“三點(diǎn)一線面積法”模型及其應(yīng)用

吳國慶　朱杰

七年級學(xué)生在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系后，會遇到一類三點(diǎn)共線問題，由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)一次函數(shù)知識，這里需要借助構(gòu)圖，利用面積法建立關(guān)系來解決問題，

下面舉例說明.

在直角坐標(biāo)系中，A（a，b），B（c，d）（c>a>0，d>b>0）

（1）如圖1，點(diǎn)C（x，y）在線段AB上，探求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系;

（2）如圖2，AB和x軸交點(diǎn)為M（x，0），探求A，B，M三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系;

（3）如圖3，AB和y軸交點(diǎn)為N（0，y），探求A，B，N三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系.

解析 （1）如圖1，過A，B，C分別作x軸垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，E，由S梯形ADFB=S梯形ADEC+S梯形CEFB可得12（b+d）（c-a）=12（b+y）（x-a）+12（d+y）（c-x），化簡整理得：bc+ay+dx=ad+cy+bx;

（2）如圖2，過A，B分別作x軸垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，由S△MBF=S梯形ADFB+S△AMD可得12（c-x）d=12（b+d）（c-a）+12（a-x）b，化簡整理得：ad+bx=bc+dx;

（3）如圖3，過A，B分別作x軸垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，由S梯形NOFB=S梯形NODA+S梯形ADFB，可得12（y+d）c=12（y+b）a+12（b+d）（c-a），化簡整理得：ad+cy=bc+ay.

當(dāng)共線三點(diǎn)所處位置不同，我們類似構(gòu)圖，通過面積建立三點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，我們不妨將其稱為“三點(diǎn)一線面積法”模型，下面例析其應(yīng)用.

（1）直接應(yīng)用

例1 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（5，1），C（4，4），把△ABC先向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度得到△DEF（其中A與D，B與E，C與F是對應(yīng)點(diǎn)）.

（1）畫出△DEF;

（2）設(shè)DF與橫坐標(biāo)都是-74的直線交于點(diǎn)R，求點(diǎn)R坐標(biāo).圖4

解析 （1）畫圖如圖4，D（-2，2），F(xiàn)（1，5）;

（2）過D，R，F(xiàn)分別作x軸垂線，垂足分別為M，N，P，設(shè)R（-74，y），由“三點(diǎn)一線面積法”模型可以得到：

12（2+5）×3=12（-1.75+2）（2+y）+12（1+1.75）（5+y），解得y=94，所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-74，94）.

（2）疊合應(yīng)用

例2 如圖5，在直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（-1，2），C（1，0），連接AB，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接OB交CD于點(diǎn)E，求四邊形DAOE的面積.圖5

解析 過D，B，E分別作x軸垂線，垂足分別為M，N，P，設(shè)E（x，y），由“三點(diǎn)一線面積法”模型，B，E，O在一條線上得y+2x=0，D，E，C在一條線上得5y+2x=2，聯(lián)立y+2x=0和5y+2x=2，得E（-0.25，0.5），可求四邊形DAOE的面積為1.25.

（3）構(gòu)造應(yīng)用

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（b，0），C（0，6），D（8，0），點(diǎn)P為線段CD上一點(diǎn)，設(shè)P（m，n），且有a+2b+m=0，2a+b+m=-5.

（1）如圖6，若S△ABP<10，求m的取值范圍;

（2）如圖7，若a<0，b>0，點(diǎn)B沿y軸方向平移至M，使AM∥CD，若S△ABM=12S△CBD，

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析 （1）過P作x軸垂線，垂足為E，又C，P，D在一條線上，由“三點(diǎn)一線面積法”模型得：3m+4n=24，由條件可得：a=-10-m3，b=5-m3，由

S△ABP=12（5-m3--10-m3）（6-34m）<10，解得m>83.

因?yàn)镻在CD上，所以m<8，綜合知83

（2）將CD平移至AE，由條件知點(diǎn)M在AE上，過E作x軸垂線，垂足為點(diǎn)F，由條件得a=b-5，S△CBD=12（8-b）×6=24-3b，又因?yàn)镾△ABM=12S△CBD，所以BM=24-3b5，由條件進(jìn)一步得到A（b-5，0），E（3+b，-6），M（b，24-3b5），因?yàn)锳，E，M共線，由“三點(diǎn)一線面積法”模型得b=74，所以M（74，-154）.

（4）靈活應(yīng)用

例4 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，3），B（3，1），C（1，2）.

（1）若點(diǎn)P（m，0）為x軸上一動點(diǎn)，S△PAB>S△ABC，求m的取值范圍;

（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，我們知道，在△ABC中，AB+AC>BC，由不等式性質(zhì)知AC>BC-AB，即三角形中任意一邊大于另外兩邊之差，由上面提示，在x軸上找一點(diǎn)M，使AM-BM最長.

解析 （1）延長AB交x軸于點(diǎn)M，可

求S△ABC=52，又A，B，M共線，由“三

點(diǎn)一線面積法”模型得M（52，0），因?yàn)?/p>

S△PAB>S△ABC，所以1252-m（3-1）>52，

解得m<0或m>5;

（2）根據(jù)提示，延長AB交x軸于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)M，所以M（52，0）.