透視分步突破，深度變式探究

王雷 葛艷

[摘? 要] 函數(shù)綜合題是中考數(shù)學(xué)的重點題型，其中不僅包含眾多的函數(shù)曲線，同時涉及一些關(guān)鍵的知識聯(lián)系點，因此可以充分考查學(xué)生的知識能力. 解析問題時，需充分挖掘問題本質(zhì)，從知識聯(lián)系性出發(fā)選取合適的方法，文章以一道函數(shù)綜合題為例，進(jìn)行分步突破，解后思考，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù);反比例函數(shù);線段;點坐標(biāo)

考題呈現(xiàn)

試題（2019江蘇泰州中考）已知一次函數(shù)y1=kx+n（n<0）和反比例函數(shù)y2=■（m>0，x>0）.

（1）如圖1，若n=-2，且函數(shù)y1，y2的圖像都經(jīng)過點A（3，4）.

①試求m和k的值;

②請直接寫出當(dāng)y1>y2時x的取值范圍.

（2）如圖2，過點P（1，0）作y軸的平行線l與函數(shù)y2的圖像交于點B，與反比例函數(shù)y3=■（x>0）的圖像交于點C.

①若k=2，直線l與函數(shù)y1的圖像交于點D，當(dāng)點B，C，D中的一點到另外兩點的距離相等時，試求m-n的值;

②過點B作x軸的平行線，與函數(shù)y1的圖像交于點E，當(dāng)m-n的值為不大于1的任意實數(shù)時，點B，C之間的距離與點B，E之間的距離之和d始終是一個定值，求此時k的值及定值d.

分步突破

上述考題是中考常見的函數(shù)綜合題，以一次函數(shù)與反比例函數(shù)為命題背景，涉及求函數(shù)解析式、取值范圍和距離分析，以及定值求解等，由于考題有兩問，每一問又細(xì)分為兩小問，均含有各自的主干信息，所以下面對其分步突破.

1. 第一步：解構(gòu)函數(shù)，巧定范圍

題干給出了一次函數(shù)y1和反比例函數(shù)y2的解析式，對于第（1）問，設(shè)定n的值為-2，并給出了兩函數(shù)的交點，所以第①問求函數(shù)解析式可以采用待定系數(shù)法，直接將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可. 將點A（3，4）代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)1=kx-2中，可解得k=2. 將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)2=■中，可解得m=12，所以m的值為12，k的值為2.

第②問分析y1>y2時x的取值范圍，屬于函數(shù)背景下的代數(shù)分析. 對于條件“y1>y2”，在函數(shù)圖像中的表現(xiàn)為一次函數(shù)位于反比例函數(shù)圖像的上方，因此問題轉(zhuǎn)化為分析一次函數(shù)位于反比例函數(shù)圖像上方時對應(yīng)的x的取值范圍. 而點A是兩函數(shù)圖像的交點，是其分界線，顯然點A的右側(cè)部分滿足要求，又點A的橫坐標(biāo)為3，因此當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍為x>3.

2. 第二步：分類討論，定值變形

第（2）問中添加了反比例函數(shù)y3，通過作y軸的平行線產(chǎn)生了交點B和C. 第①問中設(shè)定點D是直線l與函數(shù)y1的交點，于是可求得點D的坐標(biāo)為（1，2+n）. 根據(jù)l與函數(shù)y2，y3之間的交點可求得B，C的坐標(biāo)，即B（1，m），C（1，n）. 點B和點C位于x軸的兩側(cè)，根據(jù)題干要求，實際上就是分析其中的中點情形，顯然有三種情形：情形一是點D是BC的中點，情形二是點B是DC的中點，情形三是點C是BD的中點. 需要對其進(jìn)行分類討論，且線段長就是兩點的縱坐標(biāo)的差的絕對值.

情形一，當(dāng)點D是BC的中點時，有BD=CD. 又BD=m-（2+n），CD=2，所以m-（2+n）=2，即m-n=4. 滿足限制條件，所以該情形存在，此時m-n=4.

情形二，當(dāng)點B是DC的中點時，有DB=BC. 又DB=2+n-m，BC=m-n，所以2+n-m=m-n，解得m-n=1. 滿足限制條件，所以該情形存在，此時m-n=1.

情形三，當(dāng)點C是BD的中點時，有BC=CD. 因為BC=m-n，CD=n-（2+n）=

-2<0，不可能，所以點C不可能是BD的中點.

綜上可知，對于第（2）①問，m-n的值為4或1.

第②小問設(shè)定點E是過點B的平行于x軸的直線與直線y1的交點，所以點E的坐標(biāo)為■，m. 根據(jù)定值構(gòu)建的思路可知，d=BC+BE，只需要將所涉及的點的坐標(biāo)代入其中即可. 當(dāng)點E在點B左側(cè)時，有d=m-n+1-■，分析該式為定值時d和k的值，只需對式子進(jìn)行變形，將其中的參數(shù)以乘積形式表現(xiàn)即可，于是d=（m-n）1-■+1，所以當(dāng)1-■=0時，顯然d的取值與m，n無關(guān)，此時k=1，d=1. 當(dāng)點E在點B的右側(cè)時，有d=m-n+■-1，分析該式為定值時d和k的值，只需對式子進(jìn)行變形，將其中的參數(shù)以乘積形式表現(xiàn)即可，于是d=（m-n）1+■-1，所以當(dāng)1+■=0時，顯然d的取值與m，n無關(guān)，此時k=-1，d=-1，矛盾，說明此種情形不存在. 綜上可知，對于第（2）②問，k=1，d=1.

解后反思

上述是對考題的解析突破過程，考題考查了求函數(shù)解析式、取值確定和分析線段長，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及圖像中交點的求解方法，下面對突破過程進(jìn)行深入反思.

1. 解析中的關(guān)鍵步驟

考題分為兩大問，無論是求取值，還是分析距離關(guān)系，均需要準(zhǔn)確把握函數(shù)圖像的位置關(guān)系，明晰函數(shù)的交點. 而對于每一小問，還需要把握其中的關(guān)鍵步驟，如第（1）②問在分析y1>y2時x的取值時，需要理解不等式與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，即y1>y2不僅表示大小關(guān)系，在函數(shù)中還體現(xiàn)為圖像的上下關(guān)系，基于該內(nèi)容就可以直接獲得突破方法. 又如第（2）①問分析三點之間的距離相等關(guān)系，其關(guān)鍵步驟是結(jié)合限制條件對三點之間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，并結(jié)合點坐標(biāo)進(jìn)行細(xì)化，這也是函數(shù)背景下線段長與點坐標(biāo)關(guān)系構(gòu)建的方法. 第（2）②問中的含參數(shù)的代數(shù)式的定值討論，解析的關(guān)鍵步驟是對代數(shù)式進(jìn)行變形，即實現(xiàn)參數(shù)部分的因式分解，從而可通過設(shè)零將其消去.

2. 值得學(xué)習(xí)的內(nèi)容

中考壓軸題的學(xué)習(xí)價值在于，可以從中提煉出問題突破的思路和方法，從而掌握同類題的突破方法. 以第（1）②問為例，求“y1>y2時x的取值范圍”，其解析本質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合，同時可以提煉出不等式問題的轉(zhuǎn)化方法——圖像分析法. 而對于第（2）問，實際上均可以歸結(jié)為函數(shù)背景下的線段長分析. 從解析過程可知，利用點坐標(biāo)來描述線段長是問題突破的核心，這也是函數(shù)與幾何之間的知識聯(lián)系點. 因此，求解與幾何相聯(lián)系的函數(shù)綜合題時，要充分把握“點坐標(biāo)”這一中間媒介，實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)轉(zhuǎn)化.

3. 關(guān)于考題的變式

開展考題變式不僅可以深化問題認(rèn)識，還可以拓展學(xué)生的解題思維，下面是以本考題所涉及的兩個核心價值內(nèi)容展開的變式探究.

變式1 （基于不等式圖像解析方法進(jìn)行變式）已知點A（3，b）是一次函數(shù)y1=kx+n與反比例函數(shù)y2=■（m>0，x>0）在第一象限的交點，若不等式kx+n>■的解為x>3，試分析k的正負(fù).

思路點撥 由不等式的解可知，當(dāng)03時，y1位于y2上方. 顯然可以繪制出相應(yīng)的圖像，從而可確定一次函數(shù)單調(diào)遞增，即k>0.

變式2（基于函數(shù)與幾何的聯(lián)系點進(jìn)行變式）已知反比例函數(shù)y2=■（x>0），一次函數(shù)y1=-2x-2，如圖3，過點P（1，0）作y軸的平行線l與函數(shù)y2的圖像交于點B，與反比例函數(shù)y3=-■（x>0）的圖像交于點C. 試分析在函數(shù)y1上是否存在一點D，使得∠BDC=90°. 若不存在，請說明理由;若存在，請求出點D的坐標(biāo).

思路點撥根據(jù)題干信息可求出B（1，12），C（1，-2），可將點D的坐標(biāo)設(shè)為（a，-2a-2），在Rt△BCD中使用勾股定理可得BC2=BD2+CD2，然后利用點坐標(biāo)可以分別求出線段長，基于線段長關(guān)系即可構(gòu)建相應(yīng)的代數(shù)方程，即可分析a是否有解.

■ 教學(xué)建議

1. 關(guān)注函數(shù)綜合，解構(gòu)曲線圖像

函數(shù)綜合題是中考的核心考題，一般因綜合性強(qiáng)而解析難度大，實際上可以將函數(shù)綜合看作是多條曲線之間的綜合，因此解題時就可以通過分析曲線之間的聯(lián)系點來加以突破. 而在日常教學(xué)中，需要教師對初中階段所涉及的函數(shù)曲線進(jìn)行系統(tǒng)歸納，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，讓學(xué)生對函數(shù)的曲線特征、性質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個充分的了解，能夠根據(jù)函數(shù)解析式準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的圖像，并能根據(jù)曲線之間的位置關(guān)系得出特征參數(shù)的值. 例如根據(jù)函數(shù)y1=kx+n（n<0）與反比例函數(shù)y2=■（m>0，x>0）相交可以得出k>0. 建立函數(shù)之間的圖像聯(lián)系是求解綜合題的關(guān)鍵，也是數(shù)形結(jié)合策略分析問題的基礎(chǔ).

2. 重視突破方法，形成解題思路

綜合題的突破除了需要具備扎實的基礎(chǔ)知識外，還需要掌握相應(yīng)的解析方法. 例如上述求解函數(shù)解析式所采用的待定系數(shù)法，分析距離問題時所采用的分類討論和線段坐標(biāo)化方法，正是在這些方法的靈活使用下才促使問題得到了解決. 因此，教學(xué)中需要教師對考題的解析方法加以總結(jié)提煉，讓學(xué)生掌握根據(jù)考題特征選取合適方法的思路. 對于一些結(jié)構(gòu)鮮明的考題，更應(yīng)注重總結(jié). 例如函數(shù)與幾何綜合題，應(yīng)讓學(xué)生把握函數(shù)與幾何之間的聯(lián)系點——點坐標(biāo)，形成“函數(shù)解析式？圳點坐標(biāo)？圳幾何特征”的突破策略.

3. 注重考題變式，拓展數(shù)學(xué)思維

中考壓軸題的問題形式多樣，圖像變化也十分靈活，所以開展考題教學(xué)時不能拘泥于問題本身，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對背后的實質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行挖掘，并結(jié)合相關(guān)知識對其中的核心內(nèi)容開展變式探究. 例如上述基于聯(lián)系點對考題進(jìn)行了不等式轉(zhuǎn)化變式和幾何特征變式，可使學(xué)生充分認(rèn)識到函數(shù)圖像與不等式、幾何之間的關(guān)聯(lián). 而在變式探究過程中，則需要掌握適度原則，不能因變式不足使得探究無意義，也不能因過度變式造成超綱超范圍的現(xiàn)象. 在變式探究的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以得到鍛煉，能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的形成.