他山之石，也可攻玉

葛雨春

[摘? 要] 類(lèi)比是運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去解決新的類(lèi)似問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方法. 其作為數(shù)學(xué)學(xué)科最重要的思想方法之一，讓學(xué)生掌握類(lèi)比的方法，是幫助學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知圖式、提高問(wèn)題解決能力的重要途徑. 文章以初中幾何為例，探討了幾種類(lèi)比方法的實(shí)踐應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);類(lèi)比思想;初中幾何;課堂教學(xué)

類(lèi)比是一種學(xué)習(xí)的方法. 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，類(lèi)比作為數(shù)學(xué)思想之一，占據(jù)著重要的地位，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全過(guò)程. 類(lèi)比思想的具體表現(xiàn)，可通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段反映出來(lái). 其中，在小學(xué)階段，類(lèi)比的主要特征是模仿;在初中階段，類(lèi)比的主要特征是運(yùn)用學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解決同類(lèi)問(wèn)題;在高中階段，類(lèi)比的主要特征是知識(shí)遷移;而在大學(xué)階段，類(lèi)比則表現(xiàn)在能力遷移層面. 由此可見(jiàn)，讓初中生掌握類(lèi)比的思想方法，對(duì)他們當(dāng)下以及未來(lái)的學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)具有重要的意義. 類(lèi)比的方法有很多種，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在解決不同問(wèn)題時(shí)運(yùn)用不同的類(lèi)比方法，以此拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的靈動(dòng)思維. 本文以初中幾何為例，探討了幾種類(lèi)比方法的應(yīng)用.

圍繞“線(xiàn)少”與“線(xiàn)多”進(jìn)行類(lèi)比

幾何的研究重點(diǎn)是空間結(jié)構(gòu)，而構(gòu)成空間結(jié)構(gòu)的要素之一，是“線(xiàn)”. 對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，初次接觸難度較大的幾何知識(shí)時(shí)，他們往往會(huì)對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的幾何線(xiàn)感到力不從心，進(jìn)行計(jì)算時(shí)容易出錯(cuò)，主要原因在于，初中生缺少縝密的思維，分析問(wèn)題時(shí)缺乏條理性，難以區(qū)分相似問(wèn)題之間的差異，過(guò)于依賴(lài)概念或定義，從而加大了解題的難度. 為此，教師可從“線(xiàn)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞幾何線(xiàn)展開(kāi)類(lèi)比：首先明確“線(xiàn)”在問(wèn)題中所表達(dá)的含義;其次，理順解題思路.

例1? 如圖1，點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE和BE分別平分∠CAB和∠CBD. 設(shè)∠C=x°，∠E=y°，求證：y=■x.

分析？搖 很多學(xué)生在解決這一問(wèn)題時(shí)，容易把注意力放在“∠C=x°，∠E=y°”這一已知條件上，分析“AE和BE分別平分∠CAB和∠CBD”與“∠C=x°，∠E=y°”之間的關(guān)聯(lián)性，而忽略了“線(xiàn)”在這一問(wèn)題中所占據(jù)的重要地位. 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，“線(xiàn)”是構(gòu)成“角”的重要前提. 分析本題中包含了幾條線(xiàn)，及它們的主次，“線(xiàn)”越多，本題的難度越大，而探析主要“線(xiàn)”與“y=■x”之間的聯(lián)系，才是解決這一問(wèn)題的正確突破口，如AE和BE對(duì)∠CAB和∠CBD的影響. 在這樣的前提下，我們可以引導(dǎo)學(xué)生回歸到最初的解題思路上，從而分析已知條件.

解答？設(shè)∠CBE=∠DBE=a°，∠CAE=∠EAB=b°，則有2a=2b+x，a=b+y. 所以2（b+y）=2b+x，解得y=■x.

例2？搖 如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE和AF三等分∠CAB，BE和BF三等分∠CBD. 設(shè)∠C=x°，∠E=y°，試用x表示y.

分析 此題與例1相比，明顯加大了難度. “AE和AF三等分∠CAB，BE和BF三等分∠CBD”，隨著“線(xiàn)”的增多，角也增多了，學(xué)生分析問(wèn)題的過(guò)程也將更加煩瑣. 為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，借鑒解決例1的思路和方法，仍然從“線(xiàn)”入手，首先分析本題中包含了哪些“線(xiàn)”及其主次，如此題仍然以△ABC為研究對(duì)象，但增加了AF和BF兩條線(xiàn)，雖然如此，仍然可以采用相同的方法來(lái)解決本題.

解答設(shè)∠CBF=∠FBE=∠EBD=a°，∠CAF=∠FAE=∠EAD=b°，則3a=3b+x，a=b+y. 所以3（b+y）=3b+x，解得y=■x.

初中生的幾何知識(shí)基礎(chǔ)較為薄弱，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力，為此，教師可從類(lèi)比思想的簡(jiǎn)單應(yīng)用入手，首先讓學(xué)生了解什么是類(lèi)比思想方法，其次由淺至深，引導(dǎo)學(xué)生以“線(xiàn)”為切入點(diǎn)，從“線(xiàn)少”向“線(xiàn)多”類(lèi)比，逐漸加大解題難度，讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比不斷提高能力層次，從而提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力.

圍繞“形內(nèi)”與“形外”進(jìn)行類(lèi)比

“形”是幾何的靈魂，學(xué)習(xí)初級(jí)幾何知識(shí)或解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是平面圖形還是立體圖形，都需要先從“形”入手，分析幾何圖形的特征，梳理已知條件，來(lái)確定解決問(wèn)題的思路和方法. 而“形”也是數(shù)學(xué)的另一個(gè)思想方法——數(shù)形結(jié)合的構(gòu)成要素之一，以形定數(shù)，以數(shù)解形，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具象化，對(duì)提高學(xué)生的解題效率具有重要意義. 因此，教師可圍繞“形”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例3？搖 如圖3，在△ABC中，D，E分別在AB和AC上，如果沿著DE折疊△ABC，點(diǎn)A恰好落在△ABC內(nèi)的點(diǎn)F處，求證：∠1+∠2=2∠DAE.

分析此題最大的特點(diǎn)是涉及的角眾多. 面對(duì)本題，學(xué)生易被折疊前與折疊后△ABC的變化及其角的相互聯(lián)系所誤導(dǎo)，從∠ADE和∠DFE的視角來(lái)分析本題，而忽略了所有計(jì)算活動(dòng)都在△ABC的形內(nèi)完成，即點(diǎn)A落在點(diǎn)F上之后，∠DFA，∠DAF與∠1，∠2之間的關(guān)聯(lián). 因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以“形”為切入點(diǎn)，運(yùn)用所學(xué)的翻折變換相關(guān)知識(shí)，來(lái)解決“形”的折疊問(wèn)題.

解答？搖 連接AF，則∠1=∠DFA+∠DAF，∠2=∠EFA+∠EAF. 所以∠1+∠2=∠DFE+∠DAE. 又由翻折知∠DFE=∠DAE，所以∠1+∠2=2∠DAE.

例4 （在例3圖形的基礎(chǔ)上，由“形內(nèi)”向“形外”拓展）如圖4，在△ABC中，D，E分別在AB和AC上，沿著DE折疊△ABC，使點(diǎn)A落在△ABC外的點(diǎn)F處，探究∠1，∠2，∠BAC三者之間的關(guān)系.

分析 本題的突破口仍然在于點(diǎn)A與點(diǎn)F的重疊上，然而，即便有了例3的解題經(jīng)驗(yàn)，但慣性思維會(huì)使初中生仍然將注意力停留在∠ADE和∠DFE層面，而忽略了點(diǎn)F在△ABC外，以及折疊后出現(xiàn)的∠DFA和∠DAF. 與“形內(nèi)”解題不同，在“形外”解題時(shí)學(xué)生會(huì)遇到很多的隱性條件，尤其是因幾何圖形變化而衍生出新的圖形. 如本題中，沿DE向外折疊，連接AF后便給出了解題的基本方向，即∠1=∠DFA+∠DAF，∠2=∠EFA+∠EAF.

解答連接AF，則∠1=∠DFA+∠DAF，∠2=∠EFA+∠EAF. 所以∠2-∠1=∠EFA+∠EAF-∠DFA-∠DAF=∠EFD+∠EAD. 由翻折知∠EFD=∠EAD，所以∠2-∠1=2∠EAD=2∠BAC.

對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，“形內(nèi)”解題難度較小，關(guān)鍵在于學(xué)生能否建立起“形”的概念，能否在面對(duì)一道幾何題時(shí)首先由“形”入手，建立起契合幾何知識(shí)特性的解題觀(guān)，進(jìn)而通過(guò)類(lèi)比遷移，運(yùn)用幾何的思想方法，來(lái)解決學(xué)習(xí)和生活中遇到的幾何問(wèn)題. 因此，圍繞“形內(nèi)”與“形外”進(jìn)行類(lèi)比，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.

圍繞“一般”與“特殊”進(jìn)行類(lèi)比

在幾何圖形中，一般圖形所涵蓋的范圍較大，如正方形、長(zhǎng)方形、三角形等. 相較之下，特殊圖形往往是由一般圖形變化而來(lái)的，如上述案例中的圖形折疊. 因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生圍繞“一般圖形”與“特殊圖形”進(jìn)行類(lèi)比，充分運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)化遇到的幾何問(wèn)題，用類(lèi)比的思想方法進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，從而降低解題難度，提高解題能力.

例5如圖5，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)P在BC上，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，求證：PD+PE=CF.

分析面對(duì)這道幾何題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從三角形的概念入手，首先將該題轉(zhuǎn)化為一般圖形，運(yùn)用之前學(xué)過(guò)的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，從垂直的角度，先連接AP，然后通過(guò)分析圖形得出PD，PE，CF均為三角形的高這一結(jié)論，最后通過(guò)計(jì)算確定三者之間的數(shù)量關(guān)系.

解答？搖 連接AP，因?yàn)镾■+S■=S■，又PD，PE，CF分別是△APB，△APC和△ABC的高，所以■·AB·PD+■·AC·PE=■·AB·CF. 又AB=AC，所以PD+PE=CF.

例6？搖 （在例5的基礎(chǔ)上，教師可以將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形）如圖6，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，探究PD，PE，CF之間的數(shù)量關(guān)系.

分析 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，初中生對(duì)幾何中一般圖形的認(rèn)識(shí)和理解根深蒂固，相關(guān)概念較為簡(jiǎn)單，因此能夠充分地應(yīng)用于解決新問(wèn)題中. 如例5，△ABC作為“一般圖形”，學(xué)生對(duì)相關(guān)概念較為熟悉，能夠從PD，PE，CF入手，通過(guò)三角形的高來(lái)化解問(wèn)題. 而轉(zhuǎn)化圖形（例6）后，學(xué)生通過(guò)已有經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用類(lèi)比的方法來(lái)解決關(guān)于“特殊圖形”的復(fù)雜問(wèn)題，也會(huì)更加得心應(yīng)手，且能提高解題的準(zhǔn)確度和有效性.

解答 連接AP，因?yàn)镾■+S■=S■，又CF，PE，PD分別是△ABC，△ACP和△ABP的高，所以■·AB·CF+■·AC·PE=■·AB·PD. 又AB=AC，所以CF+PE=PD.

一般來(lái)說(shuō)，初中生的數(shù)學(xué)思維模式還較為簡(jiǎn)單，對(duì)于已經(jīng)接觸過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法，很多時(shí)候還不懂得如何運(yùn)用，為此，教師可以立足初中生的實(shí)際情況，由簡(jiǎn)入繁，讓學(xué)生圍繞“一般”和“特殊”進(jìn)行類(lèi)比，以此來(lái)鞏固學(xué)生的已學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生建立新的認(rèn)知圖式.

結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)實(shí)踐中，可應(yīng)用的類(lèi)比方法還有很多，如幾何圖形的“同側(cè)”與“異側(cè)”類(lèi)比，點(diǎn)、線(xiàn)、面的類(lèi)比，圖形構(gòu)成元素的類(lèi)比，等等. 總之，作為一線(xiàn)教師，應(yīng)充分認(rèn)識(shí)類(lèi)比思想在初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的重要性，進(jìn)而因地制宜，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)類(lèi)比思想方法，為學(xué)生打造一個(gè)類(lèi)比遷移的學(xué)習(xí)平臺(tái)，從而為學(xué)生當(dāng)前和以后的學(xué)習(xí)奠基，推動(dòng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的道路上一路前行.