例談考查“關(guān)聯(lián)直覺”的中考數(shù)學(xué)試題

孫朝仁 朱桂鳳

關(guān)聯(lián)直覺具有瞭望功能，起于概念直覺，終于應(yīng)用直覺和創(chuàng)新直覺.2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)試題清爽干凈，約簡(jiǎn)精致.集中考查了學(xué)生的概念直覺、應(yīng)用直覺和創(chuàng)新直覺.其中，第9題、第10題、第18題考查了概念直覺，第21題、第22題、第27題考查了應(yīng)用直覺，第25題、第26題、第28題考查了創(chuàng)新直覺，突出直覺的相似性、相關(guān)性和連續(xù)性考查特色，體現(xiàn)了選拔和育人并重的新思路.

本文主要以第18題、第26題、第28題為例，說明關(guān)聯(lián)直覺考查的路徑、方法和意義，旨在說明考試命題選拔功能不在于“難倒一片”，而在于“約簡(jiǎn)精致”.1 試題呈現(xiàn)與解法分析

2 試題考查要素分析與關(guān)聯(lián)直覺考查

關(guān)聯(lián)直覺是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的開端，是中考數(shù)學(xué)試題的上位考查目標(biāo).關(guān)聯(lián)直覺[1]包括序的直覺、相似性直覺、相關(guān)性直覺、數(shù)量關(guān)系直覺、映射關(guān)系直覺、連續(xù)性直覺、對(duì)稱性直覺等.2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷第18題考查了畫圖建模，不僅涉及平行線、角的平分線、等腰三角形、菱形、勾股定理等概念直覺，而且涉及代數(shù)思維及參數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程思想等相關(guān)性直覺;第26題考查了全等變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想、局部整體思想、特殊一般思想以及代數(shù)思維、數(shù)學(xué)構(gòu)造等相似性直覺;第28題考查了圓的概念、圓周角定理、垂徑定理、正方形的判定與性質(zhì)、相似變換、割補(bǔ)法、轉(zhuǎn)化化歸、動(dòng)點(diǎn)思想、最值問題、方程思想、變量意識(shí)、函數(shù)思想等連續(xù)性直覺.具體分析如下.

2.1重視考查“相關(guān)性直覺”，使得“數(shù)學(xué)抽象”的考查目標(biāo)有序落地

相關(guān)性直覺是“會(huì)一題、通一類、連一片”的思維承擔(dān)載體，是構(gòu)造數(shù)學(xué)的前提.每一位成熟的數(shù)學(xué)家都會(huì)有層出不窮的新想法和新問題，而這些新想法和新問題往往是依靠關(guān)聯(lián)直覺和類比聯(lián)想產(chǎn)生的，是相關(guān)性直覺發(fā)揮作用的過程及其結(jié)果.第18題就是考查相關(guān)性直覺的生動(dòng)例子，是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的表現(xiàn)形式.具體來說，一方面，“畫圖→作法→構(gòu)造”是一種逆向關(guān)聯(lián)，較好地考查了學(xué)生的“逆抽象”能力，突出“知其然→知其所以然”的追本溯源能力的考查，比一般的給出組合圖形、畫圖作答，更能有效考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的把握度;另一方面，“平行線+角平分線=等腰三角形”是建立概念表象體系的模式抽象，突出對(duì)知識(shí)之間內(nèi)部關(guān)系的相關(guān)性直覺的心理水平考查;第三方面，“直覺關(guān)聯(lián)→方程思想”是建立數(shù)量關(guān)系直覺的必經(jīng)之路，突出對(duì)符號(hào)抽象表征的思想方法體系的考查.這些相關(guān)性直覺的考查，有助于橫向關(guān)聯(lián)和縱向貫通，能進(jìn)一步促進(jìn)教師站在系統(tǒng)思維的高度，實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，這才是相關(guān)性直覺考查的本體意義.

當(dāng)然，相關(guān)性直覺不止于抽象出一個(gè)具體的關(guān)系式，更在于讓“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)目標(biāo)得以“落地”，能通過“考”，切實(shí)引導(dǎo)“教”的方向，引領(lǐng)學(xué)生“學(xué)”的方式，這才是考查數(shù)學(xué)抽象的“形而上”思想.從直覺相關(guān)性來看，數(shù)學(xué)抽象的過程可以劃分為約簡(jiǎn)階段、符號(hào)階段、普識(shí)階段[2].

（1）約簡(jiǎn)階段是把握事物的本質(zhì)，把繁雜的問題簡(jiǎn)單化、條理化，并能夠清晰地表達(dá).該卷第9題就是考查數(shù)學(xué)抽象約簡(jiǎn)階段的好例子，即把“無序”轉(zhuǎn)化為“有序”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，將求角的度數(shù)問題轉(zhuǎn)為用三角形的內(nèi)角和求解問題，突出化歸思想.

（2）符號(hào)階段是去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)約簡(jiǎn)化了的事物.如，第10題就是考查符號(hào)階段的好例子（原題：平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D（3，2）在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖像經(jīng)過C、D兩點(diǎn).已知平行四邊形OABC的面積是152，求B點(diǎn)的坐標(biāo)）.可設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，通過相似變換，在點(diǎn)D（3，2）的參與下，可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（32b，b），結(jié)合平行四邊形面積、反比例函數(shù)關(guān)系，可知C（6b，b），進(jìn)一步可得方程關(guān)系（32b-6b）×b=152，至此，獲得正確答案不困難.其中，方程關(guān)系的抽象，標(biāo)志著符號(hào)抽象關(guān)系的建立.

（3）普適階段是通過假設(shè)和推理建立法則、模型或模式，并能夠在一定意義上解釋具體事物.該卷第18題從解答中抽象出“平行線+角平分線=等腰三角形”的結(jié)論，就具有普適性和一般化特征，是思維高度相關(guān)并約簡(jiǎn)的好例子.

簡(jiǎn)而言之，無論數(shù)學(xué)關(guān)系約簡(jiǎn)、符號(hào)抽象、還是模式建立，都是相關(guān)性直覺直接作用的結(jié)果，能有效地考查數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)，能引領(lǐng)后續(xù)課堂教學(xué)方向，這就是成功的命題、精致的好題.

2.2 突出考查“相似性直覺”，使得“數(shù)學(xué)推理”的考查目標(biāo)有效落地

相似性直覺，顧名思義就是前一個(gè)問題解法能為后面的問題作答提供經(jīng)驗(yàn)，或?qū)笠粋€(gè)問題的解答有所啟示、啟發(fā)，并且問題解決的思維方式具有承繼性關(guān)系，突出特殊一般思想、“見木見林”的整體思維或者結(jié)構(gòu)化思想.如，該卷的第22題就較好地考查了整體思維、結(jié)構(gòu)化思想.具體來說，考查了統(tǒng)計(jì)思想、環(huán)保意識(shí)、樣本估計(jì)總體、隨機(jī)抽樣以及中位數(shù)判斷方法、算理算法等應(yīng)用直覺或相似性直覺.其中，“抽樣調(diào)查→樣本估計(jì)”是一種整體思維和結(jié)構(gòu)化思想，較好地考查了統(tǒng)計(jì)學(xué)部分重要的概念內(nèi)容.而“垃圾分類”情境設(shè)置帶有新時(shí)尚的政策色彩，有助于引領(lǐng)社會(huì)生活朝向和養(yǎng)成良好生活習(xí)慣，不失為一個(gè)好問題.數(shù)學(xué)家麥克來考指出，“數(shù)學(xué)的發(fā)展就是利用經(jīng)驗(yàn)和直覺的洞察力去發(fā)現(xiàn)合適的形式結(jié)構(gòu)，對(duì)這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行演繹分析，并建立這些結(jié)構(gòu)之間的形式聯(lián)系.”這里的“經(jīng)驗(yàn)→洞察→形式結(jié)構(gòu)→形式聯(lián)系”就是相似性直覺發(fā)揮作用的過程，包括用合情推理探索思路，用演繹推理證明結(jié)論的過程.如，該卷的第21題原型是課本方程領(lǐng)域的內(nèi)容，命題者從不等式的角度進(jìn)行考查，問題精當(dāng)，內(nèi)容精致，較好地考查了學(xué)生的相似性直覺.其中，“方程模型→不等式模型”本身就是結(jié)構(gòu)關(guān)系的變化、經(jīng)驗(yàn)增值的表現(xiàn)，考查了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，是學(xué)生“學(xué)得好→考得好”的心理基礎(chǔ).

誠然，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，起于相似性直覺，但必須終于數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)推理.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)生活中經(jīng)常使用的思維方式.”這就意味著相似性直覺猜想需要演繹推理來證明，演繹推理需要相似性直覺進(jìn)行“探路”，二者相輔相成，缺一不可.如，該卷的第26題的問題（1）就是考查“相似性直覺→邏輯運(yùn)演”的好問題.具體來說，該問題“原型”是從代數(shù)的角度驗(yàn)證“勾股定理”的實(shí)驗(yàn)載體（相似性直覺），歷史上稱之為“總統(tǒng)證法”.命題者從全等變換的角度，考查了學(xué)生的邏輯運(yùn)演能力（見解法分析），包括學(xué)生的合情推理水平、合理聯(lián)想能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，高于實(shí)踐的考查導(dǎo)向.問題（2）則較好地考查了學(xué)生的相似性直覺的理性成分，一方面是解答方法的繼承性（全等變換），另一方面考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化構(gòu)造思想，即在一般四邊形中構(gòu)造出條件性直角梯形，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.基于以上認(rèn)識(shí)，可以說推理能力形成于數(shù)學(xué)課堂，延伸于課外，帶有強(qiáng)烈的個(gè)性心理特征，應(yīng)該是后續(xù)課堂教學(xué)的一個(gè)新走向.

2.3 創(chuàng)新考查“連續(xù)性直覺”，使得“數(shù)學(xué)建?！钡目疾槟繕?biāo)真實(shí)落地

連續(xù)性直覺，就是在直覺思維的選擇或參與下，猜想并解決系列問題、問題串或問題組塊的一種心理傾向或心理過程，而且這一過程是基于已有經(jīng)驗(yàn)的，并能體驗(yàn)從數(shù)學(xué)背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.如，第28題就是考查連續(xù)性直覺的一個(gè)經(jīng)典樣例.問題（1）考查了代數(shù)能力，問題（2）一方面考查了函數(shù)最值問題、另一方面考查了利用概念（直徑是圓中最長(zhǎng)的弦）進(jìn)行直覺探路能力，問題（3）通過全等變換考查了割補(bǔ)法.其中，問題（1）為問題（2）的函數(shù)建模奠定了基礎(chǔ)，問題（3）是問題（2）思維的延續(xù)與補(bǔ)償，3個(gè)問題有序地考查了學(xué)生的建模、解模和用模的水平.這樣的問題組塊，井然有序、精致豐富，從不同角度考查了學(xué)生的系統(tǒng)思維和整體觀念，是一道非常難得的好題，盡管沒有“難倒一片”，卻有極強(qiáng)的選拔功能，突出不同層面學(xué)生“有學(xué)上、上好學(xué)”的考查目標(biāo).

當(dāng)然，考查連續(xù)性直覺不止于建模，更在于用模意識(shí)和釋模態(tài)度.在布魯姆看來，數(shù)學(xué)建模研究包括應(yīng)用建模、理論建模、教育建模（教學(xué)建模與概念建模）、情境建模、社會(huì)文化建模、元認(rèn)知建模[3].其中，教學(xué)建模強(qiáng)調(diào)在建模中發(fā)展學(xué)生的各種能力，概念建模則強(qiáng)調(diào)教學(xué)為概念學(xué)習(xí)服務(wù)，元認(rèn)知建模更加關(guān)注學(xué)生在建模過程中的認(rèn)知與情感的變化.如，第25題就是從連續(xù)性直覺維度考查學(xué)生的用模意識(shí)和釋模態(tài)度，是考量學(xué)生思維品質(zhì)的好題.具體來說，試題考查了二次函數(shù)概念體系、平行四邊形的性質(zhì)、對(duì)稱變換和對(duì)稱思想、常函數(shù)、坐標(biāo)法、待定系數(shù)法、參數(shù)思想、換元、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等連續(xù)性直覺.其中，常函數(shù)思想是“用好?！钡年P(guān)鍵，而“換元→因式分解”是轉(zhuǎn)化的好路子，考查了學(xué)生對(duì)模型的合理解釋能力，顯化模型“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、字母可變”的一般化意義.3 教學(xué)啟示

啟示1 抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)難考的源頭，通過考查“關(guān)聯(lián)直覺”的方式可以有效降低難度、凸顯選拔功能，提高學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)世界（抽象），用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界（推理），用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)世界（建模）”[4]的質(zhì)量.

啟示2 建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)的“兩個(gè)面”，即現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)和抽象的形式化數(shù)學(xué).在后續(xù)課堂教學(xué)中要強(qiáng)化表達(dá)世界的能力訓(xùn)練，突出“教好數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)、考好數(shù)學(xué)”的育人宗旨.

啟示3 集約精致的試題備受歡迎，突出考試關(guān)懷和健康心理的養(yǎng)護(hù)，值得關(guān)注弘揚(yáng).

參考文獻(xiàn)

[1]徐利治.數(shù)學(xué)方法論十二講[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2012：251

[2]孫朝仁.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的有效路徑[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（02）：21-25

[3]黃健，魯小莉，汪鴦?dòng)?，徐斌艷.20世紀(jì)以來中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（03）：18-23

[4]史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理，2017（1）：35-37