恒成立問題的方法探究與建議

陳偉麗

[摘? 要] 恒成立問題屬于綜合性較強(qiáng)的經(jīng)典問題，綜合了數(shù)學(xué)的眾多核心知識(shí)、思想方法，其解法也極為靈活，對(duì)學(xué)生的解題思維要求較高. 文章結(jié)合實(shí)例講解恒成立問題的三種常用方法，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 恒成立;綜合;分離變換;數(shù)形結(jié)合;差值比較

■問題綜述

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的典型問題，該類問題常設(shè)定在給定條件下某些結(jié)論恒定成立，進(jìn)而分析關(guān)聯(lián)問題，如參數(shù)范圍、實(shí)數(shù)最值、曲線相交點(diǎn). 該類問題常涉及函數(shù)、不等式、方程、圖像等知識(shí)，融合了換元、轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想，對(duì)于學(xué)生的綜合解題能力有著較高的要求. 從問題的知識(shí)與思想的綜合視角分析，解析突破時(shí)主要有以下三個(gè)難點(diǎn)：一是問題條件隱晦，難以把握問題切入點(diǎn);二是綜合性強(qiáng)，難以處理關(guān)聯(lián)知識(shí);三是問題解題方法較多，難以準(zhǔn)確選用方法來(lái)化簡(jiǎn). 下面結(jié)合實(shí)例簡(jiǎn)單探討恒成立問題常用的幾種方法，構(gòu)建相應(yīng)的解題策略.

■方法探析

合理利用解題方法可以挖掘問題條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，從而打開解題突破口，構(gòu)建解題思路. 對(duì)于恒成立問題，常用的解法有分離變換法、數(shù)形結(jié)合法、差值比較法，下面加以探究.

解法一：分離變換法

分離變換是求解恒成立問題常用的方法之一，可用于方程、不等式有解的恒成立問題中，在實(shí)際解析時(shí)可根據(jù)研究的對(duì)象進(jìn)行合理分離，如分離參數(shù)、分離整式、分離函數(shù)等. 以分離參數(shù)為例，解析時(shí)首先根據(jù)不等式或等式性質(zhì)將參數(shù)分離，將問題變?yōu)橐贿吺菂?shù)，另一邊是變量式的形式;然后求解變量式的最值，并根據(jù)其最值來(lái)推理參數(shù)范圍或相應(yīng)的結(jié)論.

例1：已知當(dāng)m≤2時(shí)，不等式2x-1>m（x2-1）恒成立，試求x的取值范圍.

解析：題干所涉不等式中含有參數(shù)m，解析時(shí)可以采用分離參數(shù)的方法，只討論x2-1即可. 分析可知x2-1的符號(hào)將直接影響不等式成立的條件，因此需分三種情形加以討論，具體如下.

①當(dāng)x2-1>0時(shí)，可將不等式變形為■>m，要確保不等式恒成立，只需■>2，可解得1

②當(dāng)x2-1=0時(shí)，可將不等式簡(jiǎn)化為2x-1>0，從而可解得x=1;

③當(dāng)x2-1<0時(shí)，可將不等式變形為■

綜上可知，x的取值范圍為■，■.

解法點(diǎn)睛：上述求解不等式恒成立問題時(shí)，采用了分類討論與分離參數(shù)相結(jié)合的方式，針對(duì)數(shù)式符號(hào)來(lái)討論x的取值. 分離參數(shù)法常與其他思想方法結(jié)合起來(lái)解析問題，除了上述的分類思想外，還包括函數(shù)與方程思想.

解法二：數(shù)形結(jié)合

利用數(shù)形結(jié)合方法求解恒成立問題的核心是數(shù)形對(duì)照、數(shù)形轉(zhuǎn)換，該方法在求解函數(shù)不等式問題時(shí)有著良好的解析效果. 求解時(shí)常結(jié)合不等將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，繪制相應(yīng)的圖像曲線，然后通過函數(shù)圖像、性質(zhì)分析來(lái)推導(dǎo)結(jié)論. 而在構(gòu)建函數(shù)時(shí)需要注意一定的方法技巧，可以適度移項(xiàng)來(lái)構(gòu)建簡(jiǎn)潔的函數(shù).

例2：已知f（x）=（x-2）lnx-ax+1，試回答下列問題.

（1）若f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）如果存在唯一的整數(shù)x■，使得f（x■）<0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）結(jié)合f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)即可確定a的取值. 要使f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，只需f′（x）=lnx+1-■-a≥0，即lnx+1-■≥a在（1，+∞）上恒成立. 令y=lnx+1-■，易知該函數(shù)在（1，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，則只需a≤ymin即可. 當(dāng)x=1時(shí)，y可取得最小值，ymin=-1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1].

（2）結(jié)合函數(shù)解析式可知，不等式f（x■）<0，即（x■-2）lnx■0），h（x）=ax-1，顯然g（x）的圖像為曲線，h（x）圖像為一條直線.

則g′（x）=lnx+1-■，g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可知g′（1）=-1<0，g′（2）=ln2>0，因此存在實(shí)數(shù)m∈（1，2），使得g′（m）=0. 當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，g′（x）<0，g（x）在（0，m）上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，g′（x）>0，g（x）在（m，+∞）上單調(diào)遞增;所以g（x）的最小值為g（m），其中g(shù)（1）=g（2）=0.

h（x）的圖像恒過定點(diǎn)（0，-1），顯然a>0，圖像關(guān)系大致如圖1所示. 分析可知，若存在唯一的整數(shù)x■，使得f（x■）<0恒成立，則需kBC0，所以kAC>kDC. 因?yàn)閗BC=■，所以■

解法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合方法最為顯著的優(yōu)勢(shì)是圖像直觀，可以顯著降低思維難度. 其解法核心是移項(xiàng)變形、構(gòu)造函數(shù)、性質(zhì)解析，其中所構(gòu)函數(shù)的簡(jiǎn)易將直接影響到后續(xù)圖像繪制，而性質(zhì)解析則主要利用函數(shù)的單調(diào)性、值域.

解法三：函數(shù)差值法

函數(shù)差值法的核心是作差、建函數(shù)，即對(duì)于不等式恒成立問題，可以通過移項(xiàng)作差的方式來(lái)構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解. 該方法尤其適用于f（x）>g（x）的問題，通過作差可將其轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）>0的形式，后續(xù)則可以據(jù)此構(gòu)建新函數(shù).

例3：已知函數(shù)f（x）=■x3-x2+x.

（1）求曲線y=f（x）的斜率為1的切線方程;