把握本質(zhì) 通透解題 提升素養(yǎng)

閆偉 吳銀軍

[摘? 要] 文章對(duì)一道解析幾何模考試題展開(kāi)解法探究，探尋命題理念，并對(duì)試題結(jié)論進(jìn)行深層次拓展，以此指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)備考，實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;探究;提升素養(yǎng)

圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在很多圓錐曲線(xiàn)題目中都是探求一些特殊結(jié)論（如定值、定角問(wèn)題），這些結(jié)論看似特殊，實(shí)則都具普遍性，而且往往具有豐富的命題背景和深厚的內(nèi)涵，研究此類(lèi)試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質(zhì)，還能透過(guò)試題挖掘隱含的命題規(guī)律，更能將其拓展到一般情況，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 下面以一道解析幾何?？碱}為例進(jìn)行說(shuō)明.

■試題呈現(xiàn)與分析

已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F■，F(xiàn)■，上頂點(diǎn)為B，△BF■F■的面積為■，C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離為3，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)C的左、右頂點(diǎn)分別為A■，A■，過(guò)A■，A■分別作x軸的垂線(xiàn)l■，l■，直線(xiàn)l：y=kx+m（k≠0）與C相切，且l與l■，l■分別交于P，Q兩點(diǎn)，求證：∠PF■Q=∠PF■Q.

試題分析：試題背景平和，給人一種“題在考卷，根在書(shū)內(nèi)”的感覺(jué);從知識(shí)層面看，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、焦點(diǎn)三角形的面積、直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題，以及動(dòng)態(tài)直線(xiàn)定值（定角）等知識(shí);從能力層面看主要考查學(xué)生運(yùn)算求解、思考探究、邏輯推理等方面的能力，突出考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng);試題的思維過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程體現(xiàn)了能力立意的命題思想，較好地體現(xiàn)了對(duì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查，亦較好地檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能.

■解法探究

（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為■+■=1，過(guò)程從略.

（2）解法1：聯(lián)立■+■=1，y=kx+m，化簡(jiǎn)整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0.因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓相切，所以Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=4k2+3. 由題意可知l■：x=-2，l■：x=2，所以P（-2，-2k+m），Q（2，2k+m）. 因?yàn)镕■（-1，0），F(xiàn)■（1，0），所以■=（-1，-2k+m），■=（3，2k+m），■=（-3，-2k+m），■=（1，2k+m），于是■·■=■·■=-3+m2-4k2=0，從而■⊥■，■⊥■，即∠PF■Q=∠PF■Q=■.

評(píng)注：解法1是比較自然的解法，先聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，再利用相切條件建立參數(shù)m，k的關(guān)系式，然后利用向量數(shù)量積求得特殊角，解題思路較為常規(guī)，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算和推理論證能力要求較高.

解法2：聯(lián)立■+■=1，y=kx+m，化簡(jiǎn)整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓相切，所以Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，即m2=4k2+3. 由題意可知l■：x=-2，l■：x=2，所以P（-2，-2k+m），Q（2，2k+m）.設(shè)以PQ為直徑的圓的圓心為M，易知M坐標(biāo)為（0，m），于是x2+（y-m）2=■=4+4k2. 又因?yàn)閙2=4k2+3，從而x2+（y-m）2=1+m2，當(dāng)y=0時(shí)，得x=±1，即F■（-1，0），F(xiàn)■（1，0）在圓M上，故∠PF■Q=∠PF■Q=■.

評(píng)注：注意到所證的定角是直角，先刻畫(huà)出以PQ為直徑的圓的方程，再驗(yàn)證兩焦點(diǎn)在圓上;解法2巧妙地借助圓周角來(lái)解決，促進(jìn)了知識(shí)之間的融通和遷移，提升了學(xué)生的思維和問(wèn)題解決的能力.

解法3：設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（2cosθ，■sinθ），則直線(xiàn)l的方程可設(shè)為■x+■y=1，從而P-2，■，Q2，■. 因?yàn)镕■（-1，0），F(xiàn)■（1，0），所以■=-1，■，■=3，■，■=-3，■，■=1，■，于是■·■=■·■=-3+■·■=0，所以∠PF■Q=∠PF■Q=■.

評(píng)注：本解法借助橢圓的參數(shù)方程設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切點(diǎn)表示切線(xiàn)方程，然后求得P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得出定角為直角，相比較解法1，都是利用向量積解決，但是本題利用橢圓的參數(shù)方程有效地避開(kāi)聯(lián)立方程帶來(lái)的復(fù)雜運(yùn)算，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果.

解法4：設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（2cosθ，■sinθ），于是直線(xiàn)l的方程為■x+■y=1，從而P-2，■，Q2，■，A■P·A■Q=■·■=3，A■F■·A■F■=（a-c）（a+c）=b2=3，所以A■P·A■Q=A■F■·A■F■，即■=■.

又因?yàn)椤螾A■F■=∠QA■F■=■，所以△PA■F■∽△F■A■Q，于是∠A■PF■=∠A■F■Q，所以∠A■F■P+∠A■F■Q=∠A■F■P+∠A■PF■=■，故∠PF■Q=■，同理∠PF■Q=■，于是∠PF■Q=∠PF■Q.

評(píng)注：解法4先借助橢圓的參數(shù)方程設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示切線(xiàn)方程，求得P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算相關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度，接著通過(guò)由兩個(gè)三角形相似證明兩角相等，巧妙借助平面幾何性質(zhì)解題，需要學(xué)生有較好的讀圖、識(shí)圖能力.

對(duì)于證明定值、定角（如本題中90°）問(wèn)題，通常的做法是可以通過(guò)一條特殊直線(xiàn)算出這個(gè)角是90°，然后利用以下的方法證明：PF■⊥QF■？圳k■·k■=-1？圳■·■=0？圳F■在以PQ為直徑的圓上. 相比較而言解法3通過(guò)橢圓的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量來(lái)證明所求角為直角，巧妙地避開(kāi)繁雜的運(yùn)算，在今后解決類(lèi)似問(wèn)題中值得推廣.

■推廣結(jié)論

一道好的試題的研究?jī)r(jià)值不應(yīng)僅僅停留在解法上，還應(yīng)該對(duì)試題本身做深入的探究，挖掘深層次的內(nèi)涵，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì);通過(guò)上述解法探究，我們發(fā)現(xiàn)試題中直角只是一個(gè)特例，還可以將結(jié)論拓展到更一般的情形：

結(jié)論1：如圖2，橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A■，A■，過(guò)A■，A■分別作x軸的垂線(xiàn)l■，l■，直線(xiàn)l與橢圓C相切于M點(diǎn)，且與l■，l■分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)N（n，0）（n≠±a）為長(zhǎng)軸A■A■上一定點(diǎn)，則有（1）k■·k■=■;（2）A■P·A■Q=b2.

證明：（1）設(shè)切點(diǎn)M坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ），則切線(xiàn)l的方程為■x+■y=1，從而有P-a，■，Qa，■，于是k■·k■=■·■=■.

（2）A■P·A■Q=■·■=b2.

當(dāng)N點(diǎn)為橢圓焦點(diǎn)時(shí)，k■·k■=■=-1，則F■P⊥F■Q，F(xiàn)■P⊥F■Q，即上述考題的結(jié)論.

由于橢圓和雙曲線(xiàn)都是有心二次曲線(xiàn)，橫向類(lèi)比可得以下結(jié)論：

結(jié)論2：雙曲線(xiàn)C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A■，A■，過(guò)A■，A■分別作x軸的垂線(xiàn)l■，l■，直線(xiàn)l與C相切于M點(diǎn)，且與l■，l■分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)N（n，0）（n≠±a）為實(shí)軸A■A■上一定點(diǎn)，則有（1）k■·k■=-■;（2）A■P·A■Q=b■.

？搖由于拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）是無(wú)心二次曲線(xiàn)，通過(guò)探究可得到以下結(jié)論：

結(jié)論3：如圖3，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）相切于點(diǎn)M，與y軸交于P點(diǎn)，N（n，0）為x軸上一點(diǎn)，則k■·k■=-■.

證明：設(shè)切點(diǎn)M坐標(biāo)為（x■，y■），則切線(xiàn)l的方程為yy■=p（x■+x），于是P0，■，則k■·k■=■·■=-■= -■=-■. 當(dāng)N點(diǎn)為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)時(shí)，k■·k■=-■=-1，則NP⊥MP.

■探本溯源

上述結(jié)論從橢圓到雙曲線(xiàn)再到拋物線(xiàn)進(jìn)行了一般化探究;那么為什么會(huì)有這些結(jié)論呢？我們知道橢圓和圓有著緊密的聯(lián)系，它們有很多相似的性質(zhì)，該結(jié)論的探究源于圓的一條經(jīng)典性質(zhì)：

結(jié)論4：如圖4，A■A■是⊙O：x2+y2=r2的直徑，過(guò)A■，A■分別作x軸的垂線(xiàn)l■，l■，直線(xiàn)l與⊙O相切于M點(diǎn)，且與l■，l■分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)N（n，0）（n≠±r）為直線(xiàn)A■A■上一定點(diǎn)，則有（1）k■·k■=■;（2）OP⊥OQ;（3）A■P·A■Q=r2.

證明：（1）設(shè)切點(diǎn)M坐標(biāo)為（rcosθ，rsinθ），則切線(xiàn)l的方程為cosθ·x+sinθ·y=r，從而有P-r，■，Qr，■，于是k■·k■=■·■=■.

（2）由（1）可知當(dāng)N為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，k■·k■=■=-1，即OP⊥OQ.

（3）A■P·A■Q=■·■=r2.

■拓展應(yīng)用

例：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0），設(shè)直線(xiàn)l：x=ty+λ是橢圓的一條切線(xiàn)，兩點(diǎn)M（-2，y■），M（2，y■）在切線(xiàn)l上. （1）若P■（1，1），P■（0，1），P■-1，■，P■1，■恰有三點(diǎn)在橢圓C上，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）在（1）的條件下，證明：當(dāng)t，λ變化時(shí)，以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）橢圓的方程為■+y2=1;（2）由上述結(jié)論易知以MN為直徑的圓恒過(guò)橢圓的兩焦點(diǎn)（±■，0）.

■教學(xué)思考

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題是數(shù)學(xué)新課標(biāo)中教學(xué)的重要組成部分;數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅是一個(gè)開(kāi)端，更重要的是解題后的反思與回顧;遇到一道經(jīng)典題目，需要從多角度、深層次探求其解法，從不同的思維角度分析同一道試題，可以得到不同的解法，從數(shù)學(xué)知識(shí)本身的角度看，可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，體會(huì)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，還可以構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅掌握了基本的解題技能，還培養(yǎng)了思維的深刻性、靈活性及創(chuàng)新性，讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，并將知識(shí)融會(huì)貫通，舉一反三，活躍思維，學(xué)生的能力素養(yǎng)在潛移默化中得到提升.

復(fù)習(xí)備考中我們也經(jīng)常聽(tīng)到不同的聲音：高三課堂上搞一題多解，會(huì)不會(huì)耽誤學(xué)生的復(fù)習(xí)進(jìn)度，有些解法需要講嗎？需要給學(xué)生講解一般化探究嗎？這些質(zhì)疑不無(wú)道理，如果我們拋開(kāi)學(xué)生展示解法，孤芳自賞，這樣的課堂效果可見(jiàn)一斑;雖說(shuō)不是所有的題目都適合一題多解，也并非所有的學(xué)生都適合一題多解，但是最根本的要因材施教，以學(xué)定教，多關(guān)注學(xué)生的表現(xiàn)和感受，講解時(shí)應(yīng)充分關(guān)注學(xué)情. 不同時(shí)期，不同學(xué)生，我們所講授的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所區(qū)別，比如在高三二輪復(fù)習(xí)備考中，學(xué)生通過(guò)一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)掌握解題的通性通法，我們應(yīng)盡可能多地傳遞解題思路、滲透思想方法、揭示問(wèn)題本質(zhì).讓我們的課堂多一點(diǎn)理性的思考，少一些套路的模仿，引導(dǎo)學(xué)生多視角審視各種新問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，從而更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.