2019年宿遷市中考數(shù)學(xué)第18題的解法與變式

馬先龍

摘 要：本文給出一道中考數(shù)學(xué)填空壓軸題的兩種解法，并進行變式訓(xùn)練，旨在進一步理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)思維的靈活性、廣闊性和創(chuàng)造性，提升研究問題的思維能力.

關(guān)鍵詞：中考題;解法;變式

2019年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)第18題（填空壓軸題）是一道匠心獨運，以正方形和變化中的等邊三角形為背景，考查線段最小值問題的一道綜合題.本文給出此題的兩種解法，并進行變式訓(xùn)練.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2019年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)第18題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點E為BC邊上一點，且BE=1，點F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為.

2 試題解析

2.1 等線段代換法+垂線段法

解法1 如圖1，以CE為邊在正方形ABCD的內(nèi)部作等邊△CEH，連接FH.

因為△CEH是等邊三角形，所以EH=EC=CH，∠HEC=60°.

因為△EFG是等邊三角形，所以FE=GE=FG，∠FEG=60°.

所以∠FEG+∠GEH=∠HEC+∠GEH.

所以∠FEH=∠GEC.

在△FEH和△GEC中，F(xiàn)E=GE，∠FEH=∠GEC，EH=EC，

所以△FEH≌△GEC（SAS）.

所以HF=CG.

過點H作HM⊥AB于點M，根據(jù)“垂線段最短”，知HM就是HF的最小值，也就是CG的最小值.

過點H作HN⊥BC于點N，則∠HNB=∠B=∠HMB=90°.

所以四邊形BMHN是矩形.

所以HM=BN.

在∠CEH中，因為EH=CH，HN⊥BC，

所以EN=12EC .

因為BC=4，BE=1，所以EC=3.

所以EN=32.

所以BN=BE+EN=52.

所以HM=52.

所以CG的最小值為52.

2.2 動點軌跡探究法+垂線段法

解法2 如圖2，作△EFG的外接圓⊙O，設(shè)⊙O與AB相交于點H，連接EH，GH，則∠FHG=∠FEG=60°，∠EHG=∠EFG=60°.

所以∠BHE=180°-60°×2=60°.

所以H是定點，點G在直線HG上運動.

過點C作CP⊥MH于點P，根據(jù)“垂線段最短”，知CP就是CG的最小值.

延長GH，CB相交于點M， 則∠MHB=∠FHG=60°.

又∠HBM=90°，所以∠M=30°.

在Rt△BEH中，∠HBE=90°，∠BHE=60°，BE=1，所以BH=33，BM=1.

所以CM=BC+BM=4+1=5.

在Rt△CMP中，∠CPM=90°，∠M=30°，CM=5，所以CP=12CM=52 .

所以CG的最小值為52.

以上給出了兩種常見的解法，可以有效地對不同思維能力水平的學(xué)生加以區(qū)分，選擇適合自己的解法.

如圖1，“等線段代換法+垂線段法”是先巧妙地構(gòu)造與△EFG共頂點的等邊△CEH之后，構(gòu)造全等三角形，順利得到△FEH≌△GEC，進而證得HF=CG，達到了等線段代換的目的.接下來，自然會想到通過作垂線段 ，利用“垂線段最短”求HF的最小值，從而得到CG的最小值.這種解法，對于熟悉特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì)，善于構(gòu)圖，善于運用全等三角形知識解題的同學(xué)，應(yīng)是一種不錯的選擇.

如圖2，“動點軌跡法+垂線段法”是先巧妙地構(gòu)造△EFG的外接圓，盯住⊙O與正方形ABCD邊AB的交點H，利用同弧所對的圓周角相等，得到∠FHG=∠EHG=60°，進而得到∠BHE=60°，之后，順水推舟，推出點H是定點，斷定點G一定在直線HG上運動.接下來，自然會想到通過作垂線段CP求CG的最小值.這種解法，對于熟悉特殊三角形、特殊四邊形以及圓的性質(zhì)，善于構(gòu)圖，善于探究動點軌跡解題的同學(xué)，應(yīng)是一種不錯的選擇.

總之，這兩種解法構(gòu)圖巧妙，技巧性強，對學(xué)生的思維提出了挑戰(zhàn).

3 試題變式

不失時機地進行變式訓(xùn)練，可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[1]，進一步理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性，提升研究問題的思維能力，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂感和成功感.

變式1 如圖3，正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，且BE=1，點F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等腰Rt△EFG，其中GE=GF，∠EGF=90°，連接CG，則CG的最小值為.

解析 不妨選擇“動點軌跡法+垂線段法”.如圖3，連接AC，BD，設(shè)AC，BD相交于點O ，則CO⊥BD，CO=12AC.

因為正方形ABCD的邊長為4，所以AC=4 2.

所以CO=2 2.

過點G作GM⊥BC于點M，作GN⊥AB于點N，則∠GNB=∠GNF=90°，∠GMB=90°.

又∠MBN=90°，所以∠MGN=360°-90°×3=90°.

所以∠EGM+∠NGE=90°.

又∠FGN+∠NGE=90°，所以∠FGN=∠EGM.

在△FGN和∠EGM中，∠FGN=∠EGM，∠GNF=∠GME=90°，GF=GE，

所以△FGN≌△EGM（AAS）.

所以GN=GM.

所以動點G在∠ABC的平分線BD上運動.

因為CO⊥BD，所以CG的最小值為CO.

所以CG的最小值為2 2.

變式2 如圖4，正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，且BE=1，點F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等腰Rt△EFG，其中EF=FG，∠EFG=90°，連接CG，則CG的最小值為.

解析 不妨選擇“動點軌跡法+垂線段法”.如圖4，過點G作GH⊥AB于點H，則∠GHF=90°.

所以∠FGH+∠HFG=90°.

又∠EFG=90°，所以∠EFB+∠HFG=90°.

所以∠FGH=∠EFB.

在△FGH和△EFB中，∠FGH=∠EFB，∠GHF=∠B=90°，GF=EF，

所以△FGH≌△EFB（AAS）.

所以HG=BF，HF=BE.

設(shè)當(dāng)點F與點B重合時，點G與AB邊上的點M重合，則MB=BE=1.

所以HF=BM.

所以HM=BF.

又HG=BF，所以HM=HG.

所以∠HMG=∠HGM.

又因為∠GHM=90°，所以∠HMG=∠HGM=45°.

延長MG與AD相交于點N，所以∠ANM=∠AMN=45°.

所以AN=AM=3.

所以點G在直線MN上運動.

過點C作CR⊥MN于點R，根據(jù)“垂線段最短”，知CR就是CG的最小值.

分別延長MN，CD相交于點P，則∠P=∠PND=45°，所以DP=DN=1.

在Rt△CPR中，∠CRP=90°，∠P=45°，CP=4+1=5，所以CR=22CP=5 22.

所以CG的最小值為5 22.

變式3 如圖5，正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，且BE=1，點F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作正方形EFHG，連接CG，則CG的最小值為.

解析 不妨選擇“動點軌跡法+垂線段法”.如圖5，過點G作GG′⊥BC于點G′，則∠GG′E=90°.

因為四邊形EFHG是正方形，所以EG=FE，∠FEG=90°.

所以∠G′EG+∠FEB=90°.

又因為∠B=90°，所以∠FEB+∠BFE=90°.

所以∠G′EG=∠BFE.

在△GEG′和△EFB中，∠G′EG=∠BFE，∠GG′E=∠B=90°，EG=FE，

所以△GEG′≌△EFB（AAS）.

所以GG′=BE=1.

所以點G在與BC平行且與BC距離為1的直線MN上運動.設(shè)MN與CD相交于點P，則四邊形GG′CP是矩形.

所以CP⊥MN，CP=1，根據(jù)“垂線段最短”，知CG的最小值為1.

通過這三種變式訓(xùn)練，可以進一步鞏固用動點軌跡法求線段長的最小值，鞏固直角三角形、等腰三角形、正方形的有關(guān)性質(zhì)、判定，鞏固全等三角形的判定和性質(zhì)，培養(yǎng)探究動點軌跡的能力，感受建模、構(gòu)造、化歸等數(shù)學(xué)思想方法[2]的運用，解一題，會一類，通一片.

當(dāng)然，此道中考題除了本文給出的兩種解法之外，還可用旋轉(zhuǎn)法+垂線段法、解析法、函數(shù)最值法等方法求解.此外，變式訓(xùn)練也不止這些，更多的解法和變式，留給讀者.

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

[2]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

（收稿日期：2019-09-06）