小題大做　方見精髓

朱記松　陳俊國

1 原題呈現(xiàn)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是（）.

A.0B.4C.6D.8

2 試題解析

分析1 從幾何的角度，需充分發(fā)揮直觀想象和邏輯推理，依據(jù)圖形的對稱性，首先要判斷正方形一邊上的點到E，F(xiàn)兩點的距離之和的最小值與9的大小關系：（1）若點到E，F(xiàn)兩點的距離之和的最小值小于9，而線段的兩端點到E，F(xiàn)兩點的距離之和大于9，則有2個滿足條件的點;（2）若點到E，F(xiàn)兩點的距離之和的最小值等于9，則有1個滿足條件的點;（3）若點到E，F(xiàn)兩點的距離之和的最小值大于9，則沒有滿足條件的點.

解法1 以AD邊為例.如圖2，作點E關于直線AD的對稱點E′，連接E′F交AD于點M，連接EM，在AD上任取點P1（異于點M），連接E′P1、EP1，由軸對稱可知：E′M=EM，E′P1=EP1，在△P1E′F中，E′P1+P1F>E′F，即E′P1+P1F>E′M+MF，即：EP1+P1F>EM+MF，所以當點P與點M重合時，PE+PF取最小值，為線段E′F的長.

因為AC為正方形ABCD的對角線，所以∠DAC=45°，因為AE、AE′關于直線AD軸對稱，所以∠E′AC=90°，AE′=AE=4，所以E′F=42+82=45<9.

如圖3，易知AE+AF=4+8=12>9，過點D作DN⊥AC于點N，因為△ADC是等腰直角三角形，則點N是斜邊AC的中點，所以AN=CN=DN=122=6，又因為AE=CF=4，所以EN=FN=122-4=2，所以DE=DF=22+62=210，所以DE+DF=410>9.圖3圖4

如圖4，在線段MD上任取兩點P2，P3，滿足點P3在P2的右邊，連接E′P2，F(xiàn)P2，E′P3，F(xiàn)P3，延長E′P2交FP3于點K，在△P3E′K中，E′P3+P3K>E′K，即E′P3+P3K>E′P2+P2K，在△P2KF中，P2K+FK>P2F，則E′P3+P3K+P2K+FK>E′P2+P2K+P2F，即E′P3+P3F>E′P2+P2F，所以EP3+P3F>EP2+P2F，故當點P從點M逐漸向點D運動的過程中，PE+PF逐漸增大，同理可證，故當點P從點M逐漸向點A運動的過程中，PE+PF也逐漸增大.

綜上所述，在線段AM和MD上，均有且只有一個點到E、F的距離之和為9，則在邊AD上有且只有兩個點到E、F的距離之和為9，則由圖形的對稱性知滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是8.

分析2 從代數(shù)的角度，應強調(diào)數(shù)學運算，需建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將正方形邊上滿足條件PE+PF=9的點P個數(shù)的問題等價轉(zhuǎn)化成探究對應方程解的個數(shù)問題.

解法2 建立如圖5所示的平面直角坐標系xOy，分別過E，F(xiàn)作x軸的垂線，垂足分別為G，H，則AB∥EG∥FH∥CD.圖5

因為點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC=12，所以BG=GH=HC=22.

故得點E（22，42），F(xiàn)（42，22），在線段BC上取點P（x，0）（0≤x≤62），由PE+PF=9得：

（x-22）2+（0-42）2+（x-42）2+（0-22）2=9.（1）

則x2-42x+40+x2-82x+40=9，整理得292x2-1 9442x+6 399=0，解得：x1=4862+965146≈5.2<62，x2=4862-965146≈4.2<62（計算根的判別式的值也可）.故方程（1）在0≤x≤62的條件下有兩個不相等的實數(shù)解，則在線段BC上滿足PE+PF=9的點P有2個，它們的坐標分別是（4862+965146，0），（4862-965146，0），再由圖形的對稱性得出正方形的四邊上滿足上述條件的點P有8個.

3 試題欣賞

3.1 關注核心知識

作為選擇題的壓軸題，承載著試卷的選拔功能.本題以正方形為命題背景，著重考查正方形的性質(zhì)、軸對稱和中心對稱、三角形的三邊關系、定理“兩點之間線段最短”、勾股定理等知識點，具有很強的綜合性，該題題設簡約，但求解并不簡單.

3.2 關注核心素養(yǎng)

考生普遍反映該題很難，有部分考生是通過猜想得出結(jié)果，其過程大致如下：因為正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，因此，滿足條件的P的個數(shù)一定是4的倍數(shù)，故可以排除選項C;通過計算發(fā)現(xiàn)點P到E，F(xiàn)兩點的距離之和的最小值小于9（即ME+MF=E′F=45<9），而線段的兩端點A、D到E，F(xiàn)兩點的距離之和均大于9，由此猜想：在線段AM和MD上，均有一個點到E、F的距離之和為9，則在邊AD上有兩個點到E、F的距離之和為9，則由圖形的對稱性知滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是8.

筆者認為，從應試的角度而言，運用數(shù)學猜想得出試題答案是明智的，而從數(shù)學嚴謹性的角度，我們需將對數(shù)學問題的感性認識上升到理性認識，學習數(shù)學需要理性精神，理性精神的最好體現(xiàn)就是推理、論證，在解答本道題的過程中需要理性地思考兩個問題：（1）為什么當點P在線段AD上的點M處時一定會有PE+PF最?。浚?）為什么在線段AM、MD上各只存在一個點P使PE+PF=9，而不是多個？這種理性的思考充分地體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)之邏輯推理的重要性.

筆者從幾何的角度給出了解法1，也從代數(shù)的角度給出了解法2，解法1強調(diào)直觀想象和邏輯推理，而解法2將探究滿足條件的點P的個數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次方程根的個數(shù)，雖運算量偏大，但構(gòu)思巧妙.其實，數(shù)學學習既離不開數(shù)學思維，也離不開數(shù)學運算，而數(shù)學運算也是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一.

3.3 關注基本圖形

在解法1中涉及到兩個基本模型：（1）“將軍飲馬”模型——在定直線的同側(cè)有兩定點，要求在定直線上找一點，使得它與兩定點的距離之和最小;（2）點P是△ABC內(nèi)一點，連接BP、PC，則AB+AC>PB+PC.如果考生能巧妙地運用這兩個模型，那么就能有效提高解題速度，增強考試信心.4 教學啟示

在今后的教學過程中，教師應積極引導學生領略數(shù)學精髓，發(fā)展核心素養(yǎng).要注意做到：（1）在重視基本知識、基本數(shù)學思想的同時，教師要積極引導學生注重對數(shù)學問題的感性認識和理性認知，感性認識往往是對數(shù)學問題的歸納，類比等，即合情推理.而理性認知需注重數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.對數(shù)學問題的感性認識就是數(shù)學直覺，數(shù)學直覺能幫助發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，但往往只能提供一些思路，它或正確，或錯誤，這時就需要對數(shù)學問題進行理性認知，即進行數(shù)學運算、推理論證等，使其知其然還能知其所以然;（2）有意識地引導學生做解題后的總結(jié)、反思，提煉出基本思路、基本方法、基本圖形，建立解題模型，以豐富他們的解題經(jīng)驗，提高其分析問題、解決問題的能力.