巧建坐標(biāo)系　妙用解析法

安國釵　張正華

摘 要：某些非函數(shù)問題通過建立平面直角坐標(biāo)系，巧妙運用解析法可以得到有效的解決.本文從過定點問題、立方體展開圖、網(wǎng)格問題、方程不等式、程序框圖等幾個方面，分類例舉如何巧建坐標(biāo)系，有效地運用解析法，為解題提供新的途徑.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué);坐標(biāo)系;解析法

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是抽象、模型、對應(yīng)思想的主要載體，是高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ).函數(shù)也是數(shù)與形的自然載體，函數(shù)解析式有著代數(shù)的屬性，函數(shù)圖象和性質(zhì)又有著幾何屬性，在平面直角坐標(biāo)系中能實現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，某些非函數(shù)問題通過建立平面直角坐標(biāo)系，巧妙運用解析法可以得到有效的解決，在平時數(shù)學(xué)中值得關(guān)注.

1 幾何問題

1.1 過定點問題

例1 如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=6，D是斜邊AB的中點，過點D分別作BC，AC的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，點G是線段AD上一點，連結(jié)EG交線段DF于點P，且DP=1.

（1）求證：點G在以DF為直徑的圓上;

（2）若以DF為直徑的圓與線段GE相交于另一點M，求證：點M在線段BF上.

小州同學(xué)思考了幾分鐘后，有了這樣的思路：以點F為原點，AC所在直線為x軸，DF所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，把點G看成是直線EP與AB的交點.請根據(jù)小州同學(xué)的思路，完成這道題目.

解析 （1）如圖2，以點F為原點，AC所在的直線為x軸，DF所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，易證四邊形DFCE是矩形.

所以DE//AC，DF//BC.

因為D是AB的中點，

所以DE=DF=12×6=3.

由題意得，點D（0，3），B（3，6），E（3，3）.

因為PD=1，所以PF=2，所以P（0，2）.

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，把B（3，6）和D（0，3）代入得3k+b=6，b=3，解得k=1，b=3.

所以直線BD∶y=x+3.

同理得直線PE：y=13x+2.

則y=x+3，y=13x+2.解得x=-32，y=32.

可得點G（-32，32）.

以DF為直徑的圓的圓心Q坐標(biāo)為（0，32），半徑為32，所以QG=32.

所以點G在以DF為直徑的圓上.

（2）如圖3，易得直線BF∶y=2x，直線GE：y=13x+2，則y=2x，y=13x+2.解得x=65，y=125.

直線BF與直線GE的交點K的坐標(biāo)為（65，125），交點K到圓心的距離為32，即點K在圓上.

又因為點K在直線GE上，所以點K就是點M，可得點M在線段BF上.

評注 第（1）題證明點G在圓上，只要證明點G到圓心的距離等于半徑，若以點F為原點，AC所在直線為x軸，DF所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，那么很容易表示出點A，B，E，P的坐標(biāo)，從而求出直線AB及EP的解析式，再進一步得出直線AB及EP的交點G的坐標(biāo).而以DF為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑均易求，這樣問題得解;第（2）題以DF為直徑的圓的解析式到高中才學(xué)，因此我們可以另辟蹊徑，證明EG與BF的交點即為點M，于是問題就轉(zhuǎn)化為求直線GE和BF的解析式，得出其交點K的坐標(biāo)，再證明點K在圓上，于是點K就是點M.第（1）小題不用解析法也可得證，但第（2）小題不用解析法顯然有困難.本題是一個幾何證明題，如果沒有原題中的提示，解題思路很難形成，這就需要平時多加積累，獲取經(jīng)驗，要證明直線過定點，往往可以建立合適的坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)及直線解析式，驗證點的坐標(biāo)滿足解析式即可，幾何問題運用解析法，此題是比較典型的一例.

1.2 立方體展開圖問題

例2 操作：小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現(xiàn)選用一些廢棄的圓形紙片進行如下設(shè)計：

說明（如圖4）：方案一：圖形中的圓過點A，B，C;

方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經(jīng)過兩個正方形的頂點.

紙片利用率=紙片被利用的面積紙片的總面積×100%.

發(fā)現(xiàn)：（1）方案一中的點A，B恰好為該圓一直徑的兩個端點.你認(rèn)為小明的這個發(fā)現(xiàn)是否正確，請說明理由.

（2）小明通過計算，發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%.請幫忙計算方案二的利用率，并寫出求解過程.

探究：（3）小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進行了新的設(shè)計（方案三，如圖5），請直接寫出方案三的利用率.

解析 （2）如圖6建立坐標(biāo)系，可得E（2，3），F(xiàn)（4，2），得直線EF解折式為y=-12x+4.

所以A（0，4），B（8，0）.

即AC=4，BC=8，S△ABC=16.

所以該方案紙片利用率=616=37.5%.

（3）如圖7建立坐標(biāo)系，則直線AB經(jīng)過（-2，0），（-1，2），其解折式為y=2x+4;直線AC經(jīng)過（2，1），（0，2）， 其解折式為 y=-12x+2，直線BC經(jīng)過（2，0），（0，-1），其解折式為 y=12x-1.

直線AB，AC，BC兩兩交于點A（-45，125），B（-103，-83），C（3，12）.

作矩形剛好覆蓋△ABC，則S△ABC =S矩形-三個直角三角形的面積=36130，所以該方案紙片利用率=636130=49.9%.

評注 如果直接求直角三角形紙片的面積，需求兩直角邊長，純粹用幾何方法難度較大，特別是方案三，需添多條輔助線，反復(fù)利用相似三角形的判定與性質(zhì)定理才能求出兩直角邊長.不妨換種思路，注意正方體展開圖是六個小正方形，各內(nèi)角均為直角，而且方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點，因此聯(lián)想到若建立坐標(biāo)系的話，可表示出小正方形各頂點坐標(biāo)，從而各邊所在直線的解析式也可求出，聯(lián)立解析式組成方程組就可求得三角形各頂點坐標(biāo)，再把三角形面積轉(zhuǎn)化為矩形面積減去三個小直角三角面積，解起來可謂是水到渠成.立方體展開圖實際上也可以把它看成特殊的網(wǎng)格圖，依托直角建立平面直角坐標(biāo)系，由點的坐標(biāo)得出特定的橫向、縱向線段長度，進一步求出各圖形面積，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，綜合運用數(shù)形結(jié)合、化歸思想、函數(shù)思想等.

1.3 網(wǎng)格問題

例3 如圖8，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，E為格點，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點，C為AE，BF的延長線的交點.

（1）AE的長等于 ;

（2）若點P在線段AC上，點Q在線段BC上，且滿足AP=PQ=QB，請在如圖8所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PQ，并簡要說明點P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）.

解析 如圖9，以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，2），故直線AC解析式為y=2x;又點B（6，32），F(xiàn)（5，72），故直線BC解析式為 y=-2x +272.

由點P在AC上，點Q在BC上，可設(shè)P（m，2m），Q（n，-2n+272），則AP=m2+（2m）2=5m，BQ=（6-n）2+4（6-n）2=5（6-n），.

由AP=BQ，得5m=5（6-n）.

所以m+n=6.

又PQ2=（m-n）2+（2m+2n-272）2=（2m-6）2+94， 因為AP2=PQ2，所以5m2=（2m-6）2+94.解得m1=32，m2=-512（舍去）.

所以n=92，可得P（32，3），Q（92，92 ）.

所以點P是直線 y =3與AC的交點，點Q是直線 y=x與BC的交點.

評注 這是網(wǎng)格中的作圖題，學(xué)生從對圖形的直觀感知可以知道點P，Q的大概位置，但若用無刻度的直尺找到點P，Q的準(zhǔn)確位置，有較大的難度，如果純粹用幾何方法，基本圖形不易構(gòu)造，自然也就“疑無路”了.若借助于網(wǎng)格所提供的橫縱線之間的關(guān)系，我們可以很方便地以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，這下“柳暗花明”了，直接求出直線AC和BC的解析式，設(shè)點P和點Q的坐標(biāo)為未知數(shù)，根據(jù)AP=PQ=QB等量關(guān)系列出方程，從而確定點P，Q的坐標(biāo)及其位置.網(wǎng)格問題中，由于網(wǎng)格自身的位置及數(shù)量的特殊性，使得圖形中存在一些特殊關(guān)系，如果在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，進而可以使圖形的一般幾何性質(zhì)得以特殊化和數(shù)量化，用解析法確定點的位置、直線的位置關(guān)系等等.

有些題目如果借助幾何直觀圖形未能找到解題途徑，不妨換個視角思考.以上幾個題目利用幾何圖形的特殊性質(zhì)（都含有直角）建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法都很順暢地解決了.數(shù)學(xué)試題的設(shè)計常常會將幾何問題結(jié)合平面直角坐標(biāo)系融入數(shù)形結(jié)合思想，從數(shù)、形兩方面合作研究幾何問題.章建躍指出，“用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運算的定量結(jié)果，這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，坐標(biāo)法、函數(shù)與圖象等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物”，在解題教學(xué)過程中，我們不但要有扎實的雙基，豐富的解題經(jīng)驗，而且還要有思維的靈活性和變通性.

在平時的教學(xué)中關(guān)注運用解析法解幾何問題，在幾何圖形基礎(chǔ)上建立直角坐標(biāo)系后再思考會有意想不到的收獲.

2 代數(shù)問題

2.1 方程不等式問題

例4 “如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”.請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m，n（m

A.m

C.m

解析 依題意，畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）的圖象，如圖10所示.

函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為a，b（a

方程1-（x-a）（x-b）=0轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=1，方程的兩根是拋物線y=（x-a）（x-b）與直線y=1的兩個交點的橫坐標(biāo).

由m

由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，則有m

在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，則有b

綜上所述，可知m

評注 本題表面上是一個一元二次方程問題，但可以運用二次函數(shù)的知識，借助函數(shù)y=（x-a）（x-b）草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了復(fù)雜的計算，以形解數(shù)，把數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮得淋漓盡致.本題關(guān)鍵還是在于構(gòu)造二次函數(shù)，其圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的一元二次方程（x-a）（x-b）=0的解，而圖象與直線y=1的交點橫坐標(biāo)就是題中方程的解.二次方程、不等式都與函數(shù)有密切的聯(lián)系，我們可以充分運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造二次函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理，并且力求充分利用函數(shù)圖象特征、數(shù)學(xué)方法，靈活調(diào)動知識技能，創(chuàng)立獨特的優(yōu)秀解法.

2.2 程序框圖問題

例5 如圖11，是一個運算流程.

（1）分別計算：當(dāng)x=150時，輸出值為，當(dāng)x=27時，輸出值為;

（2）若需要經(jīng)過兩次運算，才能運算出y，求x的取值范圍;

（3）請給出一個x的值，使之無論運算多少次都不能輸出，并請說明理由

解析 （1）直接計算得，當(dāng)x=150時，輸出值為449;當(dāng)x=27時，經(jīng)過三次運算，輸出值為716.

（2）應(yīng)該滿足3x-1<365且 3（3x-1）-1≥365，第一個式子保證第一次不輸出，第二個式子保證第二次的運算結(jié)果大于等于365，解得41≤x<122.

（3）x≤0.5即可.

評注 此題中程序框圖是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)運算結(jié)果小于365時，程序會循環(huán)進入下一次運算，并且上一次的運算結(jié)果會自動成為下次的x的輸入值，直至運算結(jié)果不小于365，才會輸出.當(dāng)然這個程序也有可能會進入“死循環(huán)”，即運算結(jié)果永遠(yuǎn)都會小于365，如當(dāng)3x-1=x，即x=05時，總有y=0.5，這時程序無論運算多少次都不能輸出.

對于第（3）小題，能否給出確切的x的范圍，使之無論運算多少次都不能輸出？我們可以用一種形象、具體的方法來求這個范圍.

程序框圖的運算其實就是求代數(shù)式3x-1的值，對于x的每一個確定的值，3x-1都有唯一確定的值與之對應(yīng)，因此可構(gòu)造一次函數(shù)y=3x-1，建立坐標(biāo)系，通過圖象法來解決.如圖12，先作出y=3x-1以及y=x的圖象，它們的交點為P（0.5，0.5）.不妨記第n次的輸入值為xn（n=1，2，3，…），相應(yīng)的第n次運算結(jié)果為yn，即yn=3xn-1，運算直至yn≥365，程序停止運行，輸出最終結(jié)果;或者yn<365，程序進入“死循環(huán)”，始終輸不出結(jié)果.由圖象知，當(dāng)x=0.5時，總是有y=0.5;當(dāng)x1>0.5時，yn會逐漸遞增，直至yn≥365輸出最終結(jié)果;當(dāng)x1<0.5時，yn會逐漸遞減，這樣yn恒小于365，程序進入“死循環(huán)”，始終輸不出結(jié)果.綜上所述，當(dāng)x≤0.5時，此程序無論運算多少次都不能輸出.

利用函數(shù)圖象解決此代數(shù)式問題，非常形象直觀！正如章建躍所說，“代數(shù)運算的過程和方法可以容易地發(fā)展成高層次函數(shù)觀點”.

函數(shù)是方程、不等式的一般化，方程、不等式可以看成是函數(shù)關(guān)系中的特例.函數(shù)可看成是一個動態(tài)的過程，而方程、不等式是其中一般變化過程或某個靜態(tài)瞬間.函數(shù)是用運動的觀點來研究數(shù)，是數(shù)之間對應(yīng)的變化關(guān)系，式子的值隨其所包含字母的值的變化而變化，函數(shù)正是這一變化關(guān)系的符號化表示.因此，構(gòu)造函數(shù)解答有關(guān)代數(shù)式、方程及不等式的問題也是比較自然且有效的一種解法.

3 結(jié)束語

德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識是一個不可分割的有機整體，它的生命力取決于各部分之間的聯(lián)系.借助于數(shù)軸及平面直角系，數(shù)量關(guān)系可以通過圖形得以直觀，而圖形關(guān)系可以通過數(shù)量關(guān)系得以精細(xì)刻畫.正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”初中數(shù)學(xué)主要有四個模塊，即代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計，圖形與幾何密不可分，而幾何與代數(shù)又緊密相通，坐標(biāo)就成了這三者之間溝通的橋梁.有些代數(shù)與幾何題看似與函數(shù)不沾邊，但如果能對函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)了然于胸，當(dāng)積累了一定經(jīng)驗后，解析法也就自然生成.事實上，解析法也體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中所說的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的“三用”，坐標(biāo)和圖形本身即是數(shù)形結(jié)合，這是抽象思維，是用數(shù)學(xué)的眼光看世界;坐標(biāo)系中的圖形需通過邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)結(jié)論，是用數(shù)學(xué)的思維思考世界;而在一個變化過程中抽象出函數(shù)模型，建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系，是用數(shù)學(xué)的語言表達世界.因此，解析法的巧妙運用不但為解題提供了一種新的途徑，而且對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升也具有重要意義.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]段廣猛.對一道程序框圖題的解法探究——程序框圖題下的“蛛網(wǎng)模型”[J] .中國數(shù)學(xué)教育，2016（23）：50-53.

[3]陳德前，王朝珍.利用典型考題 提高復(fù)習(xí)效率[J] .中國數(shù)學(xué)教育，2017（07）：12-16.

（收稿日期：2019-08-29）