“抽屜原則” 在初中幾何教學中的應用

徐秀賢

摘 要： 如何提高素質(zhì)教育、豐富課堂教學、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、給學生在課堂上創(chuàng)造動手的機會，本文列舉了在初中幾何教學中遇到的：直線與直線的位置關(guān)系，點和直線的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，以及運用反證法證明“如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓”等內(nèi)容，利用“抽屜原理”，給學生先下一個斷言，造成一種懸念，激發(fā)學生的學習興趣，通過動手作圖，小組討論，最后得出結(jié)論，以達到培養(yǎng)學生探究習慣和創(chuàng)新精神的目的。

關(guān)鍵詞： 抽屜原理 初中幾何 教學應用

“抽屜原則”也叫“抽屜原理”。其具體意義是：把m+l（或更多）件物體任意放入m個抽屜里，則至少有一個抽屜里放入物體的件數(shù)不小于2（m為正整數(shù)）。這種具有某種物質(zhì)的對象的存在性無處不在，已被廣泛應用到現(xiàn)實生活中。打個比方：兩個抽屜里要放三本書，可以斷言：“其中有一個抽屜里至少要放兩本書?！泵鞔_了這一原理，不難發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)實生活中經(jīng)常有類似的問題。如果三個蘋果要分給兩個小孩，其中有一個至少要得到兩個。又如：一組十三位的同學，他們當中至少有兩位同學是同月出生。若把這個有趣的原理應用到初中幾何教學中，能便抽象的知識更加具體、形象，對激發(fā)學生的學習熱情、啟發(fā)學生的思維具有獨特的效果。

在學習“在同一個平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交”這一內(nèi)容時，為了使學生加深印象，給學生動手的機會。授課時可讓每位學生先各畫兩條直線，然后三個同學組成一個小組進行觀察總結(jié)位置關(guān)系的情況，登記兩條直線相交或平行的情況。最后老師可下個斷言：“在你們的每個小組中所畫的直線至少有一種（相交或平行）重復，然后請學生檢驗老師的斷言是否正確。并且請學生總結(jié)在三個同學中所畫可能出現(xiàn)的情況：1.三組平行線；2.兩組平行線，一組相交；3.一組平行線，兩組相交；4.三組都相交。在這四種情況中都有重復出現(xiàn)。亦可讓每位學生各畫三組直線：l■與l■，l■與l■，l■與l■，然后請學生觀察所畫的各組直線中是否存在重復的情況。其結(jié)果將和上例是相同的。當老師的斷言得到證實之后，可引導學生探索為何會出現(xiàn)重復情況呢？學生就不難發(fā)現(xiàn)兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種，因此多出一組就會重復出現(xiàn)。使學生明確這一道理后，就可以得出結(jié)論：“在同一個平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行?！痹谶@里還可以引申不在同一個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系有什么不同？讓學生思考、想象。采用這種教學法，先給學生下個斷言，給學生造成一種懸念，吸引了學生的注意力，引起了學生的學習興趣，同時讓給學生既動腦又動手。從親自作圖中找出答案，使學生易于接受，既理解又牢記。

在點和直線的位置關(guān)系的教學中亦可應用“抽屜原理”協(xié)助教學?？梢韵茸寣W生畫一條直線l，然后再畫出三個點：點A，點B，點C之后，老師可下一個斷言：“你們每位同學所畫的三個點中，在直線上或直線外，至少有兩點的位置是一樣的。這時學生的心理會產(chǎn)生懷疑，會力求找個不同位置使之不重復。此時可引導學生觀察對這一問題存在的幾種可能性。將出現(xiàn)的情況是：三點都在直線l上；兩點在直線l上，一點在直線l外；一點在直線l上，兩點在直線l外；還有三點都在直線l外。同時證實了老師的結(jié)論是正確的。使學生觀察到：在同一平面內(nèi)，點和直線的位置關(guān)系只有點在直線上和點在直線外兩種。學生通過自己作圖得出的結(jié)論將會留下深刻的印象。雖然這一問題不難理解，若老師僅作講解，沒有讓學生實踐體驗，就不會有這樣的效果。

又如在“直線和圓的位置關(guān)系“的教學中，同樣可以采用“抽屜原理”。讓學生畫出一個圓和四條直線之后，請學生觀察直線和圓的交點情況：有兩個交點，一個交點和沒有交點。因此，四條直線和圓的位置關(guān)系中至少要有上述情況中的一種情況重復出現(xiàn)。從而得出：在同一平面內(nèi)直線和圓的位置關(guān)系有相交、相切和相離三種情況（它們分別是兩個交點、一個交點和沒有交點）。學生通過自己作圖，有些同學可能會僅僅作出某種情形中的一種：如四條直線都和圓相離。若老師事先給他下個斷言學生就會力求作出不重復的現(xiàn)象。結(jié)果還是重復出現(xiàn)了。這時學生就會聯(lián)想到若畫三條直線，可以不使某種情況重復出現(xiàn)（即一條相離，一條相切，一條相交）。這時學生就會明白一個道理，圓和直線只有三種位置關(guān)系，四條直線自然會有重復出現(xiàn)。從而使學生對圓和直線的位置關(guān)系這一抽象的知識了解得更全面、更透徹，并留下深刻的印象。

圓和圓的位置關(guān)系較復雜，有外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含等五種情況。同樣可以利用抽屜原理協(xié)助教學?？梢哉垖W生先畫一個大圓，再畫出六個小圓，同樣有類似的重復現(xiàn)象出現(xiàn)。這時可采用抽樣調(diào)查的方法，把抽到的同學所出現(xiàn)的位置關(guān)系情況進行列表登記，可以發(fā)現(xiàn)每個同學中所畫的圓與圓的位置關(guān)系中至少有一種是重復的。也從抽樣中發(fā)現(xiàn)有五種不同的位置關(guān)系。從而總結(jié)出圓和圓的位置關(guān)系，這樣可以使學生學會作出圓和圓的各種位置關(guān)系圖，對于兩圓的各種位置關(guān)系的認識更深刻。

用反證法證題時須考慮可能出現(xiàn)的幾種情況，亦可以應用“抽屜原理”。如在證明定理“如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓”。因為不在同一條直線上的三點可以確定一個圓，那么第四點能否落在這個圓上？用反證法證明要考慮到點和圓的位置關(guān)系。為了培養(yǎng)學生對問題看法的全面性，可以讓學生作一個三角形的外接圓，因為點A、點B、點C都在圓上，所以四邊形的ABCD的第四個頂點D是否在圓上。若要求學生畫出點D的四個位置，使學生力求找出不同位置，當學生找出三種不同位置后再找就出現(xiàn)重復。這樣學生就會明確點和圓的位置關(guān)系只有在圓內(nèi)、圓上和圓外三種情況。因此，證明時應從這三方面入手。這種教學方法會引起學生在用反證法證明的過程中，注意對某種問題進行多方面考慮，培養(yǎng)學生分析問題的全面性，在分析問題的同時，思考還有沒有不同的情況。

素質(zhì)教育必須發(fā)揮學生的主觀能動性，展開積極思維，學會從不同角度、不同方法思考問題，帶著懷疑的態(tài)度分析、探索。應用“抽屜原理”協(xié)助教學，首先給某個問題下個斷言，給學生創(chuàng)造一種懸念，集中了學生的注意力。讓學生帶著懷疑的態(tài)度去思考、去作圖、去驗證，從而得出正確的結(jié)論。培養(yǎng)學生從實踐中總結(jié)經(jīng)驗，提高對事物看法的全面性和分析問題、解決問題的能力。