復(fù)習(xí)課堂中的生長數(shù)學(xué)

朱鳴

[摘? 要] 在八年級上學(xué)期期末復(fù)習(xí)教學(xué)中，將軸對稱、二次根式、一次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容一網(wǎng)打盡，充分挖掘其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，借助數(shù)形結(jié)合的“原動力”、分類討論的“生長節(jié)”、假設(shè)方程的“選擇器”，作為后續(xù)課堂“生長數(shù)學(xué)”教學(xué)的開端，使數(shù)學(xué)知識和方法在此生根發(fā)芽，茁壯成長.

[關(guān)鍵詞] 生長數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課堂;勾股定理

生長數(shù)學(xué)下的價值判斷

1.？搖授課對象

本節(jié)內(nèi)容授課對象為某實驗初中八年級平行班學(xué)生.

2.搖教材分析

所用教材為蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué) 》（八年級上冊）. 教學(xué)內(nèi)容為 “勾股定理”“勾股定理的逆定理”“勾股定理的簡單應(yīng)用”等相關(guān)課程. 如果期末復(fù)習(xí)只拘泥于以上內(nèi)容，在這個框框內(nèi)翻轉(zhuǎn)騰挪，那培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力的效果不免要打折扣.

3.搖學(xué)情分析

學(xué)期已步入尾聲，學(xué)生較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了“軸對稱圖形”“勾股定理”“實數(shù)”“平面直角坐標(biāo)系”“一次函數(shù)”等相關(guān)知識，學(xué)生對于以上各獨立的知識或許掌握尚可，但若通過某一堂課或緊密相連的幾節(jié)課將八年級上冊所學(xué)知識較系統(tǒng)、有邏輯地加以綜合，學(xué)生會倍感吃力. 基于上述的教材觀、學(xué)生觀、教學(xué)觀，可以確定下列教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點.

4.搖目標(biāo)要求

教學(xué)目標(biāo)：

①了解勾股定理的代數(shù)表示和幾何意義，能夠靈活運用勾股定理解決一些問題.

②通過具體問題，進一步掌握數(shù)形結(jié)合、分類、方程等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展合情推理和演繹推理能力.

③回顧本章所學(xué)知識和方法，對本章知識進行梳理，使所學(xué)知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，進一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

教學(xué)重點：數(shù)形結(jié)合視角下的勾股定理應(yīng)用.

教學(xué)難點：建構(gòu)章節(jié)知識體系，初步感受在分類思想下使用方程研究問題的一般科學(xué)方法.

價值判斷下的活動設(shè)計

1. 建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

教師：學(xué)期步入尾聲，今天這節(jié)課，老師想和同學(xué)們復(fù)習(xí)一下“勾股定理”的相關(guān)內(nèi)容（板書課題：勾股定理復(fù)習(xí)）. 在開始前，我們不妨先熱身一下.

問題1：已知，如圖1，直線解析式y(tǒng)=-■x+6 與x軸、y軸分別交于點B、點A.

教師：請直接說出A，B的坐標(biāo).

學(xué)生1：A（0，6）， B（8，0）.

教師：請計算一下A，B兩點之間的距離.

學(xué)生2：AB=10，由圖形中的直角三角形出發(fā)，利用勾股定理，直接計算斜邊長.

教師：學(xué)生2回答的思路十分清晰，那還有其他方法可以求出AB兩點之間的距離嗎？

學(xué)生2：不知道了.

學(xué)生3：（舉手示意）兩點之間距離公式AB=■，代入即可.

教師：計算A，B兩點之間的距離，這個距離公式正是源自于勾股定理. 那如何計算點O到線段AB的距離呢？同學(xué)們可以花2分鐘時間，著手解決一下.

學(xué)生4：等積法，距離為■.

教師：學(xué)生4反應(yīng)很快. 我們發(fā)現(xiàn)在初中階段，和兩點之間的距離相對照，點線之間的距離問題常使用等積計算來解決.

問題2：已知，如圖2，將點B沿平行于y軸的直線向上平移10個單位到C點，在x軸上找一點P，使AP與CP的距離之和最小.

教師：請各位拿出作圖工具，在活動單上找出點P，并求出此時的距離和，可以花5分鐘來解決問題.？搖（教師巡視，由于時間間隔較久，學(xué)生對于利用“小馬喝水”這類模型，結(jié)合期初“軸對稱”章節(jié)中的中垂線性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決這個問題顯得較為生疏）

教師：好，時間到了，有誰能解決這個問題？

學(xué)生5：（上臺展示）這是一個“小馬喝水”問題，關(guān)鍵是找出對稱點，然后構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解決.

教師：學(xué)生5在幫大家回憶往昔，常規(guī)思路，常規(guī)操作！那你們能求出此時的P點坐標(biāo)嗎？

學(xué)生6：可以使用“一次函數(shù)”來解決問題，由確定的兩點，解出直線解析式，然后求出其與x軸交點的坐標(biāo)，就是P點的坐標(biāo)了.

教師：學(xué)生6提供了一種我們現(xiàn)有水準(zhǔn)可以解決問題的方法，十分不錯. 今后，隨著學(xué)習(xí)進程加深，此類問題還可以采用其他的方法來解決，例如“相似”.

教師：同學(xué)們，以上兩個問題有圖有真相，然后再使用代數(shù)的方式寫寫算算，如果我們將這兩者結(jié)合起來看，就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本方法，你們覺得這種方法叫什么？

學(xué)生7：數(shù)形結(jié)合.

教師：（板書：數(shù)形結(jié)合）言簡意賅！

問題3：已知，如圖3，x軸上有一動點P，與點A，B構(gòu)成一個三角形，若AB=10，AP=2■，BP邊上的高為6.

教師：請自行作圖，求出△ABP的面積.

學(xué)生8：（上臺展示，只展示了P點在O點右側(cè)的情況）？搖？搖？搖？搖？搖

學(xué)生9：還有，還有. （上臺展示， P點在O點左右兩側(cè)的情況都考慮了）

教師：這個問題蘊含什么數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生（齊）：分類思想.

教師：典型的分類思想. （板書：分類思想）世間萬事不是非黑即白，我們在今后的生活和學(xué)習(xí)中要學(xué)會全方位、多角度地思考問題，分門別類，有條不紊地解決問題.

問題4：已知，如圖4，若點P是x軸上的一個動點，當(dāng)P運動到∠OAB的平分線上時，求此時點P的坐標(biāo).

教師：又來一個求坐標(biāo)的問題，能用先前的方法解決嗎？如果不行，該怎么辦？

教師：學(xué)生10，能解決嗎？

學(xué)生10：（搖頭）不會.

學(xué)生11：（搖頭）沒有思路.？搖？搖？搖？搖

教師：（提示）在問題陷入“絕境”時，你不妨假設(shè)已經(jīng)找到了這點，在“軸對稱”這一章中，你們剛剛用過了“中垂線的性質(zhì)”那還有什么性質(zhì)呢？

學(xué)生12：角平分線性質(zhì).

教師：（微笑點頭）

學(xué)生13：（上臺展示）由角平分線性質(zhì)知道OP與P到AB的距離相等，構(gòu)造直角△PHB，利用勾股定理來解決問題.

教師：具體一點.

學(xué)生13：我是設(shè)OP為x，則BP=8-x，PH=x，BH=4.

教師：（轉(zhuǎn)向班內(nèi)學(xué)生）能理解BH=4嗎？

學(xué)生13：就是10減去6嘛（向同學(xué)解釋）.

教師：至此問題解決了. 學(xué)生13，這是一種什么數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生13：設(shè)x.

教師：設(shè)x一般是用來干什么的？高大上一點.

學(xué)生13：建立方程.

教師：很機靈?。ò鍟悍匠趟枷耄┮话銇碚f，在著手解決與勾股定理緊密相連的問題時，上述三種思想方法經(jīng)常出現(xiàn)，頻繁使用.

問題5：已知，如圖5，若點P是x軸上的一個動點，當(dāng)P運動到一定位置，使△ABP成為一個等腰三角形，求此時點P的坐標(biāo).

教師：今天坐標(biāo)求得真不少，請同學(xué)們對照前后，看一下此問題中P點坐標(biāo)的求解是否和先前一樣？

學(xué)生14：好像和上一題類似，但又不盡相同，我覺得要分一下類吧.

教師：怎么分呢？

學(xué)生14：我有點忘了……

教師：沒事，哪位可以幫一下學(xué)生14？

學(xué)生15：分別以點A、點B、點P為頂點，在x軸構(gòu)造等腰三角形，我來畫一下吧.

教師：這比空對空講要直觀和具體.

學(xué)生15：（邊畫邊講）先以點A為頂點，左側(cè)對稱就可以了，再以點B為頂點，左右兩邊都行的.

教師：大分類下小分類，套路深??！

眾生：（笑）

學(xué)生15：再以點P為頂點，作高以后就回到第2個問題了.

教師：具體一點.

學(xué)生15：中垂線性質(zhì)，當(dāng)？搖AP=BP時，在直角△AOP中，可以使用勾股定理來處理.

教師：具體的數(shù)學(xué)思想是什么？

學(xué)生15：用方程思想來解決.

教師：一個問題，三種思想方法均有呈現(xiàn).

……

2. 典型問題拓展

問題1：如圖6，若點P從原點開始沿x軸向右運動，速度為每秒一個單位，設(shè)運動時間為t，當(dāng)t<8時，先畫出△ABP中AP邊上的高;當(dāng)高為6時，求出垂足Q點的縱坐標(biāo).

問題2：如圖7，在等腰三角形ABC中，底邊長16，腰長10，若點P沿x軸從點C開始向點B運動，速度為每秒一個單位，設(shè)點P的運動時間為t，請研究當(dāng)t為何值時，點P和頂點A的連線與腰垂直？

3. 全課小結(jié)，布置作業(yè)（略）

活動設(shè)計下的教學(xué)思考

復(fù)習(xí)課容易上成新授課的再現(xiàn)，如同雞肋;復(fù)習(xí)課也容易上成習(xí)題課的翻版，味同嚼蠟. 但復(fù)習(xí)課的重要性不言而喻，尤其在期末復(fù)習(xí)階段. 課程標(biāo)準(zhǔn)中的“讓學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)”“要教給學(xué)生有生長力的數(shù)學(xué)”“復(fù)習(xí)課也要為學(xué)生成長助力”等理念早已深入人心，那么，如何利用好復(fù)習(xí)課？如何通過復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，使課程綱舉目張，前后貫通呢？這是一個值得思索的問題. 而勾股定理作為初中數(shù)學(xué)中的一個重要定理，在八年級上學(xué)期期末復(fù)習(xí)教學(xué)中，完全可以依靠這個知識節(jié)點，將軸對稱、二次根式、一次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容一網(wǎng)打盡，并且能充分挖掘其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，以此作為后續(xù)課堂“生長數(shù)學(xué)”教學(xué)的開端，使數(shù)學(xué)知識和方法在此生根發(fā)芽，茁壯成長.

1. 數(shù)形結(jié)合“原動力”

卜以樓教授將代數(shù)和幾何分別歸納為“式結(jié)構(gòu)”和“形結(jié)構(gòu)”的學(xué)科，其關(guān)注的焦點是代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系和幾何中的位置關(guān)系的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化. 以上面的問題為例，在幾個問題解決的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，可以借助圖形，然后通過代數(shù)計算的方法進行研究，我們將其中蘊含的思想稱之為數(shù)形結(jié)合思想. 那么，初中數(shù)學(xué)中第一次出現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的地方在哪里呢？答案很簡單，數(shù)軸就是學(xué)生第一次接觸到的圖形與數(shù)量的結(jié)合，只不過當(dāng)時學(xué)生可能并不太在意. 隨著學(xué)習(xí)進程的深入，數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系結(jié)合的知識點不斷呈現(xiàn)，中點、角平分線、無理數(shù)、勾股定理等，乃至到數(shù)與形完美結(jié)合的工具——平面直角坐標(biāo)系. 借助于這樣的工具，我們可以將距離公式（式結(jié)構(gòu)），完美地利用勾股定理，展現(xiàn)成橫平豎直的直角三角形（形結(jié)構(gòu)），實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直觀化和簡約化，并能為今后高中數(shù)學(xué)中的平面向量和物理中的受力分析打下堅實的基礎(chǔ). 小小距離，充滿著初生的“原動力”，向著未來生長.

2. 分類討論“生長節(jié)”

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，我們知道數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練一個人的邏輯思維能力，而邏輯思維需要嚴密性和完備性. 那么，如何進行思維訓(xùn)練呢？“從現(xiàn)代很多的認知心理學(xué)角度來說，分類的能力也是衡量嬰幼兒智力的一個標(biāo)準(zhǔn). 所以，區(qū)分類別對于嬰幼兒的思維發(fā)展甚是重要. 無論對小孩長大之后的學(xué)習(xí)推理能力、辯論能力還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力來說，從小掌握分類對這些的影響是很大的. 因此，在嬰幼兒早期教育階段如果讓孩子們學(xué)會正確分類，其實在一定的程度說是可以培養(yǎng)孩子的思維能力的. ”但是學(xué)生在幼兒期往往對人對事只能進行簡單分類，以孩童的視角看問題，非好即壞，非此即彼. 但我們知道萬事萬物并不像簡單的一枚硬幣只有正反兩面. 所以，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，貫穿著分類的思想，并且是從簡單分類發(fā)展到復(fù)雜分類. 正如卜教授提出的“道是認識事物的方法論，術(shù)就是實踐過程中的方法”. 通過類似方法的浸潤，對照不同的標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生全方位、多角度地思索，實現(xiàn) “以道馭術(shù)”. 從課堂中歷練的觀察、分析、解決問題的“生長節(jié)”，枝繁葉茂，可以繼續(xù)生長到情感、態(tài)度、價值觀的層次.

3. 假設(shè)方程“選擇器”

“學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的能力，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力，這兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū). ”對于問題5而言，學(xué)生能很自然地分別以點A，O，B為頂點構(gòu)建等腰三角形，有直觀的相等，符合一般由簡到難的認知規(guī)律，契合學(xué)生發(fā)展的第一種水平. 而對于“線段垂直平分線的點到線段兩端距離相等”這個性質(zhì)，雖然本課前面曾經(jīng)出現(xiàn)過，但是仍然和問題4的“角平分線上的點到角兩邊距離相等”性質(zhì)一樣，學(xué)生抓不住問題的本質(zhì). 在由“形結(jié)構(gòu)”到“式結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)換過程中，忽視了隱藏的相等. “方程是刻畫現(xiàn)實生活中相等關(guān)系的有效模型”，通過分析和引導(dǎo)，對于問題4中AB邊上的對稱點和問題5中x軸上的第4個P點，利用相等關(guān)系，構(gòu)建直角三角形，然后使用勾股定理來求解，實現(xiàn)知識和方法的生長，同時使學(xué)生達到第二種水平. 事實上，分析方程思想，按照卜教授的觀點，其本質(zhì)是一種假設(shè)思想，是一種嘗試的想法. 學(xué)生的選擇是一種試錯，既然無法一眼洞穿，那么可以用不同的假設(shè)去驗證它. 在種種備選方案中，選簡選優(yōu)，進而加以決策，這也符合學(xué)生的認知規(guī)律，打通知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的遷移生長能力.

“生長數(shù)學(xué)是前后一致的、邏輯連貫的、一以貫之的數(shù)學(xué)”，是充滿著“原動力”，布滿著“生長節(jié)”，鋪滿著“選擇器”的數(shù)學(xué). 在復(fù)習(xí)課堂中，用全景式的構(gòu)架來統(tǒng)領(lǐng)全局、縱覽前后，對知識和方法的生長大有裨益，進而可以推廣到其他類型的課程中，從而使每個學(xué)生茁壯成長！