基于關(guān)系建構(gòu)的初中數(shù)學(xué)講題教學(xué)策略

【摘 要】 講題教學(xué)作為一種普遍的、高頻的、重要的教學(xué)方式，是提高學(xué)生解題能力的重要路徑.現(xiàn)實(shí)教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生聽的懂，卻不會獨(dú)立求解，教師反復(fù)講，學(xué)生依然錯誤不斷的現(xiàn)象.初中數(shù)學(xué)教師對講題教學(xué)認(rèn)識不足，研究不夠深入，存在講題教學(xué)困惑.文章從關(guān)系建構(gòu)與講題教學(xué)的理解、講題教學(xué)的策略、講題教學(xué)的基點(diǎn)等方面闡述講什么、怎么講，結(jié)合教學(xué)案例，探討提高講題教學(xué)效益的有效路徑.

【關(guān)鍵詞】 關(guān)系建構(gòu);初中數(shù)學(xué);講題教學(xué);教學(xué)策略

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的很多時間用于講例題、講習(xí)題、講試題等，師生在數(shù)學(xué)課堂上的大部分時間都在與數(shù)學(xué)題目進(jìn)行“交流對話”，教師的任務(wù)就是通過講題教會學(xué)生解題.講題教學(xué)作為一種普遍的、高頻的、重要的教學(xué)方式，在教學(xué)實(shí)施中仍然存在一些問題.從學(xué)生層面看，課上聽的懂，課后卻不能自主完成解題.從教師層面看，題目講了好多遍，感覺講的很到位，學(xué)生卻學(xué)不會，依然錯誤不斷.因此，有必要對講題教學(xué)進(jìn)行重新審視，深入思考講什么、怎么講.

1 關(guān)系建構(gòu)與講題教學(xué)

關(guān)系是指事物之間相互作用、相互影響的狀態(tài).數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)[1].數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要方面，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展始終圍繞著數(shù)和形這兩個基本概念不斷地深化和演變.一般情況下，我們把數(shù)及其關(guān)系的研究劃為代數(shù)學(xué)范疇，把形及其關(guān)系的研究劃為幾何學(xué)范疇.代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程的數(shù)學(xué)分支，而幾何則是研究空間圖形的形狀、大小和位置的相互關(guān)系等.通俗地說，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是認(rèn)識關(guān)系、探索關(guān)系、建構(gòu)關(guān)系的過程.講題教學(xué)作為一種教學(xué)常態(tài)，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷關(guān)系建構(gòu)的思維活動過程，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì).這里所謂的“講題教學(xué)”指的是教師對題目進(jìn)行講解，師生共同參與的一種旨在解決定向任務(wù)的教與學(xué)的方式[2].需要強(qiáng)調(diào)的是，講題教學(xué)不同于解題教學(xué)，前者側(cè)重如何講題，研究的是教師講什么、怎么講，而后者側(cè)重如何解題，研究的是學(xué)生怎樣解.因此，在講題教學(xué)中應(yīng)立足基礎(chǔ)知識和基本技能，滲透基本思想，要講思想、講方法，更要講策略，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和建構(gòu)數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題，從而提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 講題教學(xué)的策略

2.1 “角色定位”策略

“角色定位”是指在分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程中明確要求的目標(biāo)元素是什么，把它定位成什么“角色”，以此確定探尋的路徑和求解的方法[2].

案例1 對角的定位.

如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，其中∠OCD=60°，∠OEF=45°，邊OC，CE在直線AB上.若CD，EF相交于點(diǎn)G，則∠DGF的度數(shù)為.

在教學(xué)時，先引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀獲取一些重要的數(shù)量信息，再探究解題路徑，教師的“講”應(yīng)聚焦在引導(dǎo)學(xué)生“怎樣想”上.講題時啟發(fā)學(xué)生先對∠DGF進(jìn)行角色定位，再確定路徑，讓學(xué)生感悟不同的“角色定位”決定了不同的解題路徑.比如，如果把∠DGF定位成“三角形的一個內(nèi)角”，解題路徑是在△DGF中根據(jù)三角形內(nèi)角和求解，再根據(jù)隱含的信息（關(guān)系）分別求解∠D和∠DFG的度數(shù)，從而解決問題.如果把∠DGF定位成“∠CGF的鄰補(bǔ)角”，解題路徑是在四邊形GCOF中根據(jù)四邊形內(nèi)角和求解，只需確定另外三個內(nèi)角的度數(shù)即可.如果把∠DGF定位成∠CGE的對頂角，則可以在△GCE中完成求解.

案例2 對邊的定位.

如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，求折痕EF的長.

本題要求的折痕EF與已知矩形的邊長沒有直接的數(shù)量關(guān)系，對學(xué)生而言求解是有難度的.在講題教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先弄清題意，嘗試對邊EF進(jìn)行適切的“角色定位”，探尋求解路徑.如果把邊EF定位成“菱形（隱含的圖形）的對角線”，則連接EB，BD（如圖3），構(gòu)造菱形BFDE，易得EF與BD互相垂直平分，把求EF的長轉(zhuǎn)化為求OF的長，再把求OF的長轉(zhuǎn)化為求BF（DF）的長，最后根據(jù)勾股定理在Rt△DFC中完成求解.在“菱形的對角線”的角色定位下，也可以啟發(fā)學(xué)生用菱形的面積公式分析求解.如果把邊EF定位成“斜邊”，則作FH⊥AD，垂足為H（如圖4），在Rt△EFH中，要求邊EF，需求邊EH，而EH=DE-DH，易知Rt△DGE、Rt△DCF、Rt△FHD互相全等，其中DE與DF，DH與CF有相等關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化到Rt△DCF中求解.

“角色定位”策略的本質(zhì)是基于對圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的探索，嘗試以不同視角尋找并表達(dá)數(shù)量關(guān)系，將未知與已知建立關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)求解目的.在講題過程中，使用“角色定位”策略，有利于促進(jìn)學(xué)生積極探究、主動思考，挖掘一題多解，培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力.

2.2 模型建構(gòu)策略

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)是最常見的數(shù)學(xué)模型.其中代數(shù)式是后三者的基礎(chǔ)，方程刻畫的是實(shí)際問題中的等量關(guān)系，不等式刻畫的是實(shí)際問題中的不等關(guān)系，函數(shù)刻畫的是實(shí)際問題中兩個變量之間的關(guān)系.在這里主要以方程模型和函數(shù)模型建構(gòu)為例，簡述講題教學(xué)中的模型建構(gòu)策略.

案例3 方程模型建構(gòu).

題1：甲、乙兩公司為“見義勇為基金會”各捐款30000元.已知甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元.甲、乙兩公司各有多少人？

題2：如圖5，點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥AB，∠2-∠1=34°.求∠AOD的度數(shù).

在兩個不同領(lǐng)域的問題情境中，講題教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，講清楚數(shù)量關(guān)系的梳理、表達(dá)和建構(gòu)，使學(xué)會學(xué)會找等量關(guān)系并正確進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá).比如在題1中，有兩個等量關(guān)系：甲公司人數(shù)=（1+20%）乙公司人數(shù)、乙公司人均捐款-甲公司人均捐款=20.若設(shè)乙公司有x人，則由人數(shù)的等量關(guān)系表達(dá)出甲公司人數(shù)，再由另一個等量關(guān)系完成方程建構(gòu)，反之亦然.又如題2中，“CO⊥AB，∠2-∠1=34°”是兩個條件，而條件所傳遞的是關(guān)系信息，即∠1+∠2=90°，此時方程模型直觀明了，求角問題迎刃而解，學(xué)生在關(guān)系探究的過程中潛移默化地提高分析和解決問題的能力.我們不妨把兩個問題放在一起進(jìn)行比較，讓學(xué)生探究兩個問題的異同，以關(guān)系建構(gòu)為主線，適時啟發(fā)、引導(dǎo)思考，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和體悟中理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

通過講題要讓學(xué)生明白，解決實(shí)際問題的過程就是數(shù)學(xué)表達(dá)的過程，而數(shù)學(xué)表達(dá)的關(guān)鍵就是建構(gòu)關(guān)系，有了清晰的關(guān)系，才能獲得數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題.

案例4 函數(shù)模型建構(gòu).

如圖6，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)P，P是⊙O上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為B，連接PA.設(shè)PA=x，PB=y，則（x-y）的最大值為.

分析發(fā)現(xiàn)，變量x，y分別是Rt△PAB的斜邊、直角邊，僅根據(jù)勾股定理的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型無法解決問題.此時講題教學(xué)的重點(diǎn)是依據(jù)現(xiàn)有條件，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)特殊的位置關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)構(gòu)造新的數(shù)量關(guān)系、建構(gòu)函數(shù)模型的目的.比如，過點(diǎn)A作⊙O的直徑AC，連接PC（如圖7），易證Rt△ABP∽Rt△CPA，由此將x，y建立關(guān)系，得到二次函數(shù)模型，解決最值問題.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在講題教學(xué)中，應(yīng)以問題為主線，營造分析、思考、表達(dá)、質(zhì)疑的課堂學(xué)習(xí)氛圍，教師及時捕捉學(xué)生的思維障礙，適時、適度地啟發(fā)、點(diǎn)撥，使學(xué)生經(jīng)歷找關(guān)系、造關(guān)系、用關(guān)系建構(gòu)函數(shù)模型解決問題的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力.

2.3 綜合分析策略

這里所謂的綜合分析策略是綜合策略與分析策略的統(tǒng)稱.綜合策略是指從題目的已知條件作為起點(diǎn)，借助有關(guān)概念、性質(zhì)和定理，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，經(jīng)數(shù)學(xué)表達(dá)與邏輯推理，最后獲得求解方法的策略.其特點(diǎn)是“由因?qū)Ч保瑥钠瘘c(diǎn)找終點(diǎn)，即根據(jù)“關(guān)系”從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.分析策略是指從題目中的未知（待求結(jié)論）出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，建立未知與已知條件之間的關(guān)系，最后獲得解題路徑的策略.其特點(diǎn)是“執(zhí)果索因”，從終點(diǎn)找起點(diǎn)，即根據(jù)“關(guān)系”從“未知”找“需知”，逐步導(dǎo)向“已知”.

案例5 求代數(shù)式的值.

如果代數(shù)式5a+3b的值為-4，那么代數(shù)式-2（a+b）-4（2a+b）+3的值是.

通常情況下，要求代數(shù)式2（a+b）+4（2a+b）的值，需求得字母a、b的值，而給出的條件只有5a+3b=-4，顯然無法確定字母a、b的值.要求的代數(shù)式可化簡為-10a-6b+3，此時講題的關(guān)鍵就是如何建立已知代數(shù)式與待求代數(shù)式的關(guān)聯(lián)，即建構(gòu)二者的關(guān)系.由已知5a+3b=-4，可知-10a-6b=8，從而求得未知代數(shù)式的值，在引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中滲透綜合策略.把待求的代數(shù)式-10a-6b+3整理為-2（5a+3b）+3，即要知代數(shù)式-10a-6b+3的值需知代數(shù)式5a+3b的值，以此建立關(guān)系求解，使學(xué)生掌握分析策略.

2.4 分步實(shí)施策略

分步實(shí)施策略是指運(yùn)用G·波利亞“怎樣解題表”的解題步驟而實(shí)施講題的一種教學(xué)策略.即在講題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自主經(jīng)歷弄清題意、擬定計劃、執(zhí)行計劃和回顧反思四個階段，以提高講題教學(xué)效益.

案例6 綜合類求邊長問題.

如圖8，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE=2BE，點(diǎn)M，N在線段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN=.

第一步：弄清題意

此題已知條件較多，關(guān)系復(fù)雜，包含一些隱蔽條件，已知條件與未知結(jié)論之間的關(guān)系錯綜復(fù)雜，講題時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試從不同角度解釋、明確條件和結(jié)論[3]，比如引導(dǎo)學(xué)生通過列表來表達(dá)關(guān)系，從而弄清題意（如表1）.

第二步：擬定計劃

在弄清題意的基礎(chǔ)上，從基本概念、性質(zhì)和定理等出發(fā)，畫出符合題意的圖形（如圖9、10），引導(dǎo)學(xué)生探究解題路徑.比如把求等腰△PMN底MN轉(zhuǎn)化為求高PF，以此擬定求解計劃：借助圖形關(guān)系先求PF，再找PF與FN的關(guān)系，最后求得MN.圖9 圖10

第三步：執(zhí)行計劃

根據(jù)擬定的求解計劃，把計劃分解成若干小任務(wù)，以關(guān)系表達(dá)為抓手，逐個完成任務(wù)，最終完成計劃.比如通過△DPF∽△DBA，使PF與邊長AB，BD，PD建立關(guān)系，求得PF.再由∠PNM=∠DEC，得tan∠PNM=tan∠DEC，即PFFN=CDCE=12，由此獲得關(guān)系，先求得FN，再求得MN.

第四步：回顧反思

教師在引導(dǎo)學(xué)生完成計劃后，反思環(huán)節(jié)尤為重要.反思是對整個講題、解題過程的整理，是對基礎(chǔ)知識、基本思想方法的歸納總結(jié)，對不同計劃的比較、改進(jìn)、優(yōu)化、取舍，是一個學(xué)習(xí)的再概括過程，有利于促進(jìn)學(xué)生深度思考，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).比如在圖9教學(xué)中，有學(xué)生提出選用△DNP∽△BED，擬定計劃為：先求PN，再求FN.在肯定計劃的同時，應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同計劃的比較，反思優(yōu)劣，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和深刻性.

3 講題教學(xué)的兩個基點(diǎn)

3.1 以學(xué)定講

講是為了學(xué)，為了學(xué)生更好地、更有效地學(xué).講題教學(xué)的最終落腳點(diǎn)是學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué).在教學(xué)中凸顯教師課堂講題主導(dǎo)地位的同時，要把落實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位始終擺在首要位置.精準(zhǔn)分析學(xué)情，重視差異化教學(xué)和個別化指導(dǎo)，課上要講清楚重點(diǎn)難點(diǎn)、知識體系，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極提問、自主探究[4].這是國家層面再次強(qiáng)化學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，在提倡啟發(fā)式、探究式、互動式等教學(xué)方式的同時，也肯定了教師講的重要性.因此，以學(xué)定講是講題教學(xué)的基點(diǎn)，是實(shí)施有效講題的基礎(chǔ).

講題教學(xué)的設(shè)計是一個精準(zhǔn)分析學(xué)情，以生為本，精選講題策略的過程.教師在實(shí)施講題教學(xué)時，以建構(gòu)關(guān)系為學(xué)習(xí)的根本任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生主動進(jìn)行信息加工，突破思維障礙.以講題策略為指導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生積極思考，主動探究，經(jīng)歷觀察、分析、綜合、抽象、概括、類比、歸納、聯(lián)系、猜想、判斷、推理等各種思維活動[5]，從試錯到頓悟，最終貫通條件與結(jié)論的關(guān)系，學(xué)會求解策略，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

3.2 以題定講

教師講什么、怎么講是由題目的特點(diǎn)決定的，這就是所謂的“以題定講”.以上例舉的講題教學(xué)策略是有適用范圍的，“角色定位”策略適用于“多角色”的線段、角等求解對象，這類題目多為綜合類幾何問題.模型建構(gòu)策略的適用范圍比較廣，比如用代數(shù)式模型探究圖形類題目中邊或角的數(shù)量關(guān)系，用方程模型求解實(shí)際問題（應(yīng)用題、幾何題等），用函數(shù)模型求解最值問題等.綜合分析策略適用于條件與結(jié)論的關(guān)系不明確的題目.分布實(shí)施策略適用于條件較多、關(guān)系復(fù)雜的綜合類題目.

以題定講是指根據(jù)不同題目的特點(diǎn)選擇不同的講題策略，是講題教學(xué)的另一個基點(diǎn).在運(yùn)用講題策略實(shí)施講題教學(xué)時要注意兩點(diǎn)：一是幾種講題策略沒有清晰的界限，它們不是獨(dú)立存在的，大多情況下它們相互融合，相輔相成，混合使用;二是幾種講題策略的核心是關(guān)系建構(gòu)，無論是單個使用還是混合使用，都應(yīng)在關(guān)系建構(gòu)視角下幫助學(xué)生化繁為簡，從“知其所以然”走向“何以知其所以然”，在深度學(xué)習(xí)中真正提升數(shù)學(xué)思維能力.簡而言之，講題就是講關(guān)系建構(gòu)，講題教學(xué)就是講關(guān)系建構(gòu)的教學(xué).

總之，講題教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)為突破口，以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力為指向，以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為標(biāo)的，以立德樹人為根本任務(wù)的一種教學(xué)方式，而提高講題教學(xué)效益的有效途徑就是以學(xué)定講、以題定講，落實(shí)講題教學(xué)策略.

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作者簡介 孫凱（1982—），男，江蘇徐州人，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)自籌課題“初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)與評價的實(shí)踐研究”（編號：B-b/2020/02/104 ）、江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期課題“指向?qū)W科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)‘后建構(gòu)課堂設(shè)計研究”（編號：2019JK13-ZB16）的階段研究成果.