打開圓這把鎖的“金鑰匙”

段昆山

摘 要：圓的證明與計(jì)算是各省市中考的高頻考點(diǎn).本文從“遇到切線，連半徑”“遇到弦，作弦心距”“遇到直徑，構(gòu)造直徑所對(duì)圓周角”“遇到特殊的幾何圖形，作垂直”四方面闡述添加輔助線的方法.要解決好此類題目需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，較強(qiáng)的分析、推理能力，更需要抓住輔助線這個(gè)“金鑰匙”.

關(guān)鍵詞：輔助線;幾何圖形;直徑

歷年來圓的證明與計(jì)算都是各省市中考的熱點(diǎn)，其試題主要以圓為載體，結(jié)合三角形、四邊形、三角函數(shù)、相似等知識(shí).涉及轉(zhuǎn)化、方程思想，難度大、變化多，很多同學(xué)感到無(wú)從下手.其實(shí)我們只要抓住輔助線這個(gè)“金鑰匙”，就能夠打開圓這把鎖.

鑰匙1 遇到切線，連半徑

已知條件中，有切線，可以連接圓心和切點(diǎn)即半徑，利用切線性質(zhì)、弦切角定理，構(gòu)造垂直、角相等.

例1 （2019年山東·菏澤）如圖1，BC是⊙O的直徑，CE是⊙O的弦，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BF⊥GE于點(diǎn)F，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A.

（1）求證：∠ABG=2∠C;

（2）若GF=3 3，GB=6，求⊙O的半徑.

分析 （1）有圓心、切點(diǎn)，連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥EG，推出OE//AB，得到∠A=∠OEC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEC=∠C，求得∠A=∠C，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（2）根據(jù)勾股定理得到BF=BG2-GF2=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解析 （1）證明略.

（2）因?yàn)锽F⊥GE，所以∠BFG=90°.

因?yàn)镚F=3 3，GB=6，

所以BF=BG2-GF2=3.

因?yàn)锽F//OE，所以△BGF∽△OGE.

所以BFOE=BGOG.

所以3OE=66+OE.

解得OE=6.

所以⊙O的半徑為6.

評(píng)注 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，若出現(xiàn)圓的切線，必連經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，得出垂直關(guān)系.本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

鑰匙2 遇到弦，作弦心距

已知條件中有弦，可以作弦心距，利用垂徑定理，結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，求線段長(zhǎng)度、角的度數(shù).

例2 （2019年浙江·金華）如圖3，在OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B，與OC相交于點(diǎn)D.

（1）求BD的度數(shù);

（2）如圖3，點(diǎn)E在⊙O上，連結(jié)CE與⊙O交于點(diǎn)F，若EF=AB，求∠OCE的度數(shù).

分析 （1）如圖4，連接OB，證明△AOB是等腰直角三角形，即可求解.

（2）由△AOB是等腰直角三角形，可得OA=2t，HO=OE2-EH2=2t2-t2=t，即可求解.

解析 （1）略.

（2）如圖5，連接OE，過點(diǎn)O作OH⊥EC于點(diǎn)H，設(shè)EH=t，

因?yàn)镺H⊥EC，所以EF=2HE=2t.

因?yàn)樗倪呅蜲ABC是平行四邊形，

所以AB=CO=EF=2t.

因?yàn)椤鰽OB是等腰直角三角形，

所以O(shè)A=2t.

則HO=OE2-EH2=2t2-t2=t.

因?yàn)镺C=2OH，所以∠OCE=30°.

評(píng)注 本題主要利用了切線和平行四邊形的性質(zhì)，其中問題（2）要利用問題（1）中△AOB是等腰直角三角形結(jié)論.

鑰匙3 遇到直徑，構(gòu)造直徑所對(duì)圓周角

已知條件中有圓的直徑，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角.利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，通過勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形等知識(shí)求解.

例3 （2019年遼寧·沈陽(yáng)）如圖6，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥MN于點(diǎn)D.

（1）求證：∠ABC=∠CBD;

（2）若BC=4? 5，CD=4，則⊙O的半徑是.

分析 （1）如圖7，連接OC，由切線的性質(zhì)可得OC⊥MN，即可證得OC//BD.由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠CBD=∠BCO=∠ABC，即可證得結(jié)論.

（2）連接AC，由勾股定理求得BD，然后通過證△ABC∽△CBD，求得直徑AB，從而求得半徑.

解析 （1）略.

（2）連接AC，在Rt△BCD中，BC=4 5，CD=4，所以BD=BC2-CD2=8.

因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°.

所以∠ACB=∠CDB=90°.

因?yàn)椤螦BC=∠CBD，所以△ABC∽△CBD.

所以ABBC=CBBD.即AB4 5=4 58.

所以AB=10.所以⊙O的半徑是5.

評(píng)注 本題考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理、三角形相似的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形、直角三角形是解題的關(guān)鍵.

鑰匙4 遇到特殊的幾何圖形，作垂直

已知條件中有特殊的三角形比如含30°，45°的三角形、含45°，60°的三角形或利用作垂直構(gòu)造等腰直角三角形，利用三角函數(shù)、相似、面積公式等知識(shí)求解.

例4 （2018年浙江·溫州）如圖8，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在⊙O上.

（1）求證：AE=AB;

（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=13，BE=2，求BC的長(zhǎng).

分析 （1）由折疊得出∠AED=∠ACD，AE=AC，結(jié)合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，從而得出AB=AC，據(jù)此得證.

（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1.根據(jù)∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB=BHAB=13，據(jù)此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案.

解析 （1）略.

（2）如圖9，過A作AH⊥BE于點(diǎn)H.

因?yàn)锳B=AE，BE=2，所以BH=EH=1.

因?yàn)椤螦BE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=13，

所以cos∠ABE=cos∠ADB=13.

所以BHAB=13.

所以AC=AB=3.

因?yàn)椤螧AC=90°，AC=AB，所以BC=3 2.

評(píng)注 本題主要考查三角形的外接圓，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).

圓的證明與計(jì)算，難度大、綜合性強(qiáng)、涉及的知識(shí)面廣，是初中數(shù)學(xué)中最重要、最核心、縱向和橫向聯(lián)系規(guī)模最大的內(nèi)容之一.要解決好此類題目需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，較強(qiáng)的分析、推理能力，更需要抓住輔助線這個(gè)“金鑰匙”.

（收稿日期：2019-08-30）