數(shù)學(xué)教學(xué)是一個積累活動經(jīng)驗(yàn)的過程

【摘 要】 數(shù)學(xué)教學(xué)是一個積累活動經(jīng)驗(yàn)的過程.本文以“直角三角形”的教學(xué)為例，提出數(shù)學(xué)教學(xué)要鏈接最近聯(lián)想，喚醒原有經(jīng)驗(yàn);參與教學(xué)活動，積淀自我經(jīng)驗(yàn);拓展問題模型，展示經(jīng)驗(yàn)價(jià)值，以促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的提升，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);活動經(jīng)驗(yàn);積累過程

幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要目標(biāo)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標(biāo)志.筆者受邀參與了山東省濟(jì)南市市中區(qū)品質(zhì)教育學(xué)術(shù)節(jié)初中數(shù)學(xué)專場活動，執(zhí)教了“直角三角形”一課，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)的思考，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)在助力學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)方面的認(rèn)識與思考.1 鏈接最近聯(lián)想，喚醒原有經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)遇到一個新的問題時，人們總是習(xí)慣地想，這樣的問題以前我有沒有見過？它與什么樣的問題相似？在學(xué)習(xí)新問題時，首先找到一個類似于該問題的模型，這個過程，我們可以稱之為“最近聯(lián)想”[1].

“1.2直角三角形（1）”是北師大版教材八年級下冊第一章“三角形的證明”第二節(jié)的第一課時，教材呈現(xiàn)的內(nèi)容是直角三角形有關(guān)定理的證明、逆命題和逆定理等概念的介紹.它是八年級下冊第一章第一節(jié)“等腰三角形”證明的延續(xù)，通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步地掌握證明的方法，發(fā)展推理能力，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、圓等知識打下基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用.

問題1 我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的有關(guān)知識，請你回顧一下.

生1：小學(xué)里我們知道了有兩個角相等的三角形是等腰三角形.

生2：上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的“等邊對等角”“三線合一”“等角對等邊”等知識.

生3：上節(jié)課我們證明了這些性質(zhì)和判定定理，并應(yīng)用它們解決了一些問題.

師：一般地，一個幾何圖形我們先知道它的定義，接著探索它的性質(zhì)和判定，再運(yùn)用它們解決相關(guān)問題.（板書：圖形—定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用）

追問 如何研究直角三角形？

生4：是不是還是按照這幾個方面來學(xué)習(xí)？

師：對，請同學(xué)們回憶，然后寫一寫.

一個新知識的教學(xué)先從宏觀謀劃，再從微觀入手，這樣學(xué)生就會有整體學(xué)習(xí)觀.通過讓學(xué)生回顧等腰三角形的學(xué)習(xí)方式，“喚醒”學(xué)生對幾何圖形學(xué)習(xí)的原有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律，自然引出本節(jié)課的探究方向.在學(xué)習(xí)每一種幾何圖形時，教師要遵循學(xué)生的這種認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)鏈接最近聯(lián)想的教學(xué)活動，喚醒學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課直角三角形鏈接的最近聯(lián)想是等腰三角形，今后教四邊形時，最近聯(lián)想就可以是三角形，相似三角形的最近聯(lián)想是全等三角形等.同時，一些代數(shù)的知識學(xué)習(xí)也是如此，二元一次方程、一元二次方程鏈接的最近聯(lián)想都是一元一次方程，二次函數(shù)鏈接的最近聯(lián)想是一次函數(shù)和一元二次方程，等等.2 參與教學(xué)活動，積淀自我經(jīng)驗(yàn)

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識只有經(jīng)過自主建構(gòu)的過程，才能變?yōu)閭€體內(nèi)化的知識，否則，即使當(dāng)時記住了，或是模仿了，時間一長還是會被遺忘的.因此，每一次教學(xué)活動，不但要引領(lǐng)學(xué)生有效參與，獲得個人對于數(shù)學(xué)新知識的體驗(yàn)和認(rèn)知，更要引導(dǎo)學(xué)生在活動中不斷反思與感悟，產(chǎn)生新的活動經(jīng)驗(yàn)，才能促進(jìn)能力提升和素養(yǎng)發(fā)展.

在學(xué)習(xí)“1.2直角三角形（1）”時，學(xué)生已經(jīng)對等腰三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行了探索，并通過相關(guān)命題的證明，感受了證明的必要性，具備了簡單的推理能力，獲得了一些基本的證明方法，積累了一定的證明經(jīng)驗(yàn).同時，在七年級和八年級上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)探究了直角三角形，得到了有關(guān)結(jié)論，這些都為本節(jié)證明作了鋪墊.但學(xué)生對幾何圖形學(xué)習(xí)的方式還不太清楚，對證明題如何分析還缺少方法和經(jīng)驗(yàn)，尤其本節(jié)課“勾股定理的逆定理”的證明是一個難點(diǎn).

問題2 談一談你對直角三角形的認(rèn)識.

追問1：如果將直角三角形的性質(zhì)反過來，該怎么描述？正確嗎？

追問2：我們還學(xué)習(xí)了直角三角形的什么知識？

追問3：將勾股定理反過來，我們該如何描述與證明？

生5：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

已知：如圖1，在△ABC中，AC2+BC2=AB2.

求證：△ABC是直角三角形.

生6：由線段的平方，我想到了正方形的面積，所以在△ABC外畫出分別以三邊為邊長的三個正方形（如圖2），但是不能得到∠C為什么為直角.

生7：受勾股定理證明的啟發(fā)，我想到了構(gòu)造“弦圖”（如圖3）.

生8：你怎么說明你作的是“弦圖”呢？“弦圖”圍成的是兩個大小正方形，怎么確定？

師：同學(xué)們的發(fā)言很積極，思維很活躍.本題要從邊的關(guān)系推出∠C=90°是不容易的，但大家想到了如何利用直角三角形，借助勾股定理來思考.已知條件中給出了三條邊的關(guān)系，其形式和勾股定理的結(jié)論一致，因此，我們是否可以借助三角形全等，先作一個合適的直角三角形，然后證明有已知條件的三角形和此直角三角形全等，從而得到∠C與對應(yīng)的直角相等，從而得證，大家再想一想吧？

生9：我有想法了，先作一個直角三角形，保證兩條直角邊和原三角形的兩條短邊分別相等，就可以利用勾股定理得出斜邊與原三角形第三邊的關(guān)系了，再根據(jù)三角形全等的知識得出對應(yīng)角的關(guān)系，進(jìn)而得出直角.

師：同學(xué)們聽明白了，理解后寫出證明過程.

證明：如圖4，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=AC，B′C′=BC，則A′C′2+B′C′2=A′B′2（勾股定理）.又因?yàn)锳C2+BC2=AB2（已知），A′C′=AC圖4，B′C′=BC（已作），所以AB2=A′B′2，則AB=A′B′.易得△ABC≌△A′B′C′（SSS）.所以∠C=∠C′=90°（全等三角形的對應(yīng)角相等），故△ABC是直角三角形.

生10：老師，我還有一個作法，作的直角三角形可以先保證一條直角邊和斜邊與原三角形的一條短邊和最長邊分別相等，再根據(jù)勾股定理得出另一條短邊相等，也由“SSS”證明兩個三角形全等，得出對應(yīng)角是直角.

師：異曲同工，非常好！

問題3 觀察兩組命題：（1）“直角三角形的兩個銳角互余”和“有兩個角互余的三角形是直角三角形”;（2）“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”和“如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形”，它們之間有怎樣的關(guān)系？

生11：我發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命題的結(jié)論是第一個命題的條件.

追問1 你還能再舉一些有類似關(guān)系命題的例子嗎？

生12：平行線中“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”.

生13：等腰三角形中“等邊對等角”與“等角對等邊”.

師：在兩個命題中，如果第一個命題的條件和結(jié)論分別是第二個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中第二個命題稱為第一個命題的逆命題.

追問2 你能舉出一些命題，并說出它們的逆命題嗎？

生14：“對頂角相等”的逆命題是“相等的兩個角是對頂角”.

生15：你說錯了，“相等的兩個角是對頂角”是假命題，這結(jié)論不對.

生16：逆命題是將原命題的條件與結(jié)論互換得到的命題，又沒有說命題的真假.

師：是的！根據(jù)討論我們發(fā)現(xiàn)，一個命題一定有逆命題，但原命題是真命題，逆命題卻不一定是真命題.剛才大家談到一些圖形的性質(zhì)，它們都是經(jīng)過證明的定理，如果該定理的逆命題經(jīng)過證明也是真命題，那么它也是一個定理，稱這個定理為原定理的逆定理，它們就是一對互逆定理.如剛才我們對勾股定理的逆命題進(jìn)行了證明，它是真命題，我們稱之為“勾股定理的逆定理”.

追問3 你還能舉出互逆定理的例子嗎？

生17：“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”與“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是一對互逆定理.

生18：我懂了，“對頂角相等”是對頂角的性質(zhì)定理，但它沒有逆定理.

借鑒等腰三角形的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生回憶直角三角形的定義、性質(zhì)等知識.將性質(zhì)反過來，就得到直角三角形的一種判定方法，滲透幾何圖形的性質(zhì)與判定之間關(guān)系，并為介紹逆命題、逆定理作鋪墊.勾股定理的逆定理證明是本節(jié)課的難點(diǎn)，通過個人獨(dú)立思考、小組交流討論和師生啟發(fā)互動，為他們提供充分思考的時間和空間來尋找證明的方法，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力.由直角三角形的兩對性質(zhì)和判定以及引導(dǎo)學(xué)生回憶曾經(jīng)學(xué)過的一些幾何圖形的結(jié)論，自然引出逆命題和逆定理的概念與辨析，進(jìn)一步感受逆向思維在幾何學(xué)習(xí)中的作用，積累幾何圖形研究的活動經(jīng)驗(yàn).

因此，教學(xué)活動是一個學(xué)生在不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)或探索各種數(shù)學(xué)活動中逐漸積累和逐步積淀經(jīng)驗(yàn)的過程.3 拓展問題模型，展示經(jīng)驗(yàn)價(jià)值

將剛獲得的活動經(jīng)驗(yàn)立刻運(yùn)用，會激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)的熱情，體驗(yàn)思維方法的作用和價(jià)值，更為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供有力支持與有效保障.

問題4 回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程，談?wù)勀愕恼J(rèn)識？

生19：今天我們系統(tǒng)學(xué)習(xí)了直角三角形“定義—性質(zhì)—判定”，對一些定理作了證明，我還發(fā)現(xiàn)無論是“定義”“性質(zhì)”還是“判定”都是從圖形邊或角的視角去研究.

生20：逆命題、逆定理的學(xué)習(xí)告訴我們一種學(xué)習(xí)的方式，將一個幾何圖形的性質(zhì)“反過來”就可猜想它的判定方法，再探索它的真假.我發(fā)現(xiàn)因式分解與整式乘法就是一種互逆關(guān)系，看來數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)有時是相通的.

師：“反過來想，總是反過來思考！”這是德國著名數(shù)學(xué)家賈可布的一句名言，把問題反過來想一想的“逆向思維”是創(chuàng)造性思維的一種奇特的方式.同學(xué)們學(xué)到了一種學(xué)習(xí)方式，還聯(lián)想到類似數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，其實(shí)在我們生活中也有很多智慧的例子，大家熟悉的“司馬光砸缸”的故事就蘊(yùn)含了這個哲理.

生21：今天學(xué)了這節(jié)課，我分清了幾何圖形性質(zhì)與判定的不同以及它們之間的相互關(guān)系，我還發(fā)現(xiàn)無論是等腰三角形還是直角三角形，它們的學(xué)習(xí)都是按照“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的套路學(xué)習(xí)，有了這個學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，今后學(xué)習(xí)其它幾何圖形就可以一了百了了.

師：哈哈，“一了百了”概括的精辟，每節(jié)課我們這樣去主動思考并善于積累經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真的可以“一了百了”了.

追問 借鑒本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如何探究等腰直角三角形？

生22：遵循“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的宏觀方式研究，按照圖形邊、角的微觀視角認(rèn)識.

生23：等腰直角三角形既具有等腰三角形的性質(zhì)也具有直角三角形的性質(zhì).

生24：根據(jù)定義和勾股定理可以發(fā)現(xiàn)它的三邊之比是1∶1∶2.

課堂小結(jié)不是教師幫學(xué)生總結(jié)，而讓學(xué)生暢所欲言，這樣學(xué)生間不僅有知識的歸納、方法的提煉，還有個人一些基本活動經(jīng)驗(yàn)的分享.這樣的小結(jié)凸顯了學(xué)生的主體地位，立足于學(xué)生課堂的深度參與，關(guān)注學(xué)生思維活動和經(jīng)驗(yàn)積累.本節(jié)課，當(dāng)學(xué)生概括了“幾何圖形是按照‘定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用的套路學(xué)習(xí)，今后的學(xué)習(xí)可以一了百了了”時就是積淀了幾何圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生分析圖形的性質(zhì)與判定的關(guān)系，得到把問題反過來想一想的“逆向思維”就是一種新的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生小結(jié)時發(fā)現(xiàn)圖形的微觀研究是從邊或角的視角去認(rèn)識，就是該學(xué)生從圖形的構(gòu)成元素認(rèn)識直角三角形，這是一種對數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示而形成的寶貴經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課最后設(shè)計(jì)讓學(xué)生探究等腰直角三角形，其目的就是將研究直角三角形形成的知識、技能和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步應(yīng)用，以彰顯活動經(jīng)驗(yàn)的作用和魅力.雖然課本上沒有這項(xiàng)要求，但課堂上學(xué)生能探索出等腰直角三角形的一些結(jié)論，如三邊之比是1∶1∶2，真是一個“創(chuàng)新”、一份驚喜.

總之，積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，是一個知識內(nèi)化和能力提升的過程，在教學(xué)中我們可以采用問題和追問等方式，設(shè)計(jì)“喚醒—傳承—創(chuàng)新”的環(huán)節(jié)，即通過鏈接最近聯(lián)想，“喚醒”已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗(yàn);通過參與相關(guān)教學(xué)活動，“傳承”探索經(jīng)驗(yàn)，積淀自我活動經(jīng)驗(yàn);通過拓展問題模型，“創(chuàng)新”運(yùn)用發(fā)展經(jīng)驗(yàn)，展示經(jīng)驗(yàn)價(jià)值.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個積累活動經(jīng)驗(yàn)的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)所蘊(yùn)涵的價(jià)值資源，才能培養(yǎng)學(xué)生理性精神，促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)提升，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人目標(biāo)

.參考文獻(xiàn)

[1]卜以樓.生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2018.6：115

作者簡介 朱敏龍（1972—），男，中學(xué)高級教師，教育碩士，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”中青年學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的理論與實(shí)踐研究.

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃普教重點(diǎn)課題“關(guān)注每一個的初中‘差異化遞進(jìn)教學(xué)的實(shí)踐研究”（課題編號：B-b/2018/02/48，主持人：胡松、朱敏龍）和江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“初中數(shù)學(xué)體驗(yàn)校本課程的開發(fā)研究”（課題編號：R-a/2018/07，主持人：張愛平）的研究成果.