數(shù)學抽象素養(yǎng)視角下“相似”教材內(nèi)容的比較研究

楊怡 梁會芳 張定強

【摘 要】 數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，也是數(shù)學教材表征的主要維度.以人教版和北師大版初中數(shù)學教材“相似”內(nèi)容為研究對象，基于數(shù)學抽象素養(yǎng)的視角對教材中“相似”概念和規(guī)則的獲得、命題和模型的提出、方法與思想的形成以及結(jié)構(gòu)與體系的認知進行對比分析，以期為數(shù)學教育工作者多角度研讀數(shù)學教材提供借鑒.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學抽象;“相似”;教材比較

1引言

數(shù)學教育的開展依賴師生雙邊活動的有效進行，理解和運用教材是其有效實施的基本保障.教材作為承載數(shù)學知識與思想方法的文本資源，是進行數(shù)學教學活動的直接材料，對其結(jié)構(gòu)的剖析與挖掘有助于教師深刻理解編者意圖，有效幫助學生減少學習認知障礙，努力實現(xiàn)理想化的教學.“數(shù)學抽象”是數(shù)學的本質(zhì)，也是數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之首，是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，數(shù)學高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級均依賴“數(shù)學抽象”發(fā)揮作用[1].而“相似”是義務(wù)教育數(shù)學課程中的重要內(nèi)容，是仿射變換的核心，是幾何變換在中小學數(shù)學教育的初步引入，也是后續(xù)“銳角三角函數(shù)”、“投影與視圖”以及未來建筑、繪圖等知識學習的基礎(chǔ)，其本身蘊含著豐富的數(shù)學思想，學習“相似”內(nèi)容有助于師生利用幾何變換的符號、性質(zhì)為幾何論證提供新的途徑和表達方式，促進學生問題解決能力的提升及數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成[2].基于此，本文以人教版和北師大版教材為例，從數(shù)學抽象素養(yǎng)視角對教材中“相似”內(nèi)容的呈現(xiàn)展開比較研究，以期為一線教師多角度分析數(shù)學教材提供一定借鑒.2研究對象

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》規(guī)定“圖形的相似”屬于第三學段學生所應(yīng)掌握與了解的“圖形的變化”內(nèi)容之一，簡單來說主要涵蓋比例、圖形的相似、相似三角形以及位似等內(nèi)容[3].為描述簡潔、統(tǒng)一，選用人教版的“相似”章節(jié)命名（北師大版中用“圖形的相似”），對兩版教材中共有的“相似”內(nèi)容展開對比分析，具體章節(jié)詳見表1.

從“相似”知識章節(jié)分布學段來看，兩版教材都將其放置于九年級來學習;從其章節(jié)設(shè)定位置來看，無論是人教版的二十七章還是北師大的第四章，均排列在圖形的全等和軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等簡單的全等變換之后，符合知識發(fā)展的邏輯順序;從具體小節(jié)來看，人教版將相關(guān)知識劃分為3大節(jié)，而北師大版則將其細化為8小節(jié)，且將相似三角形判定定理的證明單獨列出.總體而言兩者都很好的體現(xiàn)了課標所要求的內(nèi)容，但對于教材建構(gòu)的篇幅而言，北師大版較人教版多出12頁內(nèi)容.具體建構(gòu)思路本文將從數(shù)學抽象素養(yǎng)的視角進行對比剖析.3 研究結(jié)果及分析

數(shù)學抽象主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法與思想，認識數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系[1].“相似”學習中主要是關(guān)于圖形與圖形關(guān)系的抽象，是基于現(xiàn)實與邏輯兩個階段進行，據(jù)此從其數(shù)學抽象的四個表現(xiàn)形態(tài)進行“相似”教材內(nèi)容的比較分析.3.1 數(shù)學概念和規(guī)則的獲得

概念是思維的細胞，認知心理學將其定義為“符號所代表的具有標準共同屬性的對象、事物、情境或性質(zhì)”，現(xiàn)代認知心理學指出概念隨著知識結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展，學生對其理解總是由具體向抽象、日常向科學發(fā)展[4].數(shù)學因其是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，所以數(shù)學概念是在舍棄非本質(zhì)屬性后僅存留數(shù)量關(guān)系、形狀、大小、位置等本質(zhì)屬性的數(shù)學思維的基本單位.現(xiàn)就兩版教材“相似”主要概念和規(guī)則的獲得方式進行對比，詳情見表2.

從編排順序來看，兩版教材關(guān)于“相似”相關(guān)概念的呈現(xiàn)整體上屬于演繹思維，如表征完相似圖形的概念后，再闡釋相似多邊形、相似三角形的概念，隨后是位似圖形，位似則是相似圖形的一種特殊形式;不同的是北師大版直接嵌入“成比例線段”，為相似知識的學習做好奠基.從概念的獲得方式來看，除“相似圖形”“相似三角形”兩版獲得方式一致外，人教版采用直接方式給出相似概念，北師大版則嘗試以問題啟發(fā)、操作試驗等多種方式給出.從概念抽象的過程來看，“相似”概念是通過從現(xiàn)實世界中的具象出發(fā)到圖形語言概述，再到自然語言描述，然后到符號語言表征的抽象過程形成的.

概念獲得追求的是其本質(zhì)特征的析出，兩版教材中體現(xiàn)明顯.如“相似三角形”概念抽象的三階段[5]就是例證，即簡約階段給予學生日常生活中的模式刺激，讓學生在知覺水平上感知，“相似”指形狀相同的圖形;接著引入“相似多邊形”這一特殊的相似平面圖形，通過分化、類化尋找其本質(zhì)屬性，即“各角分別相等，各邊成比例”，“相似三角形”的定義可自然而然抽象為“三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形”.符號階段是用數(shù)學符號語言表示兩個相似三角形及它們之間的邊角關(guān)系.普適階段則是逐漸完善對“相似三角形”判定、性質(zhì)的系統(tǒng)認識，并采用其解決“測高”等實際問題，進一步發(fā)展學生的邏輯推理以及綜合運用知識解決問題的能力.

3.2數(shù)學命題和模型的提出

3.2.1 命題和模型提出路徑

命題一般由若干概念組成，它揭示著概念之間的關(guān)系.美國心理學家安德森就認為知識的最小單元是命題，而非單個的概念本身.數(shù)學模型在義務(wù)教育階段的數(shù)學中，是指用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等[6]，而“相似”教材內(nèi)容就蘊藏著大量的數(shù)學命題和模型，是在抽象的過程中通過一定的數(shù)學活動讓學生經(jīng)歷、積累這種抽象的經(jīng)驗.因此對教材中相似相關(guān)命題和模型提出的建構(gòu)路徑分析可幫助學生更好地形塑數(shù)學抽象素養(yǎng)，現(xiàn)將兩版教材中共有的“相似”命題及模型所涉及的提出路徑梳理如下，詳見表3.

人教版通常專設(shè)“探究”欄目幫助學生完成數(shù)學命題和模型的提出，同時會借助實物啟發(fā)學生思考，如“兩角分別相等的兩個三角形相似”這一判定定理就是借助學生身邊實物“三角板”來啟發(fā)探究;北師大版則以具體問題或“想一想”“做一做”“議一議”來引導學生展開數(shù)學活動，進行數(shù)學思維.整體來看，無論“相似”命題和模型提出的路徑是什么，實質(zhì)上兩版教材均擅長通過類比全等三角形、實際問題以及實踐操作來啟發(fā)學生思維，鼓勵學生嘗試解決問題、提出數(shù)學命題，從而讓學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，獲得數(shù)學關(guān)鍵能力，形成良好的思維品質(zhì).

3.2.2 命題和模型提出例析

數(shù)學活動是學生數(shù)學命題和模型提出的最好素材，下面以“相似三角形的判定”提出為例，來對比分析活動中的問題如何體現(xiàn)數(shù)學抽象的不同階段，詳見表4.

由上表可知，整體來看兩版教材“相似三角形判定定理”的提出均有類比全等三角形的思想，且通過具體問題啟發(fā)學生思考，鼓勵學生動手畫圖、觀察直觀的三角形來抽離確定兩個三角形相似的條件;接著進行精簡、高度的抽象概括，形成判定三角形相似的判定定理并加以證明;最后在相應(yīng)的定理后附帶例題，借助該定理并運用數(shù)學符號表示解決具體實際問題以拓展其適用范圍，至此數(shù)學命題、模型的提出完成.但從具體的每個定理提出來看不同版本教材存在著明顯的不同，從定理的順序來看，各版本均與其“全等三角形的判定定理”順序保持高度一致;從類比的詳細情況來看，人教版直接用“全等三角形的判定”結(jié)果進行類比，對于不能直接引用的，如“兩角分別相等的兩個三角形相似”則采用實物“三角板”來闡述;北師大版則借助“全等三角形的判定”探索過程，即“至少滿足哪些條件兩個三角形就能相似”.這兩種方式各有千秋，人教版方法多樣且省時省力，北師大版雖耗時但通過這一類數(shù)學活動探究卻能幫助學生鞏固基礎(chǔ)知識與技能、感悟數(shù)學思想方法，同時積累數(shù)學活動經(jīng)驗.3.3 數(shù)學方法和思想的形成

“相似”的教學除了要讓學生抽象出基本的數(shù)學概念和規(guī)則、命題和模型之外，更為重要地是滲透數(shù)學思想方法，形成學生的數(shù)學方法和思想，這是學生學習數(shù)學之后真正伴隨其一生的寶貴財富.通常認為“數(shù)學思想方法”可從“數(shù)學思想”與“數(shù)學方法”兩個角度來闡述，強調(diào)數(shù)學活動的指導思想時常以前者命名，強調(diào)具體的操作過程時則以后者命名.數(shù)學思想方法作為數(shù)學的精髓，蘊含在數(shù)學知識的形成、發(fā)展與應(yīng)用過程中，是數(shù)學知識在更高層次上的抽象與概括[9].這就要求教師在實施數(shù)學教學活動前要有主動挖掘教材中數(shù)學思想方法的意識，在教學實踐中注重數(shù)學思想方法的滲透，從而提升學生的數(shù)學思維能力，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成.

“相似”知識在數(shù)學抽象的過程中主要涉及到的數(shù)學思想方法有一般與特殊、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合以及模型等，兩版教材均有不同程度的體現(xiàn).其中從“全等三角形”到“相似三角形”是一個從“特殊”到“一般”的過程，從“相似圖形”“相似多邊形”“相似三角形”則遵循從“一般”到“特殊”的順序，幫助學生完成數(shù)學抽象;以類比“全等三角形”來完成“相似三角形”判定定理的抽象;以化歸將“相似三角形”判定定理的證明轉(zhuǎn)化為學生已經(jīng)熟悉的“全等三角形”問題，完成證明;以“數(shù)形結(jié)合”使得幾何直覺、合情推理易于轉(zhuǎn)化為程序化操作的代數(shù)運算，使得學生對“相似”的理解更加理性化;以具體的例題、習題等實際問題的設(shè)計，幫助學生感悟數(shù)學模型思想，從而培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.3.4數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系的認識

“相似”是學生在第三學段“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的變化”中繼軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移之后的第四種變化，其中從“全等三角形”到“相似三角形”是一種從特殊到一般的認識過程，同時“相似”也是后續(xù)“投影與視圖”“銳角三角函數(shù)”等知識學習的基礎(chǔ)，如圖1.兩版教材均在“相似”知識的學習過程中通過相關(guān)概念和規(guī)則的獲得、命題和模型的提出以及數(shù)學思想方法的形成逐漸完善學生認知系統(tǒng)，遵循的建構(gòu)路徑基本相同，核心知識點一致，只不過語言表征、素養(yǎng)闡述各有不同的風格.啟示我們在理解和掌握教材中要明晰其宏觀結(jié)構(gòu)上的一致性與微觀表述上的差異性，從而深度學習和掌握教材建構(gòu)的特點，做到對“相似”知識從建構(gòu)系統(tǒng)上整體把握，從建構(gòu)動態(tài)上精確理解.圖 1 “相似”數(shù)學結(jié)構(gòu)體系認識

4結(jié)語

學習數(shù)學可以說是在學習數(shù)學的抽象形式、方法和語言，通過經(jīng)歷數(shù)學的抽象活動有助于學生學習、理解數(shù)學，并運用數(shù)學的思維方式和語言來表達現(xiàn)實世界[10].數(shù)學教師要善于對比分析現(xiàn)有教材中對同一知識的數(shù)學抽象方式，即數(shù)學概念和規(guī)則的獲得、數(shù)學命題和模型的提出、數(shù)學方法與思想的形成以及數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系的認識等具體的呈現(xiàn)方式，從中觸摸數(shù)學不僅是一種重要的“工具”或“方法”，也是一種思維模式;數(shù)學不僅是一門科學，也是一種文化;數(shù)學不僅是一些知識，也是一種素質(zhì)的內(nèi)涵.具體在“相似”內(nèi)容本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上，幫助學生通過多種方式體驗數(shù)學的方法性和抽象性、科學性和文化性、知識性和素養(yǎng)性;并以探究活動為載體，類比“全等圖形”讓學生經(jīng)歷探索抽象數(shù)學命題和模型的過程;以數(shù)學思想方法為核心，讓學生感悟類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的精妙;以教材的數(shù)學抽象之美為靈魂，鼓勵學生自主探索“圖形變化”的奧秘，從中體悟數(shù)學抽象的機制系統(tǒng)[5].最終幫助學生把握數(shù)學本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學思維、提升數(shù)學素養(yǎng).

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