提煉問(wèn)題模型，深入解讀拓展

茆華

[摘? 要] 幾何模型是平面幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，模型中的結(jié)論以及解析思路對(duì)于幾何綜合題的突破有著極大的幫助. 文章對(duì)一道幾何問(wèn)題進(jìn)行思路講解，提煉其中的幾何模型，并深入解讀、適度拓展，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 對(duì)角互補(bǔ)模型;三角形;全等;相似;思想方法

考題呈現(xiàn)，思路講解

1. 考題呈現(xiàn)

考題？搖 已知⊙O是△ABC的外接圓，在∠BAC所對(duì)的弧上任意取一點(diǎn)D，連接AD，BD，CD，已知AB=AC，試回答下列問(wèn)題.

（1）如果∠BAC=α，如圖1所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ADB的大?。ㄓ煤笑恋氖阶颖硎荆?

（2）如果∠BAC=60°，如圖2所示，試求證BD+CD=AD;

（3）如果∠BAC=120°，如圖3所示，試判斷BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

2. 思路講解

考題為涉及圓的幾何問(wèn)題，探究圖中的角度大小和相關(guān)線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，需要綜合圓、三角形等幾何性質(zhì)來(lái)構(gòu)建，具體思考過(guò)程如下.

對(duì)于第（1）問(wèn)，已知AB=AC，所以△ABC為等腰三角形. 由“等邊對(duì)等角”可知∠ABC=∠ACB. 結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得∠ADB=∠ACB=■（180°-∠BAC）=90°-■，即∠ADB的大小為90°-■.

對(duì)于第（2）問(wèn)，需要求證BD+CD與AD的長(zhǎng)度相等，可以采用等邊代換的方式，而代換時(shí)可以構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行. 具體求解過(guò)程如下：延長(zhǎng)DB至點(diǎn)E，使得∠EAD=∠BAC，再過(guò)點(diǎn)A作DE的垂線(xiàn)，垂足為F，如圖4所示. 結(jié)合條件容易證得△EBA≌△DCA（ASA），由全等性質(zhì)可得BE=CD，AE=AD. 結(jié)合（1）問(wèn)可知∠ADB=60°，所以∠FAD=30°，BD+CD=BD+BE=DE. 由于AE=AD，所以△AED為等腰三角形. 結(jié)合等腰三角形“三線(xiàn)合一”定理可知EF=DF，即DE=2DF=2ADsin30°=AD，即BD+CD=AD，證畢.

對(duì)于第（3）問(wèn)，該問(wèn)將∠BAC的度數(shù)改為120°，要判斷BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，可以參考第（2）問(wèn)的解題思路，首先構(gòu)建全等三角形，然后利用全等性質(zhì)來(lái)對(duì)線(xiàn)段進(jìn)行等量代換，后續(xù)在三角形中利用三角函數(shù)分析. 具體求解過(guò)程如下：過(guò)點(diǎn)A分別作BD和DC的垂線(xiàn)，垂足分別為E和F，如圖5所示. 因?yàn)锳B=AC，∠BAC=120°，所以∠ADB=∠ADC=30°. 從而可證△AEB≌△AFC，△ADE≌△ADF. 所以BE=CF，DE=DF. 所以BD+CD=DE+DC+CF=DE+DF=2DE. 在Rt△ADE中使用三角函數(shù)，有cos∠ADE=■=■，所以DE=■AD. 所以BD+CD=2DE=■AD.

圖形解讀，深度拓展

1. 圖形解讀

上述幾何探究題有三個(gè)小問(wèn)，其中后兩問(wèn)的條件和結(jié)論具有相似性，尤其是條件設(shè)定時(shí)僅對(duì)∠BAC的大小做了改變. 而在求解時(shí)，均采用構(gòu)建全等三角形的方式進(jìn)行等邊代換和轉(zhuǎn)化. 需要注意的是，所構(gòu)三角形具有一定的特征：擁有公共的頂角，存在角平分線(xiàn)或兩邊相等關(guān)系. 實(shí)際上，上述所提煉的模型為幾何經(jīng)典模型——對(duì)角互補(bǔ)全等模型，即對(duì)角互補(bǔ)全等型—90°和對(duì)角互補(bǔ)全等型—120°. 該模型中存在一些較為常用的結(jié)論，解析時(shí)靈活運(yùn)用可以提高解題效率.

以對(duì)角互補(bǔ)全等型—90°為例，如圖6所示，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，則有如下結(jié)論：①CD=CE;②OD+OE=■OC;③S■+S■=■OC2.

對(duì)于上述三個(gè)結(jié)論，可以利用三角形全等及等量代換來(lái)完成證明，具體過(guò)程如下：

過(guò)點(diǎn)C分別作AO和OB的垂線(xiàn)，垂足分別為F和G，如圖7所示.

顯然四邊形OFCG為矩形，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得CF=CG，則矩形OFCG為正方形. 接著，可推理出∠FCD=∠GCE，結(jié)合CF=CG，∠CFD=∠CGE=90°，可以得到△CDF≌△CEG，所以DF=EG，CD=CE（結(jié)論①得證）.

由于四邊形OFCG為正方形，所以O(shè)F=OG=■OC. 又OD+OE=OD+OG+EG=OD+ OG+FD=OG+OF=2OF，所以O(shè)D+OE=2×■OC=■OC（結(jié)論②得證）.

采用面積割補(bǔ)法可得S■+S■=S■ =OF2=■OC2=■OC2（結(jié)論③得證）.

2. 模型拓展

從模型證明的過(guò)程來(lái)看，可將對(duì)角互補(bǔ)模型分為全等型和相似型，上述是對(duì)全等型模型的提煉與論證，而在實(shí)際解題時(shí)還常用到對(duì)角互補(bǔ)相似模型，同樣以90°角為例.

如圖8所示，已知∠AOB=∠DCE=90°，令∠BOC=α，則可得結(jié)論CE=CD·tanα. 求證時(shí)需要引入相似三角形，具體過(guò)程如下：過(guò)點(diǎn)C分別作OA和OB的垂線(xiàn)，垂足分別為F和G，如圖9所示. 由條件容易證得△CEG∽△CDF，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得■=■，又CF=OG，所以■=■. 所以CE=■·CD. 在Rt△COG中構(gòu)建三角函數(shù)，有tanα=■，所以CE=CD·tanα.

對(duì)角互補(bǔ)模型的情形有很多，不過(guò)從證明的思路來(lái)看主要有全等型和相似型. 而從復(fù)合圖形中提煉對(duì)角互補(bǔ)模型時(shí)需要關(guān)注幾何初始條件，常見(jiàn)的包括四邊形對(duì)角互補(bǔ)，三角形中的角平分線(xiàn)、幾何等邊關(guān)系. 解析時(shí)，可合理添加輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)建全等三角形或相似三角形，通過(guò)等量代換來(lái)獲得相關(guān)線(xiàn)段的關(guān)系.

模型應(yīng)用，拓展剖析

對(duì)角互補(bǔ)模型隱含在眾多考題中，除了常見(jiàn)的平面幾何問(wèn)題外，還常結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，以二次函數(shù)與幾何綜合的形式出現(xiàn). 解析時(shí)，需要充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)，合理添加輔助線(xiàn)來(lái)提煉模型，確定模型類(lèi)型，利用對(duì)應(yīng)的思路來(lái)得出結(jié)論.

例題？搖 如圖10所示，已知拋物線(xiàn)的解析式為y=-■（x-1）2+3，頂點(diǎn)為B，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，試回答下列問(wèn)題.

（1）試求圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)以及線(xiàn)段OC的長(zhǎng).

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)上的點(diǎn)，作直線(xiàn)PQ∥BC與x軸交于點(diǎn)Q，連接BQ.

①如圖11所示，若在圖中放置一個(gè)含有45°角的直角三角板，其中直角板的直角頂點(diǎn)D在線(xiàn)段BQ上，一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，另一個(gè)頂點(diǎn)E在直線(xiàn)PQ上，試求直線(xiàn)BQ的函數(shù)解析式;

②如圖12所示，若含有30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)D在線(xiàn)段BQ上，30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，另一個(gè)頂點(diǎn)E在直線(xiàn)PQ上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析？搖 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，所以令y=-■（x-1）2+3中的x=0，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，■. 因?yàn)辄c(diǎn)B為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，所以B（1，3）. 因?yàn)辄c(diǎn)C為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，所以C（1，0）. 所以O(shè)C=1.

（2）在拋物線(xiàn)中放入直角三角板，可以根據(jù)具體情形來(lái)構(gòu)建圖形.

①放入的直角三角板為含有45°角的直角三角板，分析可知圖中含有對(duì)角互補(bǔ)全等模型，可按照?qǐng)D13所示來(lái)作輔助線(xiàn)，即過(guò)點(diǎn)D分別作CQ和PQ的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N. 于是根據(jù)條件可證得△CDM≌△EDN，所以DM=DN. 所以矩形DMQN為正方形. 所以∠BQC=45°，即直線(xiàn)BQ的斜率k=-1，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)（1，3），可得直線(xiàn)BQ的函數(shù)解析式為y=-x+4.

②放入的直角三角板為含有30°角的直角三角板，由于點(diǎn)P位于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，且在拋物線(xiàn)上，該模型符合對(duì)角互補(bǔ)相似模型，所以可以構(gòu)建如圖14所示的圖形，即過(guò)點(diǎn)D分別作CQ，PQ的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，結(jié)合題干條件可證得△CDM∽△EDN，所以■=■. 因?yàn)椤螪CE=30°，所以■=■. 所以■=■. 又DN=MQ，所以■=■. 因?yàn)镈M∥BC，所以△DMQ∽△BCQ. 所以■=■=■. 又BC=3，所以CQ=■. 所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+■，0）. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為1+■，■.

上題屬于二次函數(shù)與幾何的綜合題，其特殊之處在于結(jié)合三角板來(lái)構(gòu)建模型，可從中提煉出對(duì)角互補(bǔ)模型，因此解析問(wèn)題時(shí)可以充分利用該模型的解析思路和相關(guān)結(jié)論來(lái)加以突破. 由于該模型是在直角坐標(biāo)系中構(gòu)建的，因此需利用幾何定理來(lái)推理線(xiàn)段關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求解線(xiàn)段長(zhǎng)，這也是該類(lèi)綜合題的特點(diǎn)所在.

解后反思，教學(xué)思考

1. 關(guān)注幾何模型，注重歸納總結(jié)

幾何是初中數(shù)學(xué)十分重要的內(nèi)容，由于圖形類(lèi)型、定理定義眾多，如不注意總結(jié)思考，很容易造成學(xué)生思維混亂，不利于后續(xù)的解題應(yīng)用. 在總結(jié)歸納階段，除了需要引導(dǎo)學(xué)生深入剖析幾何定理外，還需要關(guān)注常見(jiàn)的幾何模型，如線(xiàn)段最值模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、一線(xiàn)三等角模型等，利用“模型總結(jié)—思路探究”的教學(xué)方式來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的解題思維. 以上述對(duì)角互補(bǔ)模型為例，教學(xué)時(shí)可以以題為引，提取模型，引導(dǎo)學(xué)生歸納模型特征，總結(jié)構(gòu)建策略，使學(xué)生逐步掌握模型的提煉方法和結(jié)論的探究思路.

2. 關(guān)注數(shù)形結(jié)合，注重策略講解

數(shù)形結(jié)合是幾何內(nèi)容教學(xué)的重要方式之一，是后續(xù)函數(shù)考題突破的基本方法，因此教學(xué)中需要教師多加引導(dǎo)，使學(xué)生逐步掌握該方法策略. 以上述考題為例，教學(xué)時(shí)可以分“圖形構(gòu)建”和“結(jié)論提取”兩階段進(jìn)行，即首先結(jié)合題干信息使學(xué)生明晰圖形構(gòu)建的過(guò)程，然后利用圖形的直觀特征來(lái)探究結(jié)論，充分體會(huì)“數(shù)”“形”對(duì)照的解析優(yōu)勢(shì). 使學(xué)生掌握解題策略是考題教學(xué)的意義所在，依托數(shù)形結(jié)合方法，滲透幾何考題的突破思路，適度拓展考題，可以有效地提升學(xué)生的解題能力.

3. 關(guān)注模型思想，提升綜合素養(yǎng)

幾何模型具有極高的學(xué)習(xí)價(jià)值，其意義有三點(diǎn)：一是模型中的結(jié)論可以直接利用，二是模型的解析思路可以借鑒，三是模型中的思想方法有助于解題思維的提升. 其中第三點(diǎn)的思維提升對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展極為有利. 數(shù)學(xué)模型中滲透著模型思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想等，這些思想方法也是幾何問(wèn)題突破的重要策略，教學(xué)時(shí)需要教師立足幾何問(wèn)題，逐步引導(dǎo)滲透，使學(xué)生充分感悟思想方法的內(nèi)涵，逐步理解其中的數(shù)學(xué)思想.