合理猜想，有效驗(yàn)證

游建青

【摘要】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).新課程倡導(dǎo)主動(dòng)參與、探究發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，猜想驗(yàn)證作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究中的一個(gè)重要組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、提高探究能力等方面具有獨(dú)特的功能.本文闡述了在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“猜想驗(yàn)證”實(shí)施有效探究學(xué)習(xí)的策略.

【關(guān)鍵詞】猜想；驗(yàn)證；有效；探究

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).新課程倡導(dǎo)主動(dòng)參與、探究發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式，猜想驗(yàn)證因其內(nèi)在特點(diǎn)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的吸引力，使其具有引起學(xué)生主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)的特殊功能.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地進(jìn)行猜想，科學(xué)地進(jìn)行驗(yàn)證，是實(shí)踐新課程理念的有效舉措.

鼓勵(lì)學(xué)生猜想要合理，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證要有效，那么在實(shí)際教學(xué)中，我們又該如何運(yùn)用“猜想驗(yàn)證”有效地進(jìn)行探究學(xué)習(xí)呢？

一、滲透“猜想驗(yàn)證”思想，培養(yǎng)探究意識(shí)

猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)：“真正的數(shù)學(xué)家——常常憑借數(shù)學(xué)的直覺(jué)思維做出各種猜想，然后加以證實(shí).”因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要重視猜想驗(yàn)證思想方法的滲透，以增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)探索、獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，同時(shí)在思想方法的滲透中培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí).

在實(shí)際教學(xué)中要讓學(xué)生通過(guò)“感知—假設(shè)—驗(yàn)證—?dú)w納”，感知是播撒思想方法的種子，假設(shè)是展開(kāi)思想方法的翅膀，驗(yàn)證是把握思想方法的方向，歸納是收獲思想方法的果實(shí).在經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程中，不僅獲得了數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是逐步學(xué)會(huì)了獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的思想方法——猜想驗(yàn)證，提高了主動(dòng)探索、獲取知識(shí)的能力，增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

二、運(yùn)用“猜想驗(yàn)證”方法，提高探究能力

（一）引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)感悟促進(jìn)有效學(xué)習(xí)

從學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)看，猜想是學(xué)生高效學(xué)習(xí)的良好準(zhǔn)備，它包含了學(xué)生從事新的學(xué)習(xí)或?qū)嵺`的知識(shí)準(zhǔn)備、積極動(dòng)機(jī)和良好情感，是一種體驗(yàn)過(guò)程.

體驗(yàn)是學(xué)生用全部的心智去感受、關(guān)注、欣賞、評(píng)價(jià)某一事件，猜想驗(yàn)證正是一種體驗(yàn)過(guò)程.而在體驗(yàn)基礎(chǔ)上的理解則是經(jīng)歷撞擊、感悟等心智活動(dòng)后的深度的理解.

1.經(jīng)歷認(rèn)知沖突，在體驗(yàn)中豁然

在教學(xué)實(shí)踐中，由于學(xué)生的猜想是建立在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，這樣難免有些認(rèn)知上的偏差，尤其對(duì)抽象的數(shù)學(xué)新知會(huì)產(chǎn)生沖突和錯(cuò)誤，但是這樣的沖突和錯(cuò)誤是可以作為教學(xué)資源的，它顯而易見(jiàn)的價(jià)值是使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)而提升認(rèn)識(shí)，獲得強(qiáng)烈的體驗(yàn)并在體驗(yàn)中豁然開(kāi)朗.

例如：“工程問(wèn)題”教學(xué)，以下是把工作總量抽象成“1”的環(huán)節(jié)：

首先出示：我們學(xué)校準(zhǔn)備重修300米長(zhǎng)的圍墻，甲建筑隊(duì)保證10天完工，乙建筑隊(duì)保證15天完工.兩隊(duì)合修，幾天完成？（學(xué)生解答：6天完成）

其次改編：把上題的“300米”分別改成“100米、150米、600米、900米”，請(qǐng)學(xué)生猜想，這樣合修幾天能完成？（馬上學(xué)生紛紛舉手，認(rèn)為是2天、3天、12天、18天等，但是筆者清楚地發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生若有所思：大概既認(rèn)同又有疑惑）

然后組織探究：先自主探索，然后在學(xué)習(xí)小組中說(shuō)說(shuō)各自的發(fā)現(xiàn)，并討論為什么？

學(xué)生在發(fā)現(xiàn)自己的猜想是錯(cuò)誤后，感覺(jué)是疑惑的；在發(fā)現(xiàn)小組同學(xué)的結(jié)論后，感覺(jué)是驚奇的；在隨之“為什么會(huì)這樣”的小組討論反饋后，感覺(jué)是釋然的.這樣的體驗(yàn)經(jīng)歷學(xué)生是很難忘記的，這樣的收獲也將會(huì)是終身受益的.

2.經(jīng)歷多次猜想驗(yàn)證，在體驗(yàn)中得以升華

教師提供生動(dòng)的材料組織學(xué)生探索，讓學(xué)生經(jīng)歷多次猜想，在不斷探索中深化認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷多重體驗(yàn).最終不僅使學(xué)生獲得了正確結(jié)論，而且在此過(guò)程中，讓學(xué)生不斷獲得求知的體驗(yàn)，獲得自主修正猜想、接近成功和獲得成功的巨大體驗(yàn)，并可能在不斷的碰撞中得到認(rèn)識(shí)上的升華.

例如：“能被3整除的數(shù)的特征”：

（1）學(xué)生任意報(bào)數(shù)，老師快速判斷這個(gè)數(shù)能否被3整除，學(xué)生驗(yàn)證.

（2）小組合作學(xué)習(xí)：每個(gè)小組提供三組卡片，每組卡片形狀不同.第一組長(zhǎng)方形卡片5個(gè)數(shù)：1，2，3，4，5.第二組圓形卡片4個(gè)數(shù)：7，3，5，0.第三組平行四邊形卡片，為3個(gè)數(shù)再加一張空白卡片：2，7，5，空.

提出合作學(xué)習(xí)要求（投影顯示）：

步驟內(nèi)容提出猜想或修正猜想

①第一次猜想.

②用長(zhǎng)方形卡片任意排成5位數(shù)，用計(jì)算器檢查能否被3整除.

③用正方形卡片任意組成4位數(shù)，用計(jì)算器檢查能否被3整除.

④用平行四邊形卡片上的數(shù)字排成任意3位數(shù)，用計(jì)算器檢查能否被3整除，再在空白卡片上填上一個(gè)數(shù)字，使得排出的數(shù)能被3整除.

⑤在空白卡片上填另外的數(shù)字，看排出的數(shù)能否被3整除.

⑥驗(yàn)證猜想，寫(xiě)下研究的結(jié)論.

學(xué)生根據(jù)初步體驗(yàn)得出的第一次猜想是建立在直覺(jué)基礎(chǔ)上的，學(xué)生一開(kāi)始馬上想到的是：個(gè)位上是3、6、9的數(shù)能被3整除.但是在小組內(nèi)馬上聽(tīng)到了不同的質(zhì)疑聲音.

學(xué)生在完成步驟②的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)怎么擺都能被3整除，完成步驟③的時(shí)候，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩組數(shù)的和都是15，于是猜想到如果和是15就能被3整除，筆者發(fā)現(xiàn)確實(shí)有一些組提出了這樣的猜想.

學(xué)生在做步驟④的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)幾乎所有小組都在空卡片上填寫(xiě)了數(shù)字1，使得和等于15.結(jié)果發(fā)現(xiàn)確實(shí)能被3整除，學(xué)生都非常興奮.基本肯定了前面提出的猜想.

在做⑤的時(shí)候，學(xué)生又陷入了疑問(wèn)，比如一個(gè)組在空白卡片上填4后，和等于18，這個(gè)數(shù)也能被3整除，使學(xué)生又進(jìn)入更深層次的猜想.最后獲得正確的結(jié)論.

學(xué)生在猜想中體驗(yàn)了知識(shí)發(fā)生的始終，既感受了探究新知的辛勞，又享受著成功的喜悅，因此，猜想是一種有滋有味的體驗(yàn)過(guò)程.在猜想中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有趣的，也是艱辛的；有收獲時(shí)的喜悅，也有失敗時(shí)的沮喪；有時(shí)答案好像垂手可及，有時(shí)卻是不著邊際的摸索……在猜想中，學(xué)生充分體驗(yàn)了學(xué)習(xí)活動(dòng)的魅力.

（二）引導(dǎo)學(xué)生有效探究提升思維水平

猜想，從心理學(xué)角度看，是一項(xiàng)思維活動(dòng)，是學(xué)生有方向的猜測(cè)與判斷，包含了理性的思考和直覺(jué)的推斷，是比較高級(jí)的思維方式.猜想，是學(xué)生憑借所已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、比較、歸納、推斷等手段，借助思維的綜合，進(jìn)行目標(biāo)推斷的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維活躍，處于積極主動(dòng)的狀態(tài).在獲得猜想后，學(xué)生進(jìn)一步形成的希望知道猜測(cè)是否合理的驗(yàn)證活動(dòng)，以及發(fā)現(xiàn)猜想錯(cuò)誤而提出新猜想的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一種有情有趣的思維過(guò)程.

1.正面探究，誘發(fā)思考

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以讓學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新知進(jìn)行猜想，然后在猜想的引領(lǐng)下，促使學(xué)生積極思索，在假定的探索航線上尋求問(wèn)題的解決.這樣的教學(xué)，以先前的猜想為思維起點(diǎn)，其后的修正或者可能的進(jìn)一步猜想、檢驗(yàn)、判斷等為思維進(jìn)程，最終獲得結(jié)論.

例如“我們認(rèn)識(shí)的數(shù)”：

猜一猜：先讓學(xué)生像老師一樣把手張開(kāi)，從1號(hào)口袋里抓一大把糖，數(shù)一數(shù)有幾粒，記在心里后放回口袋.再讓學(xué)生猜一猜如果像剛才那樣從2號(hào)口袋里抓一大把花生，大約有幾粒？學(xué)生抓一把花生驗(yàn)證自己的猜測(cè).接著小結(jié)：花生的個(gè)兒小，糖兒的個(gè)兒大，同樣抓一把，花生比糖的粒數(shù)多.最后再請(qǐng)小朋友估計(jì)一下，如果像剛才一樣從3號(hào)口袋里抓一把黃豆，大約有多少粒？為什么？并實(shí)踐驗(yàn)證.

再猜：老師讓學(xué)生猜一猜老師抓一大把花生大約有多少粒？為什么？

接著小結(jié)：老師的手兒大，小朋友的手兒小，抓一把同樣的物體，老師抓到的數(shù)量比小朋友的多.

還猜：老師拿出一個(gè)大橘子，請(qǐng)學(xué)生猜一猜這只橘子可能有幾瓣？再拿出一個(gè)小橘子，請(qǐng)學(xué)生猜一猜這只小橘子又有幾瓣？為什么？對(duì)于孩子們的眾說(shuō)紛紜，老師笑著說(shuō)：“橘子個(gè)兒小瓣數(shù)就一定少嗎，橘子個(gè)兒大瓣數(shù)就一定多嗎？”課后，小朋友吃橘子的時(shí)候留心數(shù)一數(shù)，說(shuō)不定你還能發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象！

老師由淺入深精心布局的“猜一猜”活動(dòng)幫助學(xué)生積累大量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生在不斷的猜想與反思（驗(yàn)證）中逐漸提升對(duì)數(shù)感的感悟?qū)哟危y能可貴的是：在簡(jiǎn)單看似的認(rèn)數(shù)活動(dòng)的背后還蘊(yùn)藏著深刻的辯證思想：從“同樣大小的手抓不同的物體”反映出“空間一定，物體大小與物體數(shù)量成反比”的規(guī)律；從“不同大小的手抓同樣的物體”反映出“物體一定，空間大小與物體數(shù)量成正比”的規(guī)律；最后的“猜一猜橘子有幾瓣”又反映學(xué)生“空間大小與物體數(shù)量、物體大小有時(shí)并沒(méi)有必然的聯(lián)系”，引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)到“任何物體之間的關(guān)系都是相對(duì)的”.

2.反向建構(gòu)，提升思維

常常聽(tīng)到教師“講了很多次了，也做了很多題了，但是學(xué)生怎么還要錯(cuò)？”等等的抱怨.學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是多方面的，原因之一是“單行線教學(xué)”.比如，應(yīng)用題教學(xué)的一般模式是“例題講解—獲得方法—練習(xí)鞏固”，在練習(xí)課或者復(fù)習(xí)課時(shí)教師往往讓學(xué)生進(jìn)行較多的練習(xí).這樣的教學(xué)是單向的，效果并不理想.特別是在練習(xí)課和復(fù)習(xí)課中，有時(shí)利用猜想驗(yàn)證內(nèi)在的思維價(jià)值，變“正向教學(xué)”“反復(fù)操練”為“反向構(gòu)建”，更能幫助穩(wěn)固學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

比如，在十一冊(cè)總復(fù)習(xí)時(shí)，有一次出示了一組算式：

3.14×8

（8÷2）2×3.14

5000×2.25%×20%

3.14×（42-32）

……

先猜想這些算式可能在解決什么問(wèn)題，算式中的數(shù)據(jù)可能是什么？選擇一道進(jìn)行研究，利用自己熟悉的方法進(jìn)行驗(yàn)證.

反饋時(shí)，學(xué)生發(fā)言熱烈，還有一些學(xué)生以編應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)，還有學(xué)生“違背”了大眾化的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步進(jìn)行了探究，創(chuàng)編了“另類(lèi)”題，比如一個(gè)學(xué)生以畫(huà)圖的形式，展示了他對(duì)“3.14×8”的猜想成果：

他的解釋是：已知正方形的面積是8平方厘米，求圓的面積.

不難發(fā)現(xiàn)，這位學(xué)生的猜想來(lái)自于自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維的結(jié)果，這樣的猜想實(shí)際上是對(duì)學(xué)生思維的喚醒.在學(xué)生觀察一個(gè)非常普通枯燥的算式時(shí)，讓學(xué)生根據(jù)算式猜測(cè)數(shù)據(jù)的意義，進(jìn)而猜想算式的現(xiàn)實(shí)情境，相對(duì)“根據(jù)應(yīng)用題列出算式”這樣的正向探究活動(dòng)來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)反向聯(lián)結(jié)，這時(shí)學(xué)生的思維活動(dòng)是積極的、主動(dòng)的，以此幫助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)知系統(tǒng)，也可能促使學(xué)生通過(guò)進(jìn)一步探究獲得不同的多樣的發(fā)現(xiàn).

猜想是一種思維方式，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是創(chuàng)新思維能力.因?yàn)閷W(xué)生的猜想必定帶有個(gè)性的色彩，這種建立在個(gè)體一系列思維活動(dòng)基礎(chǔ)上的猜想，很可能激起學(xué)生創(chuàng)新的火花，產(chǎn)生創(chuàng)新性的成果.

猜想可以發(fā)展學(xué)生的思維，建立在一定直覺(jué)性基礎(chǔ)上的猜想內(nèi)含了寬泛的思維空間，學(xué)生的思維可以在其間縱橫馳騁，在自身建構(gòu)猜想的過(guò)程中、在與他人交流猜想的過(guò)程中都會(huì)產(chǎn)生思維沖撞，從而不斷推進(jìn)思維水平的提高.

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