基于度量本質(zhì)的教材解讀與教學探究

黃慧章　鄭大明

[摘 要]度量是數(shù)學的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認識數(shù)學，進而認識現(xiàn)實世界的工具。通過文獻閱讀、教材解讀、主題研討、課堂實證等研究活動，初步厘清了度量的含義、要素、本質(zhì)及價值，梳理出小學階段關于“度量”的課程目標與內(nèi)容，總結(jié)出小學階段培養(yǎng)學生度量意識的基本策略。

[關鍵詞]度量本質(zhì);教材解讀;教學探究

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0005-06

一、研究動因

（一）度量在數(shù)學中有著重要的地位

昂利·彭加勒在《科學與方法》一書中說道：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間?！?/p>

史寧中教授指出：“度量是數(shù)學的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認識數(shù)學，進而認識現(xiàn)實世界的工具?！笨梢?，度量在數(shù)學中有著重要的地位。

（二）教師對度量的認知不深刻

在以往的教學中，教師并沒有過多地關注“度量”。畢竟“度量”沒有寫進課程標準，自然沒有引起教師的重視。在2019年新世紀小學數(shù)學研究與應用基地開展“度量”主題的序列活動后，大家才把目光聚焦到“度量”上來，但是對它的認識仍不全面，多數(shù)教師認為度量就是測量，對其內(nèi)涵、本質(zhì)及價值的認知不深刻，更談不上從度量的角度去解讀教材、設計教學、開展教學。

（三）學生的度量意識有待提升

由于教師對度量的認識不深刻，也不重視度量，使得學生的度量意識不強，也就是自覺地感受和使用計量標準的意識不強。例如，在“角的度量（一）”學習中，不會主動用小角去測量大角;在“分數(shù)的再認識（二）”學習中，當用一張紙條不能正好量完時，不會主動地創(chuàng)造更小的單位去測量;等等。

教師如何基于度量的本質(zhì)去解讀教材？在備課和教學時如何把握度量的本質(zhì)？如何設計教學活動，讓學生經(jīng)歷單位的產(chǎn)生與形成過程、單位的累加與劃分過程，從而形成標準單位的觀念，并以此作為估計和測量的工具，培養(yǎng)學生的符號意識和數(shù)感，幫助學生積累度量活動的經(jīng)驗？

基于以上問題，我們開展了“基于度量本質(zhì)的教材解讀與教學探究”的研究。

二、研究成果

（一）認識性成果

1.對“度量”的基本認識

（1）“度量衡”的背景知識

①度量衡的產(chǎn)生

度量，即計量長短、容積、輕重的統(tǒng)稱。

度量衡的產(chǎn)生，是和人類交換行為的發(fā)展分不開的，并且隨著生產(chǎn)力的進步，度量衡也在不斷變化?！抖Y記》和《周禮》中都有記載：早在周朝時期就開始推行嚴格的度量衡管理制度，并設置了主管的官職。公元前221年，秦始皇統(tǒng)一中國，頒布了統(tǒng)一度量衡的詔令，由官府監(jiān)制成套計量標準器，發(fā)到全國各地。秦朝統(tǒng)一的度量衡制度為兩千多年封建社會所沿用，形成我國計量科學獨特的體系。

②古代度量衡命名

“度量衡”名稱源自《書·舜典》“同律度量衡”，《漢書·律歷志》闡明其意，隨后歷代都沿用這個名稱。如果把度量衡這個名詞分開，就有度、量、衡三個量。這種分開來的各個單一量的名稱，是由漢代劉歆的條奏所言“審度”“嘉量”“衡權”而確定。其中“嘉量”又出自《周禮·考工記·桌氏》的“嘉量既成，以觀四國”。

“審”的意思就是“定”，所謂審度是指用“度”來確定物體的長短。

“嘉”的本義是“善”，所謂嘉量是指以量器來量物體的多少時，必須像水平那樣作為標準。

“權”的意思是“重”，“衡”的作用是用“權”來平衡物體的輕重，衡權也就是指權和物形成平衡。

度——計量長短的器具，也是長度單位的通稱，現(xiàn)在還表示測量長度的過程。

量——測定計算容積的器皿，又是體積和容積單位的統(tǒng)稱，現(xiàn)在還表示測量和測量結(jié)果。

衡——測量物體輕重的工具，又是輕重單位的統(tǒng)稱，現(xiàn)在“權衡”和“衡量”還表示稱重過程。

（2）現(xiàn)代漢語中的度量衡

①關于“度”的解釋有13種，與數(shù)學相關的主要有：

計算長短的器具或單位：尺～;刻～;～量衡。

分角的單位，一圓周角分為360°：角～。

依照計算的一定標準劃分的單位：溫～;濕～;經(jīng)～;緯～;濃～。

②關于“量”的解釋有6種，與數(shù)學相關的主要有：

量（liáng）：用器物計算東西的多少或長短：用尺～布;用斗～米;車載斗～;～體溫。

量（liàng）：舊指測量東西多少的器物，如斗、升等。數(shù)的多少：數(shù)～;質(zhì)～;降雨～;限～供應。

③關于“衡”的解釋有6種，與數(shù)學相關的主要有：

秤桿，泛指秤：～器;～鏡（借指辨別是非善惡的標準）;～鑒（衡鏡）。

稱量：～鈞（借指執(zhí)掌國政之權）。

（3）我們對度量的基本認識

①度量的含義

度量就是對事物長短、容積、輕重的計量過程。

②度量的要素

度量包括度量對象、度量單位、度量方法和度量值。

③度量的本質(zhì)

度量的本質(zhì)就是度量單位的累加與劃分，即度量對象包含有多少個度量單位。例如，長度的度量就是指度量對象包含有多少個標準的長度單位;分數(shù)的度量，就是指將較大單位細分為較小單位后，這個分數(shù)包含有多少個這樣的分數(shù)單位。

④度量的類型

度量分為抽象度量和具象度量。抽象度量是用計數(shù)單位（通過抽象得到的度量單位）去計數(shù)（數(shù)數(shù)），其著力于數(shù)感的培養(yǎng)。關于整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、比等的度量則屬于抽象度量。具象度量是用計量單位（工具）測量，其著力于量感的培養(yǎng)。例如長度、面積、體積、重量等的度量。

⑤度量的價值

度量觸及數(shù)學的本質(zhì)，是貫通數(shù)量關系和空間形式的橋梁。它是人類認識、理解和表達現(xiàn)實世界的又一重要工具。

2.對“度量意識”的認識

度量意識就是一種自覺地感受和擁有使用計量標準的意識。它包括以下幾個層面：

（1）自覺感受和使用《中華人民共和國計量法》規(guī)定的計量單位。

（2）自覺感受和使用抽象的度量單位和具象的度量單位，并能運用度量單位間的聯(lián)系解決問題。

抽象度量：使用計數(shù)單位，即數(shù)數(shù)的標準。（數(shù)感）

具象度量：使用計量單位，即用工具測量的標準。（量感）

（3）自覺感受測量活動中度量和度量單位的本質(zhì)意義，會選擇運用相應的度量工具。

計數(shù)和計數(shù)單位：累計與等分（比如十進制： 104，103，102，101，100，10-1，10-2，10-3，10-4…）。

計量和計量單位：長度，標準距離的倍數(shù);質(zhì)量，標準物體密度的倍數(shù);容積，標準（固）液體容量的倍數(shù)。

（4）自覺感受度量離散量與連續(xù)量的測量方法，并形成運用能力。

離散量：能直接數(shù)出個數(shù)的量（如牛、羊的頭數(shù)）。

連續(xù)量：不能直接數(shù)出個數(shù)的量（如牛、羊的重量）。

（5）自覺感受和使用度量動態(tài)事物和不合標準事物的估計及估算方法。

動態(tài)事物度量：概數(shù)。如二十來人。

不合標準事物度量：約數(shù)。如約3平方米，約3天。

（6）自覺感悟度量單位所蘊含的數(shù)學思想，形成數(shù)學抽象和直觀想象能力。

（二）操作性成果

1.梳理了培養(yǎng)度量意識的課程目標

“度量”集中體現(xiàn)在“數(shù)的認識”和“圖形的測量”兩大領域，于是我們認真研讀課程標準，對和度量相關的課程目標進行了梳理。

（1）《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中有關“數(shù)的認識”的具體目標有16個？

這些目標大致可以分為四個方面：一是建立數(shù)數(shù)的統(tǒng)一計數(shù)單位;二是掌握數(shù)數(shù)（計數(shù)）的方法;三是感受數(shù)的實際意義并會估計;四是會用數(shù)表示生活中的量。在四個目標中，最關鍵的是建立統(tǒng)一的計數(shù)標準，它是實現(xiàn)后面三個目標的基礎。

（2）《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中有關“圖形的測量”的具體目標有14個：

這些目標大致可以分為三個方面：一是建立測量的統(tǒng)一度量單位;二是掌握有關圖形的計算方法;三是運用測量知識解決實際問題。在這三方面目標中，最關鍵的是建立統(tǒng)一的度量標準，它是實現(xiàn)后面兩個目標的基礎。

2.培養(yǎng)度量意識的課程內(nèi)容

3.基于度量本質(zhì)的教材解讀

課堂教學成功與否，首先取決于教師對教材理解的深度。按照布魯納的看法，任何學科教學都必須將學科中那些最廣泛、最強有力的適應性觀念教給學生。這些觀念“可以把現(xiàn)行的極其豐富的學科內(nèi)容精簡為一組簡單的命題，成為更經(jīng)濟、更富有活力的東西”，幫助學生通過對學科深層結(jié)構(gòu)的理解來提升他們“分析信息，提出新命題，駕馭知識體系”的能力。更明確地說，教材中最有價值的內(nèi)容就是體現(xiàn)學科本質(zhì)的內(nèi)容和居于內(nèi)核地位的知識。

因此，要培養(yǎng)學生的度量意識，教師必須從度量的角度解讀教材，理解教材，把握度量的本質(zhì)和數(shù)學知識的內(nèi)核。

例如，一年級上冊“古人計數(shù)”和二年級上冊的“教室有多長”。

4.培養(yǎng)度量意識的教學策略

（1）使學生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性;使學生理解和把握度量單位的實際意義，會在具體的問題情境中恰當?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進行測量。

案例1：北師大版教材二年級上冊第六單元“課桌有多長”

①動手測量，引發(fā)思考——體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性

【活動一】

量一量：自選工具測量課桌的長度。

說一說：課桌有 6 拃長;課桌有 4 支鉛筆長;課桌有 2 本數(shù)學書長……

想一想：同樣的課桌，為什么測量結(jié)果不一樣？（因為測量的工具不同）

教師借用上一節(jié)課“教室有多長”的活動經(jīng)驗，再次讓學生經(jīng)歷用不同方式測量同一物體長度的過程。通過叩問本質(zhì)，引發(fā)學生的認知沖突——雖然測量的是同一物體的長度，但量出的結(jié)果卻不同，喚醒學生利用原有生活經(jīng)驗（從混亂到統(tǒng)一）解決新問題，順勢引導學生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。

②借助直尺，多層體驗——建立1厘米長度的正確表象

【活動二】

看一看：直尺上有什么？1厘米有多長？

找一找：在你的尺子上，從幾到幾是 1 厘米？

說一說：同桌之間相互說一說1厘米在哪里。

理一理：請用一句話來概括 1 厘米。

變一變：找到5，從5到幾是1厘米？

比一比：你能用手比畫出 1 厘米的長度嗎？

想一想：閉上眼睛想象 1 厘米有多長，再次用手比畫，并對照尺子進行檢查。

找一找：生活中什么物體的長度大約是1 厘米？

借助尺子，幫助學生建立1厘米的正確表象：像0到1這樣一段的長度就是1厘米。通過不斷地在尺子上看、找（順著找和逆著找），在頭腦中建立1厘米的長度觀念。接著教師引導學生通過動腦想、動口辯、動手比、動眼找等在多層次的實踐中反復體會“1厘米”的計量單位，獲得對“1厘米”這個長度單位獨特、豐富、準確的感受，從而建構(gòu)清晰、牢固、鮮活的1厘米的長度表象。

③聚焦本質(zhì)，再次操作——理解幾厘米是多個1厘米的累加

【活動三】

找一找：嘗試在尺子上找到 2 厘米。

說一說：說說你是怎么找的。

拓一拓：嘗試找到3厘米、4厘米。

想一想：這2厘米、3厘米、4厘米和我們剛才研究的1厘米之間有什么關系？

引導學生借助尺子來找?guī)桌迕?，根?jù)學生的回答，利用課件直觀演示“將1厘米、1厘米……首尾拼接起來，得到更長的線段”，即幾個1厘米就是幾厘米?？客评?、想象來理解“分割和累加”的思想，促成對“多個單位”的感悟。這些活動為學生進一步認識“量”積累了活動經(jīng)驗，使學生感受到度量單位的價值。

④實際測量，積累經(jīng)驗——學會用尺子正確量出物體的長度

【活動四】

量一量：提供長為 5 厘米的小棒，讓學生動手量一量。

說一說：交流自己的測量方法。

問一問：還有其他方法嗎？（重點交流起點是 0 與非 0 的量法）

比一比：幾種方法有什么相同與不同之處？

估一估：估一估自己的鉛筆有多少厘米。

驗一驗：通過測量驗證自己估測的結(jié)果對不對。

畫一畫：先嘗試用手比畫 4 厘米的長度，再用筆畫出一條長為 4 厘米的線。

“量感”與生活息息相關，通過開展以上實踐活動，能帶領學生動手操作，促進學生掌握測量方法。

以上案例中，教師通過動手操作、數(shù)學表達、數(shù)學思考、直觀想象等一系列數(shù)學活動幫助學生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性;理解和把握長度單位（1厘米）的實際意義;會在具體的問題情境中恰當?shù)剡x擇長度單位、工具和方法進行長度測量，積累了度量經(jīng)驗，發(fā)展了度量意識。

（2）教師應注重幫助學生在圖形的測量活動中感悟數(shù)學思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)空間觀念。

案例2：北師大版教材三年級下冊第五單元“什么是面積”

①比一比：（出示教材中的長方形和正方形）哪個圖形的面積大？

小結(jié)：有時僅憑觀察無法比較出圖形的大小，這時需要對面積進行測量。

②議一議：怎樣測量出這兩個圖形的面積有多大呢？

（預設：如果有學生說用尺子量，就引導學生明確用尺子只能測量桌面的長和寬，還不能直接測量出桌面的面積，同時用課件動態(tài)呈現(xiàn)素材，讓學生直觀感知面積與周長的不同。）

③量一量：

首學：選擇喜歡的工具進行測量，并填寫首學單。

互學：小組交流測量工具、方法及結(jié)果。

群學：小組匯報測量工具、方法及結(jié)果。

生1：用正方形量，長方形共用15個，正方形共用16個，所以正方形的面積大。

生2：用三角形量，長方形共用30個，正方形共用32個，所以正方形的面積大。

共學：師生對話，總結(jié)提煉。

師：為什么沒有選擇用圓形來測量？

生3：有縫隙，擺不全。

師：還可以用什么圖形來測量？

生4：長方形。

師（小結(jié)）：要想知道一個面的面積，首先要“定標準”，然后“去測量”，最后“得結(jié)果”。

面積的大小是指一個面的實際量值。量值需要用標準來計量。只有進一步研究如何把面的大小說清楚，才能更深入地理解面積的含義。因此，掌握計量面的大小的一般方法，是深化面積認識、形成空間觀念的重要途徑。讓學生自選標準測量長方形的面積的教學，就是在溝通與測量中幫助學生獲得更加豐富的空間表象，增進學生對度量思想、單位思想的認識與理解。

（3）借助數(shù)形結(jié)合方式，幫助學生理解數(shù)數(shù)（離散量）結(jié)果與測量（連續(xù)量）結(jié)果之間的聯(lián)系，掌握數(shù)序列與量序列之間符號化陳述的本質(zhì)（確定標準，記錄點數(shù)）。

案例3：北師大版教材四年級上冊第一單元“近似數(shù)”

問題：巨幅國畫《江山如此多嬌》的實際面積是18000平方米，但報道中稱“近2萬平方米”，這是怎么一回事呢？

①首學：獨立探究，厘清原理。

②互學：小組交流，補充完善。

③群學：組間質(zhì)疑，豐富方法。

預設1：因為18000在10000和20000之間，所以用直線上的兩個點分別表示10000和20000，然后將這段線段平均分成10份，每份表示1000。從圖5中可以看出18000離20000比離10000近，所以用2萬來表示。

預設2：我們通過一千一千地數(shù)，從10000數(shù)到18000，要數(shù)8次;從20000倒著數(shù)，數(shù)到18000，只用數(shù)2次，所以18000接近2萬，用2萬來表示。

預設3：我把15000標出來，18000比15000大，所以18000更接近2萬。

預設4：數(shù)線圖上每一格表示1000，在圖中分別標出11000、12000、13000、14000、15000、16000、17000、19000。

從圖6中可以看出，11000、12000、13000、14000接近10000，所以它們大約是10000;16000、17000、19000更接近20000，所以它們大約是20000。我們的問題是15000在正中間，不知是大約1萬好，還是大約2萬好。

④共學：師生總結(jié)，探究本質(zhì)。

A.我們可以借助數(shù)線圖來數(shù)一數(shù)：從18000開始，一千一千地往左數(shù)，數(shù)到10000是8個千;一千一千地往右數(shù)，數(shù)到20000有2個千;18000離20000更近，所以18000約等于2萬，用“≈”表示，寫作18000≈2萬。

B.從數(shù)線圖上可以看出，11000、12000、13000、14000接近10000，所以它們大約是1萬;16000、17000、19000更接近20000，所以它們大約是2萬。例如14000大約是1萬，如圖8。

C.15000這個數(shù)約等于多少呢？似乎1萬可以，2萬也可以，因為15000剛好在中間。15000離1萬和2萬的距離是一樣的，但為了方便記錄，我們?nèi)藶橐?guī)定15000≈2萬。課件出示圖9：

D.對比約等于1萬和約等于2萬的數(shù)，說說你有什么發(fā)現(xiàn)。

預設：以15000為分界線，11000、12000、13000、14000接近1萬，16000、17000、18000、19000接近2萬。

小結(jié)：10000～20000，15000居正中間，比15000小的數(shù)，也就是千位上是 0～4的數(shù)，它們都接近1萬，在求近似數(shù)的時候，把萬位后面的尾數(shù)舍去，叫作“四舍”;比15000大的數(shù)，也就是千位上是6～9的數(shù)，它們都接近2萬，要向萬位進一，再把萬位后面的尾數(shù)舍去， 這叫作“五入”。這個“15000”讓數(shù)學家也很為難，最后規(guī)定，等于5或大于5都向前一位進一，這樣就把15000歸到 “五入”。這種求近似數(shù)的方法就叫作 “四舍五入” 法。

以上案例充分借助數(shù)線圖這一直觀模型，利用數(shù)線圖中的單位長度度量出近似值與實際值間的距離，將數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為數(shù)線圖上線段長短的比較，實現(xiàn)了數(shù)與形的有效結(jié)合，幫助學生直觀感知近似值與實際值的接近程度，從度量的角度幫助學生理解了“四舍五入”的原理，有效地培養(yǎng)了學生的幾何直觀能力，促進了學生數(shù)感的發(fā)展。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 鄭大明.踐行養(yǎng)育“核心素養(yǎng)”的三性教育[J].教育科學論壇，2016（11）.

[2] 李松林，深度教學的四個實踐著力點：兼論推進課堂教學縱深改革的實質(zhì)與方向[J].教育理論與實踐，2014（31）.

[3] 娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質(zhì)及小學數(shù)學教學[J].數(shù)學教育學報，2018（6）.

[4] 林美.把握度量本質(zhì) 聚焦量感培養(yǎng)：以“課桌有多長”為例[J].小學教學（數(shù)學版）， 2018（10）.

（責編 金 鈴）