關(guān)注幾何探究，逐步突破思考

唐巧莉

[摘? 要] 幾何探究題是初中數(shù)學(xué)重要的問題類型，通過以知識探究的形式來設(shè)置問題，具有綜合性強、拓展性高的特點. 該類試題的解答需要學(xué)生以幾何知識為基礎(chǔ)，結(jié)合探究的方法. 文章以一道圖形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何探究題為例，探究其突破思路，并開展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流、學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 幾何;探究;平行;特殊;一般;猜想

試題呈現(xiàn)

試題? （2019江蘇淮安中考）如圖1，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，點D是線段BC的中點.

小明對圖1進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任意取一點P，連接PB，然后將線段PB繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)80°，點B的對應(yīng)點為點E，連接BE，于是得到了△BPE. 小明發(fā)現(xiàn)，隨著點P在線段AD上的位置變化，點E的位置也在發(fā)生變化，點E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè).

請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：

（1）當(dāng)點E在直線AD上時，如圖2.

①∠BEP=______;

②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系為______.

（2）請在圖3中畫出△BPE，使點E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）當(dāng)點P在線段AD上運動時，求AE的最小值.

探究突破

本題屬于中考常見的幾何探究題，以三角形的內(nèi)容為基礎(chǔ)，結(jié)合幾何旋轉(zhuǎn)，通過問題探究的形式考查幾何綜合知識. 問題分為三小問，實際上問題之間具有關(guān)聯(lián)遞進(jìn)性，下面逐步探究突破過程.

1. 第一步：把握特殊情形

第（1）問中的點E在直線AD上，屬于特殊情形的探究，需要關(guān)注原三角形ABC的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)過程，同時適度結(jié)合猜想進(jìn)行探究.

對于①問，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程可以獲得兩方面的內(nèi)容：一是由“逆時針旋轉(zhuǎn)80°”可得∠BPE=80°;二是由旋轉(zhuǎn)前后線段長不變可得PB=PE，進(jìn)而可知∠PBE=∠PEB（等邊對等角）. 綜合上述可知△PBE是一個頂角為80°的等腰三角形，從而可計算出∠BEP=50°.

對于②問，線段之間的常見位置關(guān)系主要有平行和垂直，結(jié)合圖中的情形可以猜想CE與直線AB為平行關(guān)系，則只需結(jié)合兩直線平行的判定定理來探究等角或補角即可. 連接CE，如圖4，因為△ABC為等腰三角形，點D是線段BC的中點，所以AE是線段BC的垂直平分線. 所以EB=EC，AD⊥BC. 計算可得∠EBD=∠ECD=40°. 又∠BAC=100°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=40°，進(jìn)而可得∠ABC=∠ECD. 所以AB∥CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），即直線CE與直線AB的位置關(guān)系為平行.

2. 第二步：一般情形推廣

第（2）問則需要確保點E位于直線AD的右側(cè)，屬于點E位置的另一種情形，需要明晰兩點：點E的位置由旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)半徑BP兩者共同決定，但旋轉(zhuǎn)角始終為80°，則點E的位置就僅受BP長的影響. 進(jìn)一步深究有：點P越靠近點A，BP就越長，則旋轉(zhuǎn)后點E就越向AD右側(cè)移動. 上述就是點E的動態(tài)旋轉(zhuǎn)過程，以及影響點E位置的因素. 實際分析時，可以采用特殊情形法，即只需取點E位于AD右側(cè)的某一位置即可，然后基于圖像結(jié)合第（1）問的解析方法，采用“猜想—證明”的思路來探究，具體如下.

如圖5，以點P為圓心、PB的長為半徑畫圓，使得旋轉(zhuǎn)后點B的對應(yīng)點E位于直線AD的右側(cè)，然后連接PC. 顯然AD是BC的垂直平分線，則∠ABC=∠ACB=40°，PB=PC. 又∠BCE=■∠BPE=40°，從而有∠BCE=∠ABC. 所以AB∥EC. 所以直線CE與直線AB依然是平行關(guān)系.

3. 第三步：綜合拓展應(yīng)用

第（3）問求點P在線段AD上運動時，AE的最小值，針對幾何探究題，需要充分結(jié)合前兩問的結(jié)論來構(gòu)建思路. 由上述結(jié)論可猜想：無論點P在AD上如何移動，直線CE始終與AB平行. 而點C為頂點，則點E始終在射線CE上運動，即隨著點P在線段AD上運動，點E在射線CE上運動，如圖6. 過點A作射線CE的垂線，垂足為H，顯然當(dāng)點P運動到與點A重合時，AE的值最小，此時AE的長與線段AB的長相等，即AE的最小值為3.

解后反思

上述是以圖形變換為基礎(chǔ)的幾何探究題，整體設(shè)計由特殊到一般，由結(jié)論到應(yīng)用，能夠充分體現(xiàn)知識探究應(yīng)用的過程，不僅全面考查了學(xué)生對幾何知識的掌握情況，還考查了學(xué)生的探究能力. 筆者認(rèn)為下面幾點需要深入反思.

1. 探究突破的關(guān)鍵點

問題以幾何旋轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)，由點的位置討論進(jìn)行探究深入，分設(shè)了三個小問，每一問的突破均需要充分利用前一問的結(jié)論及論證過程. 因此對于（1）問，其突破的關(guān)鍵是融合感性認(rèn)識與理性分析，充分利用旋轉(zhuǎn)特性來論證猜想. 而對于后兩問，則需要充分了解分類情形出現(xiàn)的根源，結(jié)合（1）問的結(jié)論來適度猜想，并嚴(yán)謹(jǐn)論證. 總體而言，深刻認(rèn)識旋轉(zhuǎn)特性是求解該類試題的基礎(chǔ)，從旋轉(zhuǎn)的過程中提煉出“變”與“不變”的條件是解題的關(guān)鍵.

2. 值得學(xué)習(xí)的內(nèi)容

幾何探究題的問題形式突出“探究”這一特點，即試題具有一定的開放性，通過問題形式可以引導(dǎo)學(xué)生遞進(jìn)思考，獲得相應(yīng)的探究能力. 以上述考題為例，實際上三小問就是圍繞幾何旋轉(zhuǎn)特性開展的幾何探究，其特殊之處在于動態(tài)特性的轉(zhuǎn)化形式. 如第（2）問，借助幾何圓來呈現(xiàn)幾何旋轉(zhuǎn)，由圓的特性來轉(zhuǎn)化旋轉(zhuǎn)特性，利用隱形圓可以簡潔地突破難點. 而第（3）問則是對第（2）問結(jié)論的深入拓展，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了相應(yīng)的動點軌跡，即以特殊點的位置為依托，由“點”成“線”，以“線”定“位”.

3. 問題的深度變式

對于上述問題，了解其命題核心后，可以依托幾何知識對其適度變式.

變式1？搖 （原試題的條件不變）請在圖3中畫出△BPE，分析直線AD的右側(cè)是否存在點E，使得直線CE與直線AB平行. 若存在，請判斷存在的個數(shù)，并說明理由.

參考思路？搖 在直線AD的右側(cè)任意作出一點E，結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性和兩線平行的判定條件來構(gòu)建思路并加以論證，從而可判定這樣的點有無數(shù)個.

變式2？搖 （原試題的條件不變）當(dāng)點P在線段AD上運動時，試分析點E的運動軌跡，并求出直線AE的取值范圍.

參考思路？搖 結(jié)合上述探究結(jié)論，很容易判斷出點E的運動軌跡為一條線段，則只需要根據(jù)點P在線段AD上的運動范圍即可確定AE的最大值和最小值.

教學(xué)建議

1. 注重引導(dǎo)設(shè)問，倡導(dǎo)獨立思考

幾何探究題突破的難點是如何利用題干條件來提出猜想的，這需要學(xué)生掌握相應(yīng)的探究方法，包括對條件的解讀和思考方向. 以上述考題為例，兩直線常見的位置關(guān)系有兩類：平行和垂直，因此問題的實質(zhì)就是挖掘平行或垂直的判定條件. 分析時只需要關(guān)注其中的角度即可. 而在教學(xué)培養(yǎng)時，可以采用引導(dǎo)設(shè)問的方式，給出核心條件，以此為出發(fā)點設(shè)置關(guān)聯(lián)問題，利用問題的指向性來引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力.

2. 注重解后思考，總結(jié)解題方法

幾何探究題是中考常見的問題形式，該類題的特點是設(shè)問具有關(guān)聯(lián)性，以探究應(yīng)用為主. 解決該類試題時，需要教師引導(dǎo)學(xué)生對其加以解讀，提煉相應(yīng)的解題思路. 以上述幾何旋轉(zhuǎn)為背景的探究題為例，探究時需要合理利用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，采用“猜想—論證”的解題思路來加以突破. 另外，解題突破時，還應(yīng)注意總結(jié)模型構(gòu)建的方法，例如上述所涉及的繪制“隱形圓”、連點成線等. 解題過程不僅是解題策略的融合，還是解題思想的綜合過程，在解后思考階段，教師應(yīng)提煉解題過程中的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生逐步理解數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵.

3. 注重問題變式，拓展解題思維

“解一題，同類題”是開展考題教學(xué)的意義所在，即需要通過類型考題講解使學(xué)生充分認(rèn)識考題結(jié)構(gòu)，深入理解解題方法. 而開展問題變式是重要的教學(xué)方法. 變式探究的過程可實現(xiàn)問題重構(gòu)、思維重組，學(xué)生的思維可以獲得極大的鍛煉. 以上述考題為例，通過變式1，學(xué)生可以充分認(rèn)識到兩線平行的一般性;由變式2學(xué)生可以認(rèn)識到動點的運動軌跡. 因此，教學(xué)中，需要教師在解后回顧階段針對教學(xué)目的合理設(shè)置一些變式問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，深入探究問題，以拓展學(xué)生的思維.

寫在最后

幾何探究題具有極高的教學(xué)價值，是知識與能力融合最為緊密的代表性問題，教學(xué)時應(yīng)注重探究方法的講解，合理設(shè)問，逐步引導(dǎo)，使學(xué)生在突破問題的同時獲得相應(yīng)的探究方法. 探究題的拓展性很強，在解后反思階段，有必要引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，總結(jié)解題思路，并通過適度的變式來提升學(xué)生的解題思維，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.