

當(dāng)x+2≥0，即x≥-2時(shí)，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）

=x2-4lt;5，

即-3lt;xlt;3，所以-2≤xlt;3；

當(dāng)x+2lt;0，即xlt;-2時(shí)，f（x+2）=（x+2）2+4（x+2）

=x2+8x+12lt;5，

即-7lt;xlt;-1，所以-7lt;xlt;-2.

所以不等式f（x+2）lt;5的解集是{x|-7lt;xlt;3}.

我們將偶函數(shù)看作分段函數(shù)，分別在x≥-2和xlt;-2兩種情況下，解不等式f（x+2）lt;5，最后取兩個(gè)不等式的并集，即可解題.

二、利用偶函數(shù)的性質(zhì)

偶函數(shù)的基本性質(zhì)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.解答偶函數(shù)不等式問(wèn)題，可從圖象入手，利用圖象的對(duì)稱性，根據(jù)其中一半圖象上的點(diǎn)的集合研究另一半圖象上點(diǎn)的集合，進(jìn)而求得函數(shù)不等式的解集.

解：

根據(jù)已知的解析式算出函數(shù)不等式在 x ≥ 0 上的 解集后，只需要利用偶函數(shù)的對(duì)稱性即可得到另一 半，即 x lt; 0 時(shí)不等式的解集.運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)解題， 需熟悉偶函數(shù)的圖象和定義，據(jù)此建立關(guān)系式.

三、轉(zhuǎn)化法

對(duì)于偶函數(shù)，當(dāng)其自變量的絕對(duì)值相等時(shí)，其函 數(shù)值相等.根據(jù)偶函數(shù)的這一特性，我們可以采用轉(zhuǎn)化 法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式問(wèn)題來(lái)求解，通過(guò)建 立絕對(duì)值不等式來(lái)求得問(wèn)題的答案.

解：

使用轉(zhuǎn)化法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f （x）= f （|x|）lt; f （5） ，便 可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為 |x + 2| lt; 5 ，求得 該不等式的解集，即可解題.

可見(jiàn)解答偶函數(shù)不等式問(wèn)題，可以從偶函數(shù)的解 析式入手，也可以從偶函數(shù)的圖象入手，還可以將其 進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論運(yùn)用哪種方法求解，同學(xué)們都需靈 活運(yùn)用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)單調(diào)性 問(wèn)題，從而去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)不 等式問(wèn)題來(lái)求解.

（作者單位：江蘇省鹽城市濱海縣東元高級(jí)中學(xué)）