基于“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理”的案例評析

陳小祥 張文海

[摘? 要] 如何更好地推進核心素養(yǎng)的落地生根？如何進一步提升教育教學(xué)質(zhì)量效益？文章從一節(jié)省級活動的同課異構(gòu)的課堂教學(xué)以及評課等系列活動出發(fā)，剖析設(shè)計案例、感悟教育教學(xué)、深思相關(guān)理論，進而反思再教學(xué)與設(shè)計，擬提供落實核心素養(yǎng)于課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的案例供同行參照.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)設(shè)計;新授課;大單元教學(xué)

■基本情況

1. 背景簡介

近期江蘇省高中數(shù)學(xué)骨干教師研修活動在蘇州順利舉行，期間在蘇州某四星級高中舉行了新授課同課異構(gòu)的活動，在學(xué)科核心素養(yǎng)全面推進和江蘇等省即將進入新一輪課改的背景下，我們將眼光重新投向了課堂教學(xué). 眾所周知，課堂教學(xué)很大程度上受限于教學(xué)設(shè)計，教師的一個重要工作就是進行教學(xué)設(shè)計與創(chuàng)新，教師的一個重要身份或許就是教學(xué)設(shè)計師，特別是新授課的設(shè)計與教學(xué). 命題新授課是高中數(shù)學(xué)的一種基本課型，也是獲取新知的主要途徑之一. 本文試圖通過以省骨干教師培訓(xùn)期間的同課異構(gòu)活動中的一位優(yōu)秀教師開設(shè)的一節(jié)公式新授課的設(shè)計、教學(xué)、專家評議等活動為載體，通過筆者的觀察與反思，為高中數(shù)學(xué)命題新授課的設(shè)計、教學(xué)的研究提供示例.

2. 教學(xué)對象

上課對象為江蘇省蘇州市某四星級高中二年級某班，學(xué)生基礎(chǔ)好，思維活躍，有相當(dāng)?shù)念惐?、?lián)想、推理和運算能力，絕大部分學(xué)生有著較高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，能夠積極主動地參與課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié).

3. 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)完成了蘇教版必修5數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等差數(shù)列的前n項和以及等比數(shù)列的概念的學(xué)習(xí)，對數(shù)列的概念、等差數(shù)列的一些知識方法和技能以及基本思想、活動經(jīng)驗等有了初步的認識和感受，并且對高中數(shù)學(xué)新授課特別是等差數(shù)列部分的學(xué)習(xí)的方式有了一定的了解.

4. 教材分析

“等比數(shù)列的前n項和”是蘇教版必修5中2.3.3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容既是對初中相應(yīng)內(nèi)容的拓展擴充，也是高中繼等差數(shù)列章節(jié)后重要的后續(xù)課程，是等差數(shù)列前n項和以及等比數(shù)列通項后的一個自然延續(xù);其公式及其推導(dǎo)蘊含了特殊到一般、類比和歸納等思想方法，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個重要的衍生性主題內(nèi)容，同時也為數(shù)列章節(jié)后續(xù)的應(yīng)用打下了不可或缺的知識方法的基礎(chǔ).

5. 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

較為自然地引導(dǎo)學(xué)生想到公式并推導(dǎo)應(yīng)用;重點是公式推導(dǎo)，難點是怎樣想到證明方法. （授課張老師自述語）

■教學(xué)過程實錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，問題引入

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的哪些內(nèi)容？

生（集體）敘述：定義、通項公式等內(nèi)容.

師：依照等差數(shù)列學(xué)習(xí)的內(nèi)容安排，今天我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列的（停頓）和.

問題情境1：（細菌分裂）細菌通過分裂增殖，一個細菌繁殖10代可以產(chǎn)生多少個細菌？

問題情境2：（產(chǎn)值問題）某廠去年的產(chǎn)值記為100萬元，若計劃在今后的5年內(nèi)的產(chǎn)值每一年比上一年增長10%，則從今年起到第5年，這個廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？

師：上述2個問題所涉及的分別是什么數(shù)學(xué)問題？

生1：求項以及求和的問題（師板書相應(yīng)的代數(shù)式）.

問題情境3：（借貸問題）故事情境：富人借錢給窮人，第1天1萬，以后每天比前一天多1萬，30天截止;窮人第1天還1分，以后每天還的錢是前一天的2倍，30天截止. 問：窮人是否可以接受這種借還方式？

師：問題3中涉及的兩個數(shù)列求和式子是（師生互動，師板書式子）：1+2+3+…+30（萬元），1+2+22+…+229（分）.

2. 師生互動，探究問題

師：窮人是否可以接受這種借還方式，可以轉(zhuǎn)化為一個怎樣的數(shù)學(xué)問題？

生2：比較兩個式子和的大小，第一個式子可以利用前面所學(xué)的等差數(shù)列的求和公式求解，問題是如何求第二個式子的和.

師：這個同學(xué)的回答直擊問題的核心，下面我們就來研究如何求第二個式子的和. 想一下，如果讓你來求，你怎么算？（停頓）

師：這樣，我們先來考慮1+2+22+…+210怎么算.

生眾：硬算，一個一個地加（學(xué)生笑）.

師：項數(shù)較多時，一個一個地加就顯得不方便了，能不能類似等差數(shù)列的求和公式，找到一個求這一類問題的一般公式呢？比如求1+2+22+…+2n的和？（停頓）

生3：先算幾個n比較小的看看.

師：很好，縮小指數(shù)算算看，一起來.

（師生互動，師寫n=1，2，3，4時的式子及和）

師：結(jié)果與n的關(guān)系能不能猜一猜？

生4：Sn=2n-1.

師：這一結(jié)果從哪兒得到的？

生4：觀察前幾項后猜想的.

師：研究一般問題先從特殊的情況入手考慮是一個不錯的辦法，如果公比不是2而是3呢？公式類似嗎？公比為q呢？

師：公比為3，4，5，6的情形，請同學(xué)們分組探究一下1+q+q2+…+qn的和. （小組活動）

幾分鐘后，各小組匯報自己探究的結(jié)果：■，■，■，■.

師：公比為q呢？

生5：■.

師：有沒有什么疑問？

生6：q≠1.？搖

師：為什么？

生6：分母不能為0.

師：若q=1，怎么辦？

生6：常數(shù)列.？搖

師：好，如何證明這個結(jié)論？不翻書，同學(xué)們思考思考. （停頓2分鐘）

生7：（學(xué)生們思考議論）等式兩邊乘q.

師：為什么要乘q？

生7：乘q之后，一列數(shù)中有很多項是相同的，可以消去.

師：大家說他講得好不好？一定要乘q嗎？還有沒有其他辦法？

生8：還可以除以q.

師：除以q，相當(dāng)于乘■（師寫出過程）. 除了乘■，還可以乘其他的數(shù)嗎？

生8：還可以乘q2.

師：乘q，■，q2等都與何有關(guān)？

生眾：與q有關(guān).

師：對比一下，哪個更好？乘q的目的，抓住了等比數(shù)列前后項之間的特征.乘q達到了什么目的？

生8：消項，變成了2項.

師：這種化無限為有限的方法之前遇到過嗎？等差數(shù)列前n項和怎么求的？它的本質(zhì)是什么？

生9：倒序相加法，抓住等差數(shù)列a■+an=a2+an-1=…的特征，實現(xiàn)了化無限為有限.

師：回答得很好，這兩種求和方法雖然不同，但其數(shù)學(xué)思想方法卻是統(tǒng)一的. 類比等差數(shù)列求和的倒序相加法，你能給這個方法取一個名字嗎？

生眾：（結(jié)合過程，詳述程序，并描述關(guān)鍵步驟）錯位相減法，數(shù)學(xué)上方法的名稱，很多時候，能夠反映其內(nèi)涵.

師：若改成一般的等比數(shù)列{an}，其前n項和a1+a2+…+an=？

生10：Sn=■.

師：還有沒有其他情況？

生11：當(dāng)q=1時，Sn=na1.

師：我們考慮問題一定要嚴謹，只要使用求和公式，就要考慮q=1的特殊情況（師板書并強調(diào)公式整體），求和公式關(guān)注了哪幾個量？

生眾：a■，q，n.

師：想一想，求等差數(shù)列前n項和有幾個公式？第二個公式是如何得到的？求等比數(shù)列前n項和會不會也有兩個公式？公式能不能類比得到？（試一試）

生12：結(jié)合通項公式an=a1qn-1，可得Sn=■（q≠1）.

師：重新認識等比數(shù)列前n項和的公式的推導(dǎo)方法：名稱，實施步驟（①②③），與等差數(shù)列前n項和公式相比其相同點是什么（①②③）？

師：大家思考一下，推導(dǎo)求和公式時，在等式Sn=1+q+q2+…+qn-1兩邊同時乘q這一妙招，剛才那位同學(xué)是根據(jù)等比數(shù)列各項之間的特征直接觀察得到的. 我們可否從要證明的猜想S■=■（q≠1）的結(jié)構(gòu)分析而得到？（停頓片刻）

生13：要證Sn=■，只要證（1-q）·Sn=1-qn，即證S■-qS■=1-qn，從這里也可以發(fā)現(xiàn)同乘公比q的妙招.

師：這個同學(xué)回答得太精彩了，他告訴了我們一種證明恒等式的方法，就是分析法，其本質(zhì)就是執(zhí)果索因. 實際上，歷史上關(guān)于這個問題的探究有幾種精妙的證法，大家不妨一起來了解和欣賞一下.

3. 歷史名題，證法欣賞

教師出示兩個歷史命題：（1）公元前1650年埃及祭司的房屋、貓、老鼠、麥穗問題;（2）《孫子算經(jīng)》卷下，九堤、九木、九枝、九巢、九禽、九雛、九毛、九色問題.

教師引導(dǎo)學(xué)生欣賞證法：（紙草書）提取因式法、（幾何原本）比例證法等.

教師介紹方法、敘述歷史.

師：了解并學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的求和公式，接下來可以做什么呢？

生眾：應(yīng)用公式解決求和問題.

4. 公式運用，理解數(shù)學(xué)

師：請一位同學(xué)出一個與等比數(shù)列求和相關(guān)的問題，大家求解.

生14：a■=2×3n. （學(xué)生均能利用公式直接解答）

師：我來出一個題，大家解答一下：1+4+42+…+4n=？

生15：■=■.

師：大家同意嗎？如果不同意，你覺得問題在哪里？

生16：應(yīng)該是■=■，這里的項數(shù)應(yīng)該是n+1項.

師：以后我們在利用公式求和時，一定要關(guān)注好a■，q，n，a■到底是多少，如果不知道q的值，一定要對q分q=1和q≠1進行討論.

例題：在等比數(shù)列{a■}中，S■=■，S■=■，求通項公式a■.

生17：方法1（公式法，師補充公比的分析）.

生18：■=q3……

5. 總結(jié)反思，深化認識

師：讓我們一起從知識層面和方法層面對今天所學(xué)的內(nèi)容進行一個總結(jié).

生：無限到有限，消元，特殊到一般，分類討論……

師：（思維導(dǎo)圖式）數(shù)學(xué)知識（求和公式、推導(dǎo)方法），數(shù)學(xué)思想（特殊與一般、歸納猜想證明、方程思想、分類討論、化無限為有限）.

■專家點評

蘇州市教育科學(xué)研究院原院長、著名特級教師祁建新教授，蘇州高新區(qū)教育發(fā)展中心主任、省特級教師張必華教授，蘇州教科院高中數(shù)學(xué)研究員、省特級教師吳鍔主任，江蘇省正高級教師、高考命題專家王第成教授在三位上課教師（特優(yōu)、骨干和學(xué)員教師）介紹完教學(xué)設(shè)計意圖以及教學(xué)感受后，進行了氣氛熱烈的點評交流：

張必華教授首先指出：三節(jié)課精心安排，代表了不同階段、不同境界、不同層次的教師設(shè)計，彰顯了各自的教學(xué)風(fēng)格.新課程下的課堂有一些還是比較傳統(tǒng)一些，但今天的三節(jié)課從不同的角度切入，讓人眼前一亮，可以用前“蘇式課堂”中的詞形容此三節(jié)課：靈動、精致、開放、大氣、扎實、生動、有效.

吳鍔主任認為：張老師的課從情境（生活的、數(shù)學(xué)內(nèi)部的）引入，開門見山、單刀直入，從等差到等比（過渡）;接下來的探究活動中，教師引導(dǎo)，師生互動，小組合作，從少項（入手，逐漸）到多項，從數(shù)列研究的常規(guī)思路（出發(fā)），歸納出q=2時的結(jié)果，又繼續(xù)進行了q=3，4，5，6的分組實驗，再得到一般結(jié)果;然后對公式進行有效證明，體現(xiàn)了“創(chuàng)新再發(fā)現(xiàn)”的理念，符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)要求，也合乎弗賴登塔爾理論;重視數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)之路，再創(chuàng)造突出知識的形成過程，關(guān)注學(xué)生體驗過程，過程中發(fā)現(xiàn)了一些結(jié)論，數(shù)學(xué)實驗中有新的發(fā)現(xiàn)，抽象出了數(shù)學(xué)結(jié)論，體現(xiàn)了新課程理念，這個過程即是數(shù)學(xué)抽象，接下來的證明過程是邏輯推理，從而使核心素養(yǎng)落地生根，同時體現(xiàn)了問題解決意識，有限與無限的轉(zhuǎn)化滲透著數(shù)學(xué)哲學(xué)觀.

王弟成教授接著指出：一節(jié)好課的最基本的標(biāo)準(zhǔn)是，下課后學(xué)生能非常清楚本節(jié)課學(xué)到了什么.本節(jié)課教師能根據(jù)學(xué)生的問題進行引導(dǎo)，針對問題如何能夠自然地不強加學(xué)生的引導(dǎo)使得學(xué)生不知不覺學(xué)會了. 課堂上伴隨著問題的解決，（學(xué)生）創(chuàng)造了方法，體會了成功、自信，也感受到了自我發(fā)現(xiàn);課堂教學(xué)中非常注重在解決問題的過程中，探尋問題解決思路，滲透數(shù)學(xué)思想方法，方程思想、消元思想、特殊化思想等自然流淌，（充分體現(xiàn)）素養(yǎng)導(dǎo)向下的以知識為載體、以能力立意的新課堂（標(biāo)準(zhǔn)）.

然后，與會專家和教師自身也闡述了一些改進建議：如例題完成稍顯倉促，還有一些值得挖掘的地方;針對情境中引入的問題，課尾可予以解決回應(yīng)，以形成完整結(jié)構(gòu)，等等.

■教育論壇

本次活動后相比以前多了一個環(huán)節(jié)，頗具特色，即教育論壇，先是教育名家針對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落地生根這個主題發(fā)表個人見解，再由與會教師和專家互動.

祁建新教授認為：課堂研究為進一步接近真理發(fā)現(xiàn)真理助力.

首先，要形成大觀念. （教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)相應(yīng)的）精神、能力、數(shù)學(xué)美;教數(shù)學(xué)的人要學(xué)點哲學(xué)，數(shù)學(xué)實力一定程度上決定國家實力;要立德樹人，借助研究形成大觀念.

其次，強化大主題. 數(shù)學(xué)里的大主題，有些是隱性主題，如審美主題，跟著課標(biāo)、高考考向、學(xué)科規(guī)律（去研究），形成特色，走向風(fēng)格. （教學(xué)的）各階段理解各有不同，數(shù)學(xué)史上是如何求和的？為什么要學(xué)習(xí)求和？必要性問題應(yīng)講清楚;審美上，追求簡潔;教師藝術(shù)是，訓(xùn)練學(xué)生，怎么訓(xùn)練？運算如何（反對割裂素養(yǎng)的運算，算中有推）？如何悄悄地體現(xiàn)上去？等等，都需要思考研究.

第三，注重大單元.大單元，（要考慮）一節(jié)課在一個單元中的位置，一個單元（的整體）設(shè)計，設(shè)計的準(zhǔn)確、清晰、連續(xù)性（的考量），即設(shè)計應(yīng)與未來幾節(jié)課有聯(lián)系、有伏筆.

第四，教得有效.教得巧妙（是能力），教出特點，教出美感（是藝術(shù)）.

吳鍔主任指出：課堂是提升核心素養(yǎng)的沃土，素養(yǎng)通過教育去改變，課堂實踐大有可為，教育大有可為;靠研究，付出勞動，做中學(xué)，學(xué)中做. 從教育的初衷與理解上看（這幾節(jié)課），也許并不能改變什么，但可以提供（教學(xué)）示范和（教育）思考.

王弟成教授認為：教學(xué)的著眼點是培養(yǎng)能力;思考的方法，素養(yǎng)的落地是一個切入點（平時多搜集素材，有一些較為深入的思考）.

互動環(huán)節(jié)，與會專家和參會教師就新課程理念下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績與素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)系進行了熱烈的探討，包括對練習(xí)量的程度等問題的看法進行了交換.

張必華教授最后總結(jié)：核心素養(yǎng)的課怎么上？五點以概之：①以問題為中心;②知識技能是載體，技能在問題中;③實驗（數(shù)學(xué)）與活動是過程，過程以學(xué)生為主體;④以信息技術(shù)為手段（信息技術(shù)輔助、整合、融合于教學(xué)）;⑤以“四基四能”核心素養(yǎng)為目標(biāo).

■教學(xué)反思

1. 關(guān)于公式課的教學(xué)

在數(shù)學(xué)中，用來表示數(shù)學(xué)判斷的陳述句或符號的組合叫作數(shù)學(xué)命題，它們揭示了從現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系中抽象出來的一般規(guī)律，數(shù)學(xué)命題的教學(xué)主要指公理、定理、公式、法則的教學(xué)[1];而教學(xué)設(shè)計是運用系統(tǒng)方法分析教學(xué)問題和確定教學(xué)目標(biāo)，建立解決教學(xué)問題的策略方案、試行方案、評價試行結(jié)果和對方案進行修改的過程，是教師理論素養(yǎng)和學(xué)科素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)[2].

教學(xué)方法：曹一鳴教授認為，數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生，通過實驗、觀察、演算、分析、類比、歸納、作圖等步驟，探索規(guī)律，建立猜想，發(fā)現(xiàn)命題.

教學(xué)原則與策略：（1）需要原則：通過有效問題激發(fā)動機、調(diào)動積極性，引起內(nèi)在期望和認知需要. （2）過程性策略：教師在證明階段，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，啟發(fā)學(xué)生直接或間接地感受、體驗數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展、演變的動態(tài)過程，要求教師暴露學(xué)生的思維過程，揭示命題產(chǎn)生、推證過程，突出思想方法的提煉與應(yīng)用過程，引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗“再創(chuàng)造”的過程. （3）變式策略：通過變式練習(xí)等多種方式，促進學(xué)生理解命題蘊含的思想方法的本質(zhì)特征;（4）系統(tǒng)化策略：弄清命題在數(shù)學(xué)體系中的地位、作用，以及命題之間的關(guān)系，把握命題全貌;通過小結(jié)復(fù)習(xí)將知識整理成系統(tǒng)的知識體系，形成命題知識鏈;通過討論公式的推廣方法來表現(xiàn)命題知識的系統(tǒng)性.

本節(jié)課的教學(xué)，完全符合公式課的教學(xué)要求，以情境問題闡明必要性、以探究活動引發(fā)再創(chuàng)造、以多種證法揭示出本質(zhì)、以數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生拓展理解、以典例解決強化應(yīng)用、以簡明導(dǎo)圖概括所學(xué);從特殊到一般、從歸納到猜想、從多法到本質(zhì)、從證法到思想、從應(yīng)用到理解、從引導(dǎo)到放手再到回收，整個課堂自然順暢、時緊時緩，不知不覺之間在對話、探究、深思、合作、應(yīng)用中學(xué)生學(xué)了公式、懂了緣由、會了應(yīng)用、深了理解，為命題課的課堂教學(xué)提供了一次極好的示范.

2. 關(guān)于教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計是一個系統(tǒng)化規(guī)劃教學(xué)系統(tǒng)的過程，其根本目的是創(chuàng)設(shè)一個有效的教學(xué)系統(tǒng). 通俗地講，就是你要把學(xué)生帶到哪里去？你怎樣把學(xué)生帶到那里去？你這樣做能把學(xué)生帶到那里去嗎？

王尚志、張思明認為：現(xiàn)代教學(xué)設(shè)計理論上強調(diào)依據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)類型來選擇教學(xué)策略;強調(diào)以問題為中心，營造一個能激活原有知識經(jīng)驗、有利于新知識構(gòu)建的學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助學(xué)生進行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 進一步，他們認為教學(xué)設(shè)計需要考慮三條線索，關(guān)注三個維度：教學(xué)內(nèi)容線索，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)由簡單到復(fù)雜;學(xué)生的認知線索，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)行為由低級到高級發(fā)展，表現(xiàn)為“理解接受——聯(lián)結(jié)應(yīng)用——探究創(chuàng)造”;教學(xué)組織線索，教師的教學(xué)行為由顯性向隱性發(fā)展，表現(xiàn)為“傳授知識——訓(xùn)練技能——傳承策略”.

涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理”可以很好地剖析本節(jié)課，原理結(jié)構(gòu)如圖1：

如何教學(xué)生學(xué)會思考？用研究問題的一般方法：提出問題——構(gòu)建概念——尋找方法——提出假設(shè)——驗證猜想——語言表述. 張老師的設(shè)計和教學(xué)順序與這一般線路基本契合.

提出什么樣的問題？涂教授認為，用“問題結(jié)構(gòu)推進教學(xué)原理”，包括每節(jié)課問題化、問題結(jié)構(gòu)化、解題教學(xué)化. 本節(jié)課首先提出了目標(biāo)問題“求等比數(shù)列前n項和”，由此產(chǎn)生了一系列的問題，最終引導(dǎo)學(xué)生得到了一般化的規(guī)律——公式.

問題從哪兒來？涂教授認為，辦法是“創(chuàng)設(shè)情境——提出問題”. 如何創(chuàng)設(shè)情境？任旭、夏小剛認為，可以從“設(shè)計衍生性主題，把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)關(guān)系明確問題結(jié)構(gòu)”幾個步驟進行. 本節(jié)課開始時創(chuàng)設(shè)的情境拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動機，再通過后續(xù)一系列圍繞等比數(shù)列前n項和公式的探究設(shè)計的問題鏈構(gòu)成的新問題情境，逐步明確了求和的數(shù)學(xué)本質(zhì)——關(guān)于a■，q，n（a■）的代數(shù)式f（a■，n，q），通過消項，化無限為有限的問題. 教學(xué)的關(guān)鍵在于將等比數(shù)列前n項和的本質(zhì)關(guān)系轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以“觸摸”和探索的數(shù)學(xué)問題，從這個意義上說，“問題情境是一類具有現(xiàn)實性和思考性的數(shù)學(xué)問題”[3]，而不僅僅是一節(jié)課開始時的幾個引入問題.

教師如何引導(dǎo)？用“啟發(fā)性提示語引導(dǎo)原理”，即教師由遠及近、由易到難地設(shè)計啟發(fā)性問題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生主動探究. 課堂教學(xué)中，張老師通過精煉的對話從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生合作討論、思考探究，教學(xué)過程中能感覺到那種行云流水的順暢推進和張弛有序的思維活動節(jié)奏.

當(dāng)然，還需要“反思性教學(xué)原理”，教會學(xué)生通過回顧、質(zhì)疑、反詰、追問進行思考. 張老師的課堂上，隨處可見“反思性教學(xué)”：回顧前節(jié)課所學(xué)知識而引出新知，質(zhì)疑、歸納結(jié)果引出演繹，反詰、探究結(jié)論點引出易錯點（q=1），適時追問將探究活動引向深入，最終教會學(xué)生思考這一節(jié)數(shù)學(xué)課的本質(zhì).

如何提升教師的教學(xué)設(shè)計能力？教師需主動學(xué)習(xí)，“研究、實踐、反思缺一不可，研究新的教學(xué)理念和程式，關(guān)注設(shè)計的三個主線（知識線、認知線、組織線），研究不同課型的不同教法，注意一個意識和三個維度（整體單元意識，數(shù)學(xué)的、學(xué)生的、教學(xué)的維度）”[4].

總之，“教育不再是知識與技能的傳授，而是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 這一切變化都要求學(xué)校教育從‘教轉(zhuǎn)向‘學(xué).近20年來，數(shù)學(xué)課堂的變化無疑是一種信號：從‘五環(huán)節(jié)到‘多環(huán)節(jié)，再到‘無環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)過程中的問題驅(qū)動、活動引導(dǎo)、任務(wù)驅(qū)動、項目學(xué)習(xí)、單元設(shè)計等，已經(jīng)成為趨勢. 課堂教學(xué)中，以學(xué)生為中心，關(guān)注學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流、問題解決已經(jīng)成為常態(tài).”[5] 如果教師經(jīng)常學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計理論，加強教學(xué)設(shè)計研究，進行教學(xué)設(shè)計實踐，堅持教學(xué)設(shè)計反思，那么數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就能更接近甚至達到李善良博士所說的“詩化數(shù)學(xué)、詩意課堂、詩潤心靈”的境地.

參考文獻：

[1]? 曹一鳴，張生春.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[2]? 段志貴. 教學(xué)生學(xué)會思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)（人大復(fù)印報刊資料），2019（06）.

[3]? 任旭，夏小剛. 問題情境的創(chuàng)設(shè)：基于思維發(fā)展的理解[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（04）.

[4]? 陳小祥，李慧. 例談高中概念新授課的教學(xué)與設(shè)計——以《任意角》為例[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2019（04）.

[5]? 李善良. 教科書：從“教”材到“學(xué)”材——蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書編寫思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（08）.