有關三角形面積問題的探索

張繼德

摘 要：求三角形面積以及利用三角形面積解決初中數(shù)學問題，是初中生數(shù)學學習中的一項技能.運用得好能事半功倍.本文探討了求三角形面積的方法，以及如何解決初中數(shù)學中有關三角形問題.

關鍵詞：三角形; 面積;問題

在平面幾何中，多邊形的面積都可以轉化成若干個三角形面積的和與差.因此，研究多邊形的面積，必須研究三角形的面積.在小學數(shù)學求三角形面積的基礎上，初中數(shù)學對三角形面積進行了拓展和延伸，增加了一些方法，多了一些應用.

1 運用公式解決三角形面積的有關問題

三角形的面積公式是S=12ah，a是三角形的一邊，h是這邊上的高.初中數(shù)學中，直接求三角形的面積已經沒有思維價值.更多的是已知面積和底，求高;或者已知面積和高，求底.

例1 一次函數(shù)y=2x+b與兩條坐標軸圍成的三角形的面積是9，求b的值.

分析 解決這個問題，先求出一次函數(shù)與兩坐標軸的交點坐標（0，b），（-12b，0），利用三角形面積公式列出方程，12 ·|-12b |·|b|=9，解得b=±6.

2 巧用數(shù)學技能解決三角形面積的有關問題

2.1 利用三角形中線

三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，利用這一結論可以解決一些有關三角形面積的問題.

例2 如圖1，已知AD，BE是△ABC的中線，且AD與BE交于點G，四邊形CDGE的面積是7cm2，求△ABC的面積.

分析 初看上去，四邊形CDGE與△ABC好像沒有什么關系，但仔細分析會發(fā)現(xiàn)：正是通過中線把它們的面積聯(lián)系起來.

如圖2，連接GC，四邊形CDGE被分成了兩個三角形：△CDG，△CEG.由于點D，E分別是線段BC，AC的中點，所以S△BDG=S△CDG， S△AEG = S△CEG.可以求出S△BDG+ S△AEG =S△CDG+ S△CEG= S四邊形CDGE=7cm2，再利用S△ABG+ S△AEG =S四邊形CDGE+ S△AEG=12S△ABC，可以求出S△ABG=S四邊形CDGE=7cm2.至此，可求出△ABC的面積是21cm2.

2.2 利用平行線

等底等高的三角形面積相等，利用平行線構造一個與原三角形面積相等的三角形，從而使問題得以解決.

例3 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的C，D兩點都在x軸上.BD的延長線交y軸于點E，反比例函數(shù)y=kx經過點A，△CDE的面積是5，求k的值.

分析 反比例函數(shù)中的k，其幾何意義是：過反比例函數(shù)圖象上任一點作坐標軸的垂線，兩條垂線及坐標軸圍成的矩形面積就是|k|;若過反比例函數(shù)圖象上任一點只作一條坐標軸的垂線，連接原點和該點，所圍成的三角形面積是12|k|.

本題中，若連接OB，OA，則根據等底等高的三角形面積相等，有S△OBC=S△EBC，S△ODA=S△ODB.所以S△OBC-S△DBC=S△EBC-S△DBC.即S△ODB=S△CDE=5.所以S△ODA =5.從而得到k=10.

2.3 利用割補法

割補法是求三角形面積常用的方法，特別是在網格圖和由網格圖引申的平面直角坐標系中.用一個較大的長方形去覆蓋整個三角形，求出該長方形的面積，減去長方形以內三角形以外的部分，就可以求出三角形的面積.這種方法也適用于求其他多邊形的面積.

還可以利用平移、旋轉、相似等圖形的變換解決三角形面積的有關問題.

例4 如圖5，拋物線C1∶y=12x2經過平移得到拋物線C2∶y=12x2+2x，拋物線C2的對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積是.

分析 這是一個不規(guī)則圖形.如圖6，連接OA，將線段OA與拋物線圍成的封閉圖形“割下”，旋轉一下，補到OB的位置，則原不規(guī)則的圖形的面積與△OBC的面積是相等的.本題中先根據C2的解析式求出其對稱軸x=-2，求出點A，B的坐標為（-2，-2），（-2，2）.從而求出陰影部分面積=S△OAB=4.

3 在動態(tài)幾何中求三角形面積

動態(tài)幾何中，三角形的面積實際是自變量的函數(shù).解決這類問題，應進行分類討論.

例5 如圖7，等腰Rt△ABC和正方形DEFG都在直線MN上，且點C與點G重合，AB=DE=10cm.△ABC以2cm/s的速度向右移動，直到AB與EF重合為止.設運動時間為x，△ABC與正方形DEFG重合部分的面積為y，寫出y與x之間的函數(shù)關系式.

分析 如圖8和9，分兩種情況進行討論：AB與DG重合前（含重合），即0≤x≤5;AB與DG重合后至結束，即5

第一種情況下，重疊部分是等腰Rt△CGH，其中CG=HG=2x，因此y=2x2;

第二種情況下，重疊部分是梯形ABFK，其中AB=10，KF=CF=2x-10， y=50-12（2x-10）2.

綜上所述，y=2x-10，0≤x≤5，50-12（2x-10）2，5

4 在函數(shù)中求三角形面積的最大值

三角形的底一定時，高越大面積越大;三角形的高一定時，底越大面積越大.三角形的底和高都不確定，只存在一種函數(shù)關系，那么就要用函數(shù)解決.解決這類問題，通常用二次函數(shù)的最大（或?。┲祦砜紤].

例6 如圖10，對稱軸為直線x=12的拋物線經過B（2，0），C（0，4）兩點，點P為第一象限內拋物線上的一點，設△CBP的面積為S，求S的最大值.

分析 根據已知條件，可得拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4;直線BC的解析式為y=-2x+4.

點P是動點，所以△CBP的面積是關于點P橫坐標的函數(shù).如圖11作PD⊥x軸，交BC于點Q，則S=

S△CBP=S△CQP+S△QBP=12PQ·OD+12PQ·DB=12PQ·OB=PQ.

可見，求S的最大值就等于求PQ的最大值.設點P的橫坐標為t，則點P坐標為（t，-2t2+2t+4），點Q坐標為（t，-2t+4）.PQ=（-2t2+2t+4）-（-2t+4）=-2t2+4t.根據二次函數(shù)的性質，求出PQ的最大值為2.因此S的最大值也為2.

（收稿日期：2019-08-30）