從一道中考題的解法修正談起

扈保洪

在天津市2019年中考數(shù)學試卷中，有一道試題如下：

題目 如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A在格點上，B是小正方形邊的中點，∠ABC=50°，∠BAC=30°，經(jīng)過點A、B的圓的圓心在邊AC上.

（Ⅰ）線段AB的長等于;（答案：172）

（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖1所示的網(wǎng)格中，畫出一個點P，使其滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）.（注：現(xiàn)已將原來題圖中部分多余的網(wǎng)格刪除）

因為在該中考題的標準答案中，所求作的點P只給出一個位置（見圖2），且除點P的畫法外，也沒有構(gòu)圖思路的詳細解析過程;而根據(jù)題設條件，利用尺規(guī)作圖法不難發(fā)現(xiàn)，滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB的點P應該有兩個位置（見圖3的點P1和P2），所以這種情況值得商榷，因而也引起筆者對該問題的關(guān)注.

然而，隨著探究的深入，筆者除修正了上述中考題的答案外，還對該試題的特色以及對教學的啟示等有些許領悟.因此，為促進對該類問題的研究，更好地反哺教學，現(xiàn)整理成文，與同仁交流.1 構(gòu)圖思路解析

1.1 畫出示意圖

根據(jù)題設條件，由∠PBC=∠PCB知，點P應在BC邊的垂直平分線P1P2上，由∠PAC=∠PCB知，點P應在以AC為弦，且與BC切于點C的⊙O1上，據(jù)此，可利用尺規(guī)及量角器畫出較準確的示意圖（見圖3，EF是⊙O的直徑，CH是⊙O1的直徑）.這樣，由于點P滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB，則點P必是直線P1P2與⊙O1的交點，又因直線P1P2與⊙O1上有兩個交點P1、P2，故所求作的點P應有P1、P2兩個位置（見圖3），而且也正因為有圖3的直觀啟示，才引發(fā)下列的觀察、猜想、驗證、計算、推理等數(shù)學活動過程.

1.2 點P1準確位置的構(gòu)圖思路

在圖3中，經(jīng)仔細觀察發(fā)現(xiàn)點B、P1、O可能共線.因此，不妨以此為目標，探究點P1準確位置的構(gòu)圖思路：設點P1在OB上，則由∠ABO=∠BAO=30°，∠BOC=2∠BAO=60°，知∠P1AC=∠P1CB=∠P1BC=∠ABC-∠ABO=50°-30°=20°，∠P1CA=∠ACB-∠P1CB=100°-20°=80°;這樣，延長P1C交⊙O于點Q，則∠ACQ=100°.

由于∠ACB=∠ACQ=100°，故BC與QC關(guān)于直徑AN成軸對稱，進而連接QO后，則由對稱性知∠OQC=∠OBC=20°，于是∠COQ=180°-100°-20°=60°;那么再延長QO（交AB于D），知OD平分∠AOB，且OD是邊AB的中線 ，所以根據(jù)平行線分線段成比例定理，點D也是邊AB與格線的交點.因此，當點P1在OB上時，點P1的位置可由射線DO、QC和半徑OB來確定.

另一方面，若點P1不在OB上，設OB與⊙O1交于點P3，則由上述分析知∠P3AC=∠P3BC=∠P3CB=20°.而由點P2不在△ABC的內(nèi)部知，點P2與P3不可能重合，但滿足∠PAC=∠PBC=∠PCB的點P只有兩個位置，故點P1必與點P2重合（否則，點P將有三個位置）.因為該結(jié)論與點P1、P2不重合（由于易證12BC

因此，由上述兩個方面的分析知：先畫射線DO（交⊙O于Q），再畫射線QC，則QC與OB的交點必為所求的點P1（見圖2）.

1.3 點P2準確位置的構(gòu)圖思路

在圖3中憑直覺還可發(fā)現(xiàn)：點P2可能是直線P1P2、⊙O、⊙O1三者的公共點;而且分別延長BO（交⊙O于M）、AO（交⊙O于N），并連接MN（交CQ于R），則點O、P2、R可能共線;另外，點G（P1A與OD交于G）、P2、C也可能共線.那么，這些猜想是否合理呢？不妨驗證一下（注：因為用尺規(guī)所畫出的圖3比較準確，所以有理由認為上述發(fā)現(xiàn)（猜想）可能都是真實的）：

在圖3中，假設點P2在射線RO上，由于易知OQ與MN互相垂直平分，則OR=QR，∠P2OA=∠NOR=60°-∠QOR=60°-20°=40°，進而得∠P2AO=∠AP2O=70°，∠P2BA=20°，∠P2BC=50°+20°=70°，∠P2HC=∠P2AO=70°;于是在Rt△P2CH中，∠P2CH=20°，∠P2CB=90°-20°=70°.

假設點P2在射線CG上，因易知△OCP1≌△OGP1，故點C、G關(guān)于OB對稱，于是CG⊥OB，得∠P2CO=30°，∠P2CB=70°，進而∠P1CH=90°-∠P1CB=70°;又由P1P2∥CH知，⊙O1的內(nèi)接四邊形P1P2HC為等腰梯形，故∠P2HC=70°，∠P2AC=70°;再由四邊形P1P2HC的內(nèi)角和為360°，知∠P2BC=70°.

顯然，上述各結(jié)論與題設條件均無矛盾.

但需要明確的是：以上只是驗證了猜想，盡管這種驗證有助于學生做出正確的判斷，而且以上述猜想為基礎，學生能夠提煉出只用無刻度直尺畫點P2位置的兩種方法，并相應地畫出圖4和圖5（這兩個圖雖然是由合情推理得到的，但教學中允許使用合情推理，由此得出的正確結(jié)論自然也應列出來，這正是原標準答案的缺失之處）.然而，這種驗證卻是以某些假定的結(jié)論為前提的合情推理，要證實上述猜想，還需要給出嚴謹?shù)淖C明過程（題目未做要求）. 證明 當通過畫射線RO找點P2（即圖4的點P）的位置時，設射線RO交⊙O于點P，并連接PA、PB、PC（見圖4），則∠POA=40°，∠PBA=20°，得∠PAO=∠APO=70°，∠PBC=50°+20°=70°.

令∠PCB=θ，則∠ACP=100°-θ，∠APC=10°+θ.于是，在△ABC、△PBC、△PAC中，依次有：ACsin30°=BCsin50°①，BCsin70°=PCsin（110°-θ）②，PCsin（10°+θ）=ACsin70°③;