尋關(guān)聯(lián)思路徑　基屬性覓思路

劉春書

求線段長度的范圍是初中數(shù)學(xué)常見的一類問題，對(duì)于此類問題通常有兩種通法.一是建立關(guān)聯(lián)，控制一個(gè)量的范圍求線段的長度范圍;二是化歸軌跡，通常有兩類，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)或一動(dòng)點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn).下面結(jié)合2019年南京市中考題填空壓軸題（第16題）談?wù)勅绾巫儞Q問題基于屬性覓得思路.

題目 （2019南京）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長度范圍為.

1 分析及解法

本題文字簡潔、內(nèi)涵豐富、方法多樣，是一道壓軸題，得分率只有0.1.此題以三角形邊角關(guān)系立意，△ABC一邊和其對(duì)角確定，其它元素不確定，即∠A、∠B、AC、BC是變化的.對(duì)于變化的問題，可以從形的角度進(jìn)行圖形直觀，基于變化尋找臨界位置，BC是三角形的邊，點(diǎn)B確定，點(diǎn)C是一動(dòng)點(diǎn)，本問題就可以轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)B距離的范圍，即探索點(diǎn)C的軌跡，基于臨界位置確定范圍;也可以從數(shù)的角度進(jìn)行邏輯推理，就是建立關(guān)聯(lián)，控制變量研究范圍，明晰BC隨哪個(gè)量變化而變化，再基于變化范圍尋求線段的長度范圍，即建立函數(shù)關(guān)系，采用控制變量法.

1.1 基于經(jīng)驗(yàn)分析

軌跡視角：探索軌跡，基于臨界確定范圍.

分析條件——研究條件的定與變：

分析問題：BC是什么？BC與哪些量存在關(guān)系？

思路1：BC是△ABC的外接圓⊙O的弦，由于60°<∠A<120°，點(diǎn)C在AC′上，當(dāng)BC為直徑時(shí)，BC最長為8 33.當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，BC最短為4.當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，BC最短為4，即4

函數(shù)視角：建立關(guān)系，基于范圍尋求范圍.

分析條件——研究條件的定與變：

分析問題：BC是什么？BC與哪些量存在關(guān)聯(lián)？

思路2：BC是△ABC的一邊，BC的長度隨∠A的大小變化而變化.基于這兩個(gè)信息，可以用高中的正弦定理.即BC sinA=AB sinCBC=ABsinA sinCBC=4sinA sin60°BC=83sinA 3，因?yàn)?0°<∠A<120°，所以3 2[SX）]

思路3：BC是△ABC的一邊，BC的長度隨∠A的大小變化而變化.線段與角度的關(guān)系需要建立三角函數(shù)進(jìn)行解決.在初中階段將斜三角形化歸直角三角形，作三角形的高構(gòu)建所求邊的相關(guān)三角函數(shù)進(jìn)行解決.如圖1，作△ABC的高BH，在Rt△BCH中，可得sinC=BH BC，即BC=BH sinC=23[KF）]BH 3[SX）].在Rt△ABH中，由于60°<∠A<120°，由圖1可知AB·sin60°

1.2 解法

解法1：如圖2，因?yàn)椤螦>∠B，又因?yàn)椤螦+∠B=180°-∠C=120°，所以∠B<60°<∠A<120°，作以AB為邊的等邊△ABC′的外接圓⊙O.因?yàn)椤螩′=60°，所以點(diǎn)C在AC′上，當(dāng)BC為直徑時(shí)，BC最長為83[KF）] 3，即4

解法2：如圖1，作△ABC的高BH.在Rt△BCH中，BC=BH sin60°.因?yàn)椤螩AB>∠ABC，

又因?yàn)椤螩AB+∠ABC=180°-∠C=120°，所以∠CAB>60°>∠ABC，Rt△ABH中，因?yàn)锽H=AB·sin∠BAH.又因?yàn)?0°<∠BAH≤90°，所以3[KF）] 2[SX）]AB

一個(gè)三角形一邊及其對(duì)角確定，此三角形的外接圓是確定的，另兩個(gè)角的大小范圍是確定的，兩條邊的長度范圍也是確定的.為研究本質(zhì)有必要進(jìn)行一般化思考，一般化有兩個(gè)方向：一是去∠A>∠B的條件，二是定邊的對(duì)角的大小一般化.因此本題可以變式如下.

變式1 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，則BC的長度范圍為.

經(jīng)驗(yàn)1軌跡視角：探索軌跡，基于臨界確定范圍.如圖3，易得0

經(jīng)驗(yàn)2函數(shù)視角：建立關(guān)系，基于范圍尋求范圍.如圖4，因?yàn)锽C=BH sinC=23[KF）] 3BH（0

變式2 在△ABC中，AB=4，∠C=m°，則BC的長度范圍為.

經(jīng)驗(yàn)1軌跡視角：探索軌跡，基于臨界確定范圍.如圖5，當(dāng)0

經(jīng)驗(yàn)2函數(shù)視角：建立關(guān)系，基于范圍尋求范圍.BC的長度與∠C的大小有關(guān)，當(dāng)m°≥90°時(shí)，則0°<∠A<90°<∠C，所以AB·sinA

3 對(duì)解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

3.1 引導(dǎo)學(xué)生從定與變的視角分析條件

綜觀此題分析及解答的過程，從知識(shí)技能層面看，此題主要考查解三角形、圓、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí).從能力層面看，此題主要考查學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)遷移能力、構(gòu)圖能力和邏輯推理能力.因此本題的解決最關(guān)鍵的是對(duì)題目的分析.首先，思考條件是什么，從條件本身到條件重組思考定的數(shù)量有哪些，量與量之間存在定的位置、數(shù)量關(guān)系有哪些，即研究條件得什么，明確定的元素和定的關(guān)系有哪些.其次，研究問題是什么，將問題放在局部或整體進(jìn)行思考，尤其要明確問題的屬性，圖7比如BC是什么？是弦就要基于圓的性質(zhì)研究BC、是三角形的一邊就要基于三角形研究BC，即研究邊與邊、邊與角的關(guān)系，化歸解三角形，通過化斜為直，建立三角函數(shù)進(jìn)行解決問題，同時(shí)思考問題解決需要定什么.最終，基于條件、問題、定的元素思考與本題相關(guān)的解決方法、經(jīng)驗(yàn)、模型，最終確定解題策略.基于“波利亞解題原理”發(fā)現(xiàn)遷移經(jīng)驗(yàn)的思維導(dǎo)圖如圖7所示.

3.2 強(qiáng)化學(xué)生注重方法、經(jīng)驗(yàn)、模型的積累

羅增儒教授曾說過：“從思維的角度看，模式識(shí)別的解題策略體現(xiàn)思維定勢正遷移的積極作用.‘遇新思陳，推陳出新就是為了在當(dāng)前問題與頭腦中已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立聯(lián)系，以誘發(fā)積極有用的思維定勢.”所以，積累、甚至記憶一些“模型”是必須的.尤其是解決此題需借助解三角形與定角軌跡此類模型的相關(guān)方法和經(jīng)驗(yàn)，特別需要用基本圖形經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合.如果學(xué)生從來沒有體驗(yàn)過，那么解決這個(gè)問題還是很困難的.因此問題的解決關(guān)鍵環(huán)節(jié)是在研究條件與問題后思考與其關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗(yàn)有哪些.比如本題：經(jīng)驗(yàn)一，研究線段的長度，通常轉(zhuǎn)化為軌跡問題，最終研究點(diǎn)與點(diǎn)的距離問題，也或是建立函數(shù)關(guān)系由自變量的取值范圍研究應(yīng)變量的范圍;經(jīng)驗(yàn)二，定弦定角應(yīng)該自然想到定角軌跡;經(jīng)驗(yàn)三，研究三角形的邊的長度，通?；瘹w解三角形，建立三角關(guān)系把角與邊相關(guān)聯(lián).這些模型、經(jīng)驗(yàn)、方法平時(shí)在解題中要不斷滲透，通常經(jīng)歷：解一類題歸納提煉——嘗試應(yīng)用感悟理解——再提煉把一系列題目串聯(lián)三個(gè)階段.

3.3 增強(qiáng)學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的意識(shí)

將原問題特殊化或一般化進(jìn)行的變式，因?yàn)樘厥鈩t解法便于發(fā)現(xiàn)，再提煉特殊化的解法，用于解決原問題和一般化的問題.當(dāng)問題趨于一般化時(shí)，最后留下來就是問題的本質(zhì)，比如本問題，當(dāng)∠C為m°時(shí)，BC的長度范圍是不確定的，基于原問題解決的經(jīng)驗(yàn)，本題意在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的認(rèn)識(shí)，從而對(duì)此類問題的本質(zhì)就明晰了.通過本題變式與解法發(fā)現(xiàn)基于“從特殊到一般”探本質(zhì)、尋通法的思維導(dǎo)圖如圖8所示.

因此，問題的解決有必要引導(dǎo)學(xué)生思考問題能否一般化和特殊化？控制變量強(qiáng)化條件或弱化條件使得原問題特殊化與一般化.在特殊化后思考解法，提煉基本圖形、方法、思想、經(jīng)驗(yàn)、模型等等，并將其所有類比遷移到原問題和一般化的問題.

3.4 給予學(xué)生多一點(diǎn)嘗試與感悟的機(jī)會(huì)

英國心理學(xué)家萊士的研究表明，解決問題要經(jīng)歷準(zhǔn)備、孕育、明朗和驗(yàn)證這四個(gè)階段.因此，問題的解決需要平時(shí)在教學(xué)的過程中多一些孕育的過程，有必要給學(xué)生多一點(diǎn)嘗試與感悟的機(jī)會(huì)，在此過程中需要教師精心設(shè)問.對(duì)于較難題或陌生題絕對(duì)不是簡單給思路與解法，一定需要老師站在高處，層層設(shè)問，學(xué)生經(jīng)歷感悟理解，以本題為例.

軌跡的視角：探索軌跡，基于臨界確定范圍.設(shè)問如下：

問題1：作一個(gè)滿足條件的△ABC.

問題2：滿足條件的三角形有多少個(gè)，為什么？請(qǐng)作出所有滿足條件的點(diǎn)C.

問題3：思考BC是什么？

問題4：改變題目的條件，能更加一般化嗎？原問題與變式后的問題有何內(nèi)在聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖 從特殊到一般，從有限到無限，從存在到合理，從感知到明晰，步步推進(jìn).學(xué)生經(jīng)歷感悟、理解、歸納、應(yīng)用的過程.不僅思考定與變，還需要思考與其關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗(yàn)、方法、模型等，最終再歸納提煉方法、經(jīng)驗(yàn)、模型.問題3研究問題是什么，不同的屬性帶來不同的方法與經(jīng)驗(yàn).

函數(shù)的視角：建立關(guān)系，基于范圍尋求范圍.設(shè)問如下：

問題1：思考BC是什么？

問題2：與BC相關(guān)的量有哪些，有何關(guān)系？

問題3：如何求BC的長度？

問題4：改變題目的條件，能更加一般化嗎？原問題與變式后的問題有何內(nèi)在聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖 從BC的屬性出發(fā)，研究BC是什么，通過控制變量的視角將問題進(jìn)行變換，再與已有條件，特別是定的量與定的關(guān)系相關(guān)聯(lián)，最終用函數(shù)的視角解決問題.

問題個(gè)數(shù)是無限的，但是問題解決的方法是有限的，如何用有限的方法去解決無限多的問題，就要我們分析定與變，對(duì)于變要建立關(guān)聯(lián)，再用定的量與定的關(guān)系進(jìn)行刻畫，當(dāng)我們還未有清晰的思路，一定要尋問自己基于不同的屬性追問問題是什么.當(dāng)然，最終問題的解決不僅僅靠分析條件與問題，還需要將積累的方法、經(jīng)驗(yàn)、模型與分析的進(jìn)行嫁接，這種能力需要平時(shí)教學(xué)過程中給學(xué)生足夠的感悟理解的空間.