突出數(shù)式之間聯(lián)系　培養(yǎng)數(shù)學建模能力

董紅霞　李樹臣

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）把初中階段“數(shù)與代數(shù)”部分的內容分為三大部分：數(shù)與式;方程與不等式;函數(shù).這些內容是研究數(shù)量關系和變化規(guī)律的數(shù)學模型，是用于表示、交流與解決問題的工具，廣泛用于表達、計算和推理等活動過程之中.

教師要在學習方程、不等式、函數(shù)知識的同時，適當設計一些讓學生通過建立方程模型、不等式模型以及函數(shù)模型解決的實際問題，以提高學生應用數(shù)學知識解決問題的能力.在學生通過適量的訓練，能熟練的建立其中一個模型解決實際問題后，要設計一些突出它們聯(lián)系（結合）的問題，以不斷提高學生建立“數(shù)式模型”解決實際問題的能力.

本文從2019年各地中考試題中選擇了部分通過建立三者（方程、不等式、函數(shù)知識）模型解答的問題加以分析，旨在引導教師加強知識之間聯(lián)系的教學與研究，發(fā)揮數(shù)式內容在培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力方面的作用.1 建立方程（組）與不等式模型

關于方程（組），《課標（2011年版）》的要求是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型”，為實現(xiàn)這個目的，在教學中要突出建立方程（組）模型解決實際問題的教學.初中階段學習的方程主要有：一元一次方程（組）、分式方程和一元二次方程.

《課標（2011年版）》提出“能根據(jù)具體問題中數(shù)量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題”，在有關不等式（組）知識的教學中，也要注重建立不等式模型解決實際問題的教學.

中考題常見考查學生通過建立方程（組）模型與不等式（組）模型解決實際問題的題目，這樣的問題比單獨讓學生建立方程（組）模型或不等式（組）模型解決實際問題的難度有所增加.

案例1 采購運動服問題（山東聊城）

某商場的運動服裝專柜，對A，B兩種品牌的運動服分兩次采購試銷后，效益可觀，計劃繼續(xù)采購進行銷售.已知這兩種服裝過去兩次的進貨情況如下表：

（1）問A，B兩種品牌運動服的進貨單價各是多少元？

（2）由于B品牌運動服的銷量明顯好于A品牌，商家決定采購B品牌的件數(shù)比A品牌件數(shù)的32倍多5件，在采購總價不超過21 300元的情況下，最多能購進多少件B品牌運動服？

簡解 （1）設A，B兩種品牌運動服的進貨單價分別為x元，y元，根據(jù)題意可建立方程組20x+30y=10 200，30x+40y=14 400，解得x=240，y=180.檢驗知方程組的解符合題意.（2）設購進A品牌運動服m件，建立不等式240m+180（32m+5）≤21 300，解得m≤40.檢驗符合題意.所以32m+5≤32×40+5=65.

點評 本題以“購買學生運動服”為背景，考查學生建立方程組和不等式模型解答實際問題的能力.有關信息是用文字和圖表兩種方式給出的，建立方程組模型的關鍵是從圖表中獲取有用的信息.建立不等式模型的關鍵是正確理解“不超過21 300元”的意義.

在通過建立不等式或不等組模型解決有關實際問題時，要引導學生正確理解“不大于”“不小于”“超過”“低于”等關鍵詞的含義，這是建立不等式（組）模型的關鍵，也是考生容易出錯的地方.2 建立方程與函數(shù)模型

函數(shù)是初中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內容，也是學生學習時感到困難的地方，初中階段將學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).對這些函數(shù)的學習，《課標（2011年版）》都作出了要通過建立相應模型解決實際問題的要求.例如“能用一次函數(shù)解決簡單實際問題”“能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題”對于二次函數(shù)也有同樣的要求.

無論在學習哪種具體函數(shù)時，我們都要引導學生學會建立相應的模型解決有關實際問題.中考題中除了考查學生通過建立函數(shù)模型解決實際問題的能力外，常見的是讓學生通過建立方程（組）與函數(shù)兩種模型解決實際問題的考題.

案例2 銷售芒果問題（四川攀枝花）

攀枝花得天獨厚，氣候宜人，農產品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市.某水果店購進一批優(yōu)質晚熟芒果，進價為10元/千克，售價不低于15元/千克，且不超過40元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關系.

（1）某天這種芒果售價為28元/千克，求當天該芒果的銷售量.

（2）設某天銷售這種芒果獲利m元，寫出m與售價x之間的函數(shù)關系式.如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價為多少元？

簡解 設該一次函數(shù)解析式為y=kx+b，則25k+b=35，22k+b=38， 解得k=-1，b=60.

則y與x的解析式為y=-x+60（15≤x≤40）.

（1）當x=28時，y=-28+60=32.所以當芒果售價為28元/千克時，當天該芒果的銷售量為32千克.

（2）由題易知m=y（x-10）=（-x+60）（x-10）=-x2+70x-600.當m=400時，則-x2+70x-600=400，解得x1=20，x2=50.因為15≤x≤40，所以x=20.

點評 本考題以“賣芒果”為背景，主要考察學生通過建立方程（組）模型和函數(shù)模型解答實際問題的能力.用到的知識主要有解方程組、解一元二次方程、一次函數(shù)性質等.這類問題中涉及到利潤問題，解答時要熟練掌握以下幾個常用的公式：利潤=售價-成本價，總利潤=單個商品的利潤×銷售量，利潤率=利潤÷進價×100%.

在解答問題（1）和（2）之前，需要先根據(jù)表格中給定的數(shù)量對應關系，用待定系數(shù)法確定出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+60，并且根據(jù)“售價不低于15元/千克，且不超過40元/千克”確定出自變量x的取值范圍是15≤x≤40，這是學生容易忽略的地方.有了解析式y(tǒng)=-x+60，問題（1）隨之而解.問題（2）首先要“根據(jù)總利潤=銷售量×每千克的利潤”得出芒果獲利m與售價x之間的函數(shù)關系式m=y（x-10），然后把y=-x+60代入，得到二次函數(shù)解析式m=-x2+70x-600，最后令m=400，得到一元二次方程模型.3 建立不等式與函數(shù)模型

讓學生通過建立不等式（組）模型與函數(shù)模型解決實際問題的考題也是常見的一種題型.

案例3 產品利潤問題（江蘇連云港）

某工廠計劃生產甲、乙兩種產品共2 500噸，每生產1噸甲產品可獲得利潤0.3萬元，每生產1噸乙產品可獲得利潤0.4萬元.設該工廠生產了甲產品x（噸），生產甲、乙兩種產品獲得的總利潤為y（萬元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)表達式;

（2）若每生產1噸甲產品需要A原料0.25噸，每生產1噸乙產品需要A原料0.5噸.受市場影響，該廠能獲得的A原料至多為1 000噸，其它原料充足.求出該工廠生產甲、乙兩種產品各為多少噸時，能獲得最大利潤.

簡解 （1）利潤y（元）=生產甲產品的利潤+生產乙產品的利潤;而生產甲產品的利潤=生產1噸甲產品的利潤0.3萬元×甲產品的噸數(shù)x，即0.3x萬元，生產乙產品的利潤=生產1噸乙產品的利潤0.4萬元×乙產品的噸數(shù)（2 500-x），即0.4（2 500-x）萬元.生產甲、乙兩種產品獲得的總利潤為y與x之間的函數(shù)表達式為：y=0.3x+0.4（2500-x）=-0.1x+1 000.

（2）根據(jù)題意可得0.25x+0.5（2 500-x）≤1000，x≤2 500，解得1 000≤x≤2 500.根據(jù)函數(shù)的增減性，結合自變量x的取值范圍，可知當x=1 000時，y最大，所以2500-x=1 500.

所以生產甲產品1 000噸，乙產品1 500噸時，利潤最大.

點評 本考題以“工廠生產甲、乙兩種產品”為背景，主要考察學生通過建立不等式組模型和函數(shù)模型解答實際問題的能力.用到的主要知識有不等式組、一次函數(shù)的性質等.解答問題（1）時，根據(jù)“甲、乙兩種產品獲得的總利潤=甲產品的利潤+乙產品的利潤”可直接建立一次函數(shù)模型.解答問題（2）的關鍵是在正確理解題意的基礎上，建立起不等式組模型.4 建立方程、不等式與函數(shù)模型

前面的三個案例都是建立兩個模型就能解決的問題.下面的問題則是要求學生建立三個模型才能解決的考題，這樣的題目突出了三者的綜合利用，對于提高學生建立代數(shù)模型解決實際問題的能力是很有必要的.

案例4 公交班車問題（浙江寧波）

某風景區(qū)內的公路如圖1所示，景區(qū)內有免費的班車，從入口出發(fā)，沿該公路開往草甸，途中?？克郑ㄉ舷萝嚂r間忽略不計）.第一班車上午8點發(fā)車，以后每隔10分鐘有一班車從入口處發(fā)車，小聰周末到該風景區(qū)游玩，上午7：40到達入口處，因還沒到班車發(fā)車時間，于是從景區(qū)入口處出發(fā)，沿該公路步行25分鐘后到達塔林，離入口處的路程y（米）與時間x（分）的函數(shù)關系如圖2所示.

（1）求第一班車離入口處的路程y（米）與時間x（分）的函數(shù)表達式;

（2）求第一班車從入口處到達塔林所需的時間;

（3）小聰在塔林游玩40分鐘后，想坐班車到草甸，則小聰最早能夠坐上第幾班車？如果他坐這班車到草甸，比他在塔林游玩結束后立即步行到草甸提早了幾分鐘？（假設每一班車速度均相同，小聰步行速度不變）

分析 （1）利用待定系數(shù)法，將兩點坐標代入解析式，即可求解析式;（2）將1 500代入解析式，即可求出所需時間;（3）根據(jù)題意列出不等式，求得小聰坐的是第幾班車，然后分別算出坐車和步行到草甸的時間，即可求出二者相差的時間.

簡解 （1）由題意可設函數(shù)表達式為y=kx+b（b≠0），把（20，0），（38，2 700）代入，可得0=20k+b，2 700=38k+b，解得k=150，b=-3 000.

所以第一班車離入口處的路程y（米）與時間x（分）的函數(shù)表達式為y=150x-3 000（20≤x≤38）;

（2）把y=1 500代入y=150x-3 000，解得x=30，30-20=10（分）.

所以第一班車到塔林所需時間為10分鐘.

（3）設小聰坐上第n班車，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5.

所以小聰最早坐上第5班車，等班車時間為5分鐘，坐班車所需時間：1 200÷150=8（分），步行所需時間為1 200÷（1 500÷25）=20（分）.20-（8+5）=7（分）.

所以小聰坐班車到草甸比他游玩結束后立即步行到草甸提早了7分鐘.

點評 本題以小聰游覽景點乘坐“公交車”問題為背景，考查學生利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式并求解多個問題的綜合性題目.問題（1）在確定一次函數(shù)解析式的過程中，需要根據(jù)公交車函數(shù)圖象上的兩個點的坐標建立方程組模型;（2）在求“第一班車從入口處到達塔林所需的時間”時，需要建立一元一次方程模型;在求解問題（3）時，首先需要根據(jù)題意建立不等式模型，求出小聰坐的是第幾班車，然后分別算出坐車和步行到草甸的時間，即可求出二者相差的時間.在求差時不要忘了小聰?shù)劝嘬嚨臅r間，這是學生容易忽視出錯的地方.

本題在解答過程中需要求出公交班車行駛的速度，求這個速度的信息“融入”在第一班車離入口處的路程y（米）與時間x（分）的函數(shù)關系圖象之中，這也是學生感到困難的地方.5 啟示

5.1 突出模型教學，培養(yǎng)學生模型思想

數(shù)學模型思想是《課標（2011年版）》提出的十大核心概念之一，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分.針對這種思想《課標（2011年版）》進一步解釋為“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義.這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識”.

這就要求我們在數(shù)學教學中，應結合具體的內容，適當加強對學生通過建立數(shù)學模型解決實際問題的訓練，通過訓練讓學生逐步明確圖3所示的建立模型解決數(shù)學問題的一般過程.

數(shù)學建模是一種數(shù)學活動，是一種數(shù)學思想方法，是解決實際問題的一種強有力的數(shù)學工具.加強數(shù)學建模教學對于促進學生模型思想的形成，進而提高數(shù)學核心素養(yǎng)是非常有價值的.

5.2 加強數(shù)學語言教學

建立數(shù)學模型解答實際問題的第一步是閱讀題目，明確題意的要求，學生閱讀的前提是能準確掌握數(shù)學語言，這里的語言主要指文字語言、圖形語言和符號語言.數(shù)學語言有著極其嚴格的含義，我們可以用“增之一分則太長，減之一分則太短，著粉則太白，施朱則太赤”來形容它的簡練性.在閱讀時，要求學生要了解其中每個數(shù)學術語、符號的精確含義，如在建立不等式模型時，必須通過閱讀理解“大于”“不超過”“至少”“最多”等詞語所表述的具體意義.

5.3 突出知識的應用過程教學

《課標（2011年版）》指出，數(shù)學教學應“設計運用數(shù)學知識解決問題的活動.這樣的活動應體現(xiàn)‘問題情境─建立模型─求解驗證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數(shù)學思想、積累活動經(jīng)驗;要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創(chuàng)新意識”.

在數(shù)學教學中，當學完一個知識點后，要根據(jù)實際，盡量選取一些能利用這些知識解答的實際問題，讓學生通過建立相應的數(shù)學模型去解答.這樣既加深了學生對有關知識的理解，也能不斷提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.加深學生對數(shù)學與現(xiàn)實生活密切相聯(lián)系的認識.逐漸形成學生用數(shù)學的眼光、從數(shù)學的角度去觀察、分析生活中所遇到的實際問題的心理傾向，逐步形成和發(fā)展學生的數(shù)學應用意識.久而久之，學生才能體會到“數(shù)學與人類發(fā)展和社會進步息息相關，隨著現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面”的真諦.