基于案例分析的初中數(shù)學(xué)幾何基本圖形的教學(xué)探索

顧成華

【摘 要】 筆者基于數(shù)年的教學(xué)實(shí)踐，以勾股定理與翻折的基本圖形——紅旗模型為例，探索如何指導(dǎo)學(xué)生習(xí)得基本圖形并教會(huì)學(xué)生直接或間接提取基本圖形，最終運(yùn)用基本圖形解決問(wèn)題的教學(xué)思路。

【關(guān)鍵詞】 幾何；基本圖形；解題思路

在進(jìn)行幾何教學(xué)過(guò)程中，常會(huì)發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生面對(duì)一些陌生的問(wèn)題時(shí)往往束手無(wú)策，也有不少學(xué)生只會(huì)做那些剛見(jiàn)過(guò)、做過(guò)的，比較熟悉或相似的題目。當(dāng)學(xué)生不會(huì)做題時(shí)，問(wèn)他在思考時(shí)都想到了什么，他往往會(huì)回答：“大腦中一片空白，不知道怎樣想?！睂W(xué)生提煉不出解題思路的根本原因，筆者以為是學(xué)生不能把問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化，是缺乏分析推理能力的表現(xiàn)，究其原因，是對(duì)數(shù)學(xué)基本圖形不熟悉。教師需要在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地幫助學(xué)生提煉基本圖形，強(qiáng)化訓(xùn)練基本圖形。教師應(yīng)告訴學(xué)生：在分析幾何問(wèn)題時(shí)，首先要試圖找出、分離適當(dāng)?shù)幕緢D形，如果不能找到完整的基本圖形，那么要根據(jù)題干中的線索去捕捉部分基本圖形，這時(shí)可通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線來(lái)構(gòu)造完整的基本圖形，進(jìn)而應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)來(lái)解決具體的問(wèn)題。顯然，學(xué)生習(xí)得、提取基本圖形的能力還有待提高。

一、基本圖形的概念

所謂基本圖形，應(yīng)該是我們分析解決幾何問(wèn)題時(shí)，從問(wèn)題圖形中分離出來(lái)的最簡(jiǎn)單、最基本、最重要而且具有特定性質(zhì)的圖形。從基本圖形運(yùn)用的難易程度來(lái)看，它可以分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的定義、公理、定理以及推論所對(duì)應(yīng)的圖形，第二類(lèi)是在教材對(duì)應(yīng)的例題、習(xí)題、練習(xí)中發(fā)現(xiàn)的具有典型性的圖形。第一類(lèi)基本圖形是第二類(lèi)基本圖形的基礎(chǔ)，第二類(lèi)基本圖形通常是由幾個(gè)第一類(lèi)基本圖形組合而成的。

圖1是定理“三角形中位線平行于第三條邊，并且等于第三邊的一半”所對(duì)應(yīng)的基本圖形，屬于第1類(lèi)基本圖形，圖2是“中點(diǎn)四邊形”所對(duì)應(yīng)的基本圖形，由對(duì)角線相等可得中點(diǎn)四邊形是菱形，由對(duì)角線互相垂直可得中點(diǎn)四邊形是矩形，反推亦成立，這就屬于第2類(lèi)基本圖形。

二、初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中對(duì)于基本圖形教學(xué)的幾點(diǎn)思考

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求是讓學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”?；诙嗄甑慕虒W(xué)實(shí)踐及平日的探索，筆者以為，應(yīng)把習(xí)得基本圖形、直接提取基本圖形、間接提取基本圖形相結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)基本圖形的掌握和靈活運(yùn)用，這可通過(guò)以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：

1.通過(guò)教學(xué)習(xí)得基本圖形，熟知基本圖形的條件和結(jié)論以及證明或求解的方法

教材中幾何的復(fù)習(xí)課一般都是幾何的定義、定理、推論等的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，往往可以對(duì)已經(jīng)習(xí)得的知識(shí)進(jìn)行更高層次的升華，而它們所對(duì)應(yīng)的基本圖形就是前面所說(shuō)的第2類(lèi)基本圖形，因此教師在上課時(shí)要注重對(duì)這些基本圖形的總結(jié)和提煉。

答案是都可以求出來(lái)的，因此，可以得到這個(gè)基本圖形的條件是：直角三角形，兩條線段相等，知道兩條線段的長(zhǎng)度（不包括題中兩條相等線段的情況），可以求出基本圖形中其他線段的長(zhǎng)度。

這是勾股定理和翻折構(gòu)成的基本圖形，屬于第2類(lèi)基本圖形，由于此圖形形狀類(lèi)似于紅旗，為了方便學(xué)生記憶，遂把這個(gè)基本圖形定名為“紅旗模型”。

紅旗模型還有一些其他結(jié)構(gòu)，比如《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B（如圖4）水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？

本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖5，已知∠CBD=90°，AC=CD，AB=0.5，BD=2，求BC的長(zhǎng)度。

再比如：如圖6，∠ACB=90°，BC=BD，已知AD和AC的長(zhǎng)度，可以求BD，BC，AB的長(zhǎng)度。這兩道題都可以進(jìn)行類(lèi)似的改編，解題方法也都和圖3類(lèi)似。

2.通過(guò)發(fā)展條件和結(jié)論反推，直接提取基本圖形解決問(wèn)題。

所謂直接提取基本圖形，就是在有其他圖形干擾的情況下，能夠根據(jù)條件或結(jié)論找出基本圖形。因?yàn)橥ㄟ^(guò)學(xué)習(xí)已經(jīng)對(duì)某個(gè)基本圖形有所了解和理解，學(xué)生就能有的放矢，直接依據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論提取相應(yīng)的基本圖形，并運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題，例如：

如圖7，折疊直角三角形ABC，使直角邊AC落在斜邊AB上（AD為折痕，C落在E上），已知AC=6，BC=8，求CD的長(zhǎng)。

解答：由勾股定理易得AB=10，BE=4，由翻折得CD=DE，故可以找到如圖8的基本圖形，即可求出答案。

變式：如圖9，折疊直角三角形ABC，使點(diǎn)B落在點(diǎn)A上（DE為折痕），已知AC=6，BC=8，求CD的長(zhǎng)。

解答：可在圖形中直接找到基本圖形，如圖10，大多數(shù)學(xué)生都可以又快又準(zhǔn)確地完成這道題。

3.通過(guò)添加適當(dāng)輔助線，間接提取基本圖形解決問(wèn)題

如果無(wú)法直接提取基本圖形，可考慮作適當(dāng)?shù)妮o助線來(lái)構(gòu)造基本圖形，通過(guò)間接提取基本圖形來(lái)解決問(wèn)題。在學(xué)生極其熟悉基本圖形，能夠準(zhǔn)確提取后，就要引導(dǎo)學(xué)生能辨認(rèn)出略帶殘缺的基本圖形，經(jīng)過(guò)多樣的反復(fù)訓(xùn)練后，使其內(nèi)化成為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并能在應(yīng)用過(guò)程中舉一反三。

筆者挑選了幾個(gè)典型的題目，結(jié)合自己的教學(xué)心得，談?wù)勥@個(gè)解題技巧，以作參考。

例1：如圖11，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)A在y軸正半軸上，連接AC，將矩形OABC沿AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_________。

解答：設(shè)CO與AD相交于點(diǎn)E，折疊后CD=CB=OA=1，由平行線、角平分線構(gòu)成的基本圖形可得等腰三角形ACE，再設(shè)CE=AE=x，在Rt△AOE中，由勾股定理求出x的值，然后作DF⊥x軸，根據(jù)△AOE∽△DFE即可得出答案。

評(píng)注：本題是利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例建立方程求解，困難之處在于比例式中有部分線段長(zhǎng)度未知，通過(guò)翻折構(gòu)造紅旗模型，如圖12，則可化解這一難點(diǎn)。

例2：如圖13，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5。在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK。如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值。

解答：（1）將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，如圖14。此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合，由平行線、角平分線構(gòu)成的基本圖形可得等腰三角形DMN，再設(shè)KM=x，則AM=5-x，由勾股定理求出KM和KN的值，最后求出△MNK的最大面積。（2）也可將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，如圖15，下面的解法和第（1）種情況相類(lèi)似。

評(píng)注：?jiǎn)栴}中，兩種翻折情況均是先畫(huà)出翻折后的圖形，通過(guò)構(gòu)造基本圖形——紅旗模型求出KN的長(zhǎng)，再借助求KN的最大值求出△MNK面積的最大值。

筆者僅以勾股定理與翻折的基本圖形“紅旗模型”這一基本圖形為例，探索了如何教會(huì)學(xué)生習(xí)得基本圖形、直接提取基本圖形、間接提取基本圖形，最終解決問(wèn)題的教學(xué)思路，也試圖以此拋磚引玉，與其他同仁探討基本圖形的教學(xué)策略，完善基本圖形分析法，讓我們的課堂教學(xué)更高效，讓學(xué)生的解題能力更高強(qiáng)，以達(dá)到雙贏的結(jié)果。