概念意象與概念定義的教學思考

【摘 要】 在概念存儲與表征的過程中，除了形式化定義外，還有概念意象.概念意象在概念的教學中有非常重要的作用，再現(xiàn)概念意象或建立概念意象是學生學習概念的基礎(chǔ);合理利用概念意象能幫助學生形成概念定義;概念定義的理解常常是概念意象進一步豐富與完善的過程.處理好概念意象與概念定義的關(guān)系是概念教學的需要，也是數(shù)學學習的需要.

【關(guān)鍵詞】 概念意象;概念定義;概念教學

心理學研究表明：抽象的概念除了形式化的定義外，還有一種成分在概念的內(nèi)部存儲與表征中起作用，它不同于精確的語言定義，但能與語言相互轉(zhuǎn)化.我們把這種成分稱為概念意象（或表象）[1]，它是指與抽象概念直接相聯(lián)系的各種心理成分的綜合[2]，包括相應(yīng)原型的直觀形象、心智圖像、對其性質(zhì)及相關(guān)過程的記憶等等.也可以說，概念意象就是除形式化定義之外，與概念有關(guān)的一切心理活動[1].在生活中，木工師傅未必能說出矩形的定義，但是他們卻能做出標準的長方形.許多學生根本不記得方程的解的定義，但卻能熟練地求出各類方程的解.凡此種種現(xiàn)象，均說明了概念意象在概念的理解、應(yīng)用等方面具有不可替代的作用.

我們都知道，概念的定義是抽象的，相對而言，概念意象卻是具體的.“到定點的距離等于定長”是圓的抽象定義，但什么是圓？人們立即想到的是太陽，車輪，圓形盤子等具體實物，或圓規(guī)繞著一個點旋轉(zhuǎn)一周畫出來的圖形等形象而具體的過程;其次，定義是嚴謹?shù)模拍钜庀髤s是隨意的.有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，這是正方形的定義，它是嚴謹而規(guī)范的.但是，“四邊相等，四個角是直角的四邊形是正方形”常常是正方形留給人們的概念意象，這種口語化的描述很隨意，不同的時間，不同的場合有時還會發(fā)生變化;第三，概念的定義是穩(wěn)定的，而概念的意象常常隨著學習者認知的發(fā)展不斷豐富，不斷變化.小于0的數(shù)是負數(shù)，但學生對負數(shù)的意象卻是不斷變化的，許多小學生眼里的負數(shù)是-1，-2，-3，…，等等負整數(shù)，初學有理數(shù)的學生眼里的負數(shù)是負有理數(shù)，而認識實數(shù)之后的負數(shù)又包括了所有的負無理數(shù);第四，概念的定義是清晰的，而概念的意象有時卻是模糊的.我們所學的數(shù)學概念都能夠用清晰而明確的文字語言，符號語言，或是圖形語言進行闡述.但是，在一般人眼里的有些數(shù)學概念常常無法表達，概念意象很模糊，不能確定是什么，或是像什么，甚至是一種可意會不能言傳的感覺.

在概念的認識、理解、存儲、運用等的不同階段，概念意象與概念定義起著不同的作用，兩者相互影響，相互補充.在概念教學中，正確處理好兩者的關(guān)系，有助于學生理解概念，掌握概念，提高概念學習的效率.具體而言，有以下幾個方面.1 再現(xiàn)概念意象，確定概念教學起點

概念教學中，要充分利用學生的已有經(jīng)驗，依據(jù)前期的概念意象確定教學的起點，設(shè)計教學活動的出發(fā)點.正如美國著名的教育心理學家奧蘇泊爾所說，假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學習的唯一重要的因素就是學生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學.也就是說，充分了解學生原有的概念意象是課堂教學的需要，更應(yīng)該是概念教學的需要.

初中階段的許多數(shù)學概念，學生在生活中或在小學階段已經(jīng)有接觸，對于這些概念他們往往都有自己的理解，都建立了自己的概念意象，其中也不乏一些錯誤的認識，所以再現(xiàn)學生的概念意象顯得特別重要.在《角》的概念教學時，教師首先要明確學生關(guān)于角已經(jīng)了解的知識.譬如，關(guān)于角的生活模型;關(guān)于角的大小與角兩邊的長短無關(guān)的特征;關(guān)于角的相關(guān)概念，如銳角、直角、鈍角;角的度量等等.學生前期關(guān)于角的認識是學生理解角的概念，進一步學習角的其他知識的基礎(chǔ).類似的概念還有線段、射線、直線，垂直，平行等等，學生在生活與學習中，都積累了豐富的概念意象.教學時，教師只有以學生已有的概念意象為起點，以他們的理解為基礎(chǔ)，設(shè)置問題、組織活動才能提高概念教學的效率.2 建立概念意象，創(chuàng)設(shè)概念理解基礎(chǔ)

概念意象是概念教學的基礎(chǔ)，是學生形成定義，理解概念的基礎(chǔ).新的概念教學中，首先應(yīng)該幫助學生建立概念意象，有了豐富而典型的概念意象學生才能提煉概念的特征，抓住概念的本質(zhì)，理解概念的抽象定義.概念意象可以是指向概念本質(zhì)特征的典型例子，也可以是與以往經(jīng)驗或概念相關(guān)的模糊聯(lián)系，等等.

在初中階段，許多數(shù)學概念學生是第一次接觸，前期沒有任何概念意象.像這樣的概念教學，必須首先幫助學生建立概念意象.譬如，分式概念的教學中，可以類比分數(shù)建立模糊的意象，還需要讓學生在具體情景中獲得分式，等的式子，進而建立具體的意象.有些概念，為了幫助學生理解其本質(zhì)，需要從不同的視角進行積累.如函數(shù)，這是一個非常抽象的概念，學習前學生沒有任何概念意象，也很難類比以往的其他概念來獲得，無形中增加了概念理解的難度.幫助學生建立豐富而有效的概念意象也就成為理解概念的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.教學中，教師通常會提供如下實例：（1）某水庫水位的高低與相應(yīng)的需水量（如表1）;（2）如圖1，火柴棒的根數(shù)S與小魚的條數(shù)之間的關(guān)系式：S=8+6（n-1）;（3）如圖2，我國某海港某天的實時潮位圖.分別從函數(shù)的三種不同表達形式（表格，解析式和圖像）的視角引進實例，幫助學生豐富概念意象.有老師還錄制汽車加油的動態(tài)視頻，讓學生感受加油表中油量與加油總價的變化關(guān)系.典型的實例和動態(tài)的變化有助于學生建立豐富的概念意象，這為學生理解函數(shù)的定義奠定了基礎(chǔ).

3 利用概念意象，有效形成概念定義

概念教學中，教師不能僅僅只是幫助學生積累和豐富概念意象，利用概念意象幫助學生形成概念定義，理解概念才是教學的目的.而有效的問題，合適的活動常常是從概念意象到概念的定義，或者說是從具體的意象走向抽象定義的常用方法與策略.

圓的概念，現(xiàn)行教材一般都是初三階段的教學內(nèi)容，此時的學生已經(jīng)積累了豐富的概念意象，概念的教學其實就是幫助學生從意象走向定義.教師可以設(shè)置如下問題：（1）車轱轆可以是橢圓或正方形嗎？（2）車轱轆是圓的有什么好處？對于車轱轆是圓的現(xiàn)象，學生司空慣見，問題（1）激發(fā)學生的思考，在無疑處生疑，自然得出結(jié)論：橢圓與正方形的車轱轆會讓人感到上下顛簸，在對比中感受圓形轱轆的好處.進而產(chǎn)生問題：為什么圓形轱轆給人感覺車子的平穩(wěn)？是因為行駛中的車子到地面的距離，即轱轆的軸心到轱轆的外延的距離保持不變，這是車子平穩(wěn)的原因.至此，學生才能理解“一中同長”的道理.像這樣，抓住概念定義的本質(zhì)屬性設(shè)置問題，有助于學生理解概念的內(nèi)涵，形成抽象的定義.而對于像分式這樣的概念教學，我們可以在類比分數(shù)形成基本的認識后，引導(dǎo)學生觀察具有典型特征的實例，如st，2a，m+na+b，….在學生充分感知的基礎(chǔ)上，教師提出問題：觀察上述式子，它們有什么樣的共同特征？問題交流與解決的過程，是定義的形成過程，是一個提煉與概括的過程，也是學生理解概念定義的過程.4 理解概念定義，豐富完善概念意象

某種意義上說，概念的教學就是概念意象的教學.概念意象通常是概念學習的起點，概念定義的形成是概念意象的抽象結(jié)果，概念的理解又是概念意象進一步清晰與完善的過程，而概念的存儲與應(yīng)用常常是與概念意象密切聯(lián)系的思維活動.所以，在概念教學中，需要特別重視概念意象.

首先，利用概念的原型與變式[3]，豐富概念意象.在大多數(shù)情況下，學習者依賴于概念意象形成概念，其中，最常見的意象莫過于概念原型.概念原型往往具有概念的典型特征，有利于學習者理解概念的抽象定義.譬如，認識單項式的概念，我們常常會選取像這樣的概念原型0.55a，0.35b，0.15m，2a，2a3，0.8a等等，都有明顯的系數(shù)與字母的積，它們有利于單項式定義的形成.但是在概念的理解階段，應(yīng)該利用概念原型的變式，結(jié)合非典型的單項式，如abc，s50，12πr2，a，3圖3等代數(shù)式，幫助學生突破原型的局限，理解概念的定義，同時也能豐富單項式的概念意象.又如，我們常常利用圖3中∠1與∠2的關(guān)系引進余角的概念，幫助學生建立形象而直觀的概念意象，也便于學生抓住概念的本質(zhì)特征，形成抽象的定義.但是，僅有這樣的概念原型遠遠不夠，教學中，還需要讓學習者理解任意一個40°的角與一個50°的角都互余.這樣的過程是對學習者概念意象的豐富，也是正確理解與運用概念，以及進一步學習概念相關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ).

其次，建立概念的結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡(luò)，完善概念意象.數(shù)學知識具有整體性、結(jié)構(gòu)化等特點，但教材呈現(xiàn)的往往是一個個零碎的、孤立的“知識點”，知識結(jié)構(gòu)卻被“隱藏”起來.如果能將隱性的知識結(jié)構(gòu)顯性化，那么將有助于學習者理解概念，進而完善概念意象.譬如，分式概念的教學中，在分式的定義形成之后，教師可以引導(dǎo)學生建立與分式概念相聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)（如圖4），這樣的概念結(jié)構(gòu)能夠幫助學生建立以分式為核心，與原有概念相聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)，進一步理解分式的概念，完善概念意象.又如，章節(jié)知識的復(fù)習課中，教師通常都會引導(dǎo)學生將一章的知識進行歸納整理，形成以概念為中心的知識體系，它能幫助學生理解知識之間的聯(lián)系.而且，這樣的結(jié)構(gòu)還有助于他們形成整體而直觀的概念意象.

我們知道，概念的識別，概念性質(zhì)的研究，概念的具體應(yīng)用等等，這些與概念有關(guān)的教與學活動，都有助于學生理解概念的定義.其實，上述活動也同樣有助于學生進一步豐富與完善概念意象.

概念意象在概念存儲與表征中，具有個性化、具體化等特點，它是人們理解概念的基礎(chǔ)，也是存儲與表征概念的主要形式.概念定義是對概念本質(zhì)屬性的抽象描述，它穩(wěn)定而規(guī)范，是人們深入理解和研究數(shù)學的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.兩者相互影響，相互依存.日常教學中，處理好它們的關(guān)系是概念教學的需要，也是數(shù)學學習的需要.

參考文獻

[1]李善良.關(guān)于數(shù)學概念意象的研究[J].數(shù)學教育學報，2004（08）：13-15

[2]羅新兵，羅增儒.數(shù)學概念表征的初步研究[J].數(shù)學教育學報，2003（05）：21-23

[3]李善良.現(xiàn)代認知觀下的數(shù)學概念學習與教學[M].南京：江蘇教育出版社，2005.12

作者簡介 韓詩貴（1972—），男，中學高級教師，無錫市數(shù)學學科帶頭人，主要從事初中數(shù)學教學研究與實踐.