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    一階微分方程的初等解法及應(yīng)用

    2016-10-09 08:53:28
    考試周刊 2016年76期
    關(guān)鍵詞:教學(xué)應(yīng)用

    周靈睿

    摘 要: 隨著常微分方程在實(shí)際生活中變得越來越重要,因此研究常微分方程的解題方法變得十分必要.本文主要介紹一階微分方程的初等解法及其某些實(shí)際應(yīng)用,初等積分法是一階常微分方程最基本的解法,它主要在于把求解問題向積分問題轉(zhuǎn)化,求解的表達(dá)式由初等函數(shù)或者超越函數(shù)表示,而能用這種方法求解的微分方程稱為可積方程.本文就一般的可積方程進(jìn)行歸納,由抽象到一般,總結(jié)出具體規(guī)律.

    關(guān)鍵詞: 一階常微分方程 初等解法 教學(xué)應(yīng)用

    一階常微分方程是數(shù)學(xué)中常見而基礎(chǔ)的一類微分方程,通常寫成如下的形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)(因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均為一次的).

    如果Q(x)恒等于零,則方程稱為齊次的;

    如果Q(x)不恒等于零,則方程稱為非齊次的.

    一階微分方程的解法技巧性很強(qiáng),下面我將介紹一些簡(jiǎn)單的方法和其應(yīng)用,如變量變換法,常數(shù)變易法,恰當(dāng)微分方程的求法及一階隱式微分方程的參數(shù)表示法.

    一、分離變量法

    如果一個(gè)一階常微分方程能寫成如下形式:

    五、伯努利方程

    像+P(x)y=Q(x)y這樣的方程我們稱之為伯努利微分方程,令u=y,有du=(1-n)ydy,代入得到+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x),下面的解法就與齊次微分方程一樣了.

    六、結(jié)語

    一階常微分方程的解法就是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成為積分問題.然而對(duì)于給定的常微分方程,未必都恰好是本文所介紹過的幾種類型,因此,在解一階常微分方程時(shí),不僅要準(zhǔn)確判斷它屬于哪種類型,還需要注意解題技巧,再根據(jù)方程本身的特點(diǎn),引出變換,將方程轉(zhuǎn)化為我們所能求的類型.

    參考文獻(xiàn):

    [1]伍卓群,李勇編.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

    [2]周義倉.常微分方程及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

    [3]王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程[M].北京:高等教育出版社出版,2008.

    [4]石瑞青,閆曉紅,郭紅建.常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解[M].北京:中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2009.

    [5]陳文燈,黃先開.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2011.

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