2022年高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題的自然解法

甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

題目(2022年高考數(shù)學(xué)北京卷第21題)己知Q:a1,a2,…,ak為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的n∈{1,2,…,m}，在Q中存在ai,ai+1,ai+2,…,ai+j(j≥0)，使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，則稱(chēng)Q為m-連續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)若Q:a1,a2,…,ak為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；

(3)若Q:a1,a2,…,ak為20-連續(xù)可表數(shù)列，且a1+a2+…+ak<20，求證：k≥7.

解析(1)由題設(shè)可得a1=2,a2=1,a3=4.

因?yàn)?=a2,2=a1,3=a1+a2,4=a3,5=a2+a3;6≠a1,a2,a3,a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3，

所以Q:2,1,4為5-連續(xù)可表數(shù)列，不為6-連續(xù)可表數(shù)列.

(2)若k=1，則數(shù)列Q:a1只可能是1-連續(xù)可表數(shù)列；若k=2，且數(shù)列Q:a1,a2為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤3(因?yàn)橛深}設(shè)中的表述方法，最多只能表示出a1,a2,a1+a2共3個(gè)兩兩互異的數(shù))；若k=3，且數(shù)列Q:a1,a2,a3為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤3(因?yàn)橛深}設(shè)中的表述方法，最多只能表示出a1,a2,a3,a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3共6個(gè)兩兩互異的數(shù)).

容易驗(yàn)證數(shù)列Q:2,4,1,3為8-連續(xù)可表數(shù)列.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

(3)若數(shù)列Q:a1,a2,…,ak(k≤5)為20-連續(xù)可表數(shù)列，則20≤5+4+3+2+1=15，這不可能！因而滿(mǎn)足題設(shè)的k≥6.

若k=6，得整數(shù)數(shù)列Q:a1,a2,a3,a4,a5,a6中的連續(xù)若干項(xiàng)(至少一項(xiàng)，下同)的和a1,a2,a3,a4,a5,a6;a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5,a5+a6;a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,a4+a5+a6;a1+a2+a3+a4,a2+a3+a4+a5,a3+a4+a5+a6;a1+a2+a3+a4+a5,a2+a3+a4+a5+a6;a1+a2+a3+a4+a5+a6最多能表示(下簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示)出21個(gè)兩兩互異的正整數(shù)，且題設(shè)是能表示出1,2,3,…,20這20個(gè)正整數(shù).

①若數(shù)列Q的六項(xiàng)均是自然數(shù)，由題設(shè)a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，可得數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和均小于20(沒(méi)有表示出20)，與題設(shè)矛盾！所以數(shù)列Q中有負(fù)項(xiàng)且負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是1(若存在兩個(gè)負(fù)項(xiàng)，則數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少兩個(gè)正整數(shù)，至多能表示21-2=19個(gè)正整數(shù)，不滿(mǎn)足題設(shè)).

若數(shù)列Q的項(xiàng)中還有0，則數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少兩個(gè)正整數(shù)(負(fù)項(xiàng)與0)，不滿(mǎn)足題設(shè)，因而數(shù)列Q的項(xiàng)是一項(xiàng)負(fù)五項(xiàng)正(且這五個(gè)正項(xiàng)兩兩互異).

還可得：數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中除負(fù)項(xiàng)這個(gè)和外組成的集合是{1,2,3,…,20}.因?yàn)槠渲凶畲蟮氖?0，所以20的連續(xù)項(xiàng)和表示是最多的連續(xù)若干個(gè)正項(xiàng)之和(即對(duì)數(shù)列Q的連續(xù)正項(xiàng)全部求和).

②因?yàn)椤叭魯?shù)列Q:a1,a2,a3,a4,a5,a6滿(mǎn)足題設(shè)，則數(shù)列Q′:a6,a5,a4,a3,a2,a1也滿(mǎn)足題設(shè)”，所以可只考慮數(shù)列Q:a1,a2,a3,a4,a5,a6(a1<0或a2<0或a3<0)的情形.

若a2<0且數(shù)列Q的其余五項(xiàng)都是正項(xiàng)，則a1=20或a3+a4+a5+a6=20.若a1=20，則由20>a1+a2+a3+a4+a5+a6，可得a2+a3+a4+a5+a6<0，得數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中的a2,a2+a3+a4+a5+a6均不是正整數(shù)；若a3+a4+a5+a6=20，則由20>a1+a2+a3+a4+a5+a6，可得a1+a2<0，得數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中的a2,a1+a2均不是正整數(shù).均不滿(mǎn)足題設(shè).

同理，可證得a3<0也不滿(mǎn)足題設(shè).因而a1<0，且a2+a3+a4+a5+a6=20.

③若兩兩互異的五個(gè)正整數(shù)a2,a3,a4,a5,a6中沒(méi)有1，則20=a2+a3+a4+a5+a6≥2+3+4+5+6=20.

因而{a2,a3,a4,a5,a6}={2,3,4,5,6}.

再由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中最小的正數(shù)是1，可得a1+a2=1.

若?i∈{3,4,5,6},a1+ai=0，則

a1+a2+…+ai=a2+a3+…+ai-1.

得數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù)，不滿(mǎn)足題設(shè)，因而?j∈{2,3,4,5,6},a1+aj≠0.

而aj∈{2,3,4,5,6}，

所以a1?{-2,-3,-4,-5,-6}.

再由a1=1-a2,a2∈{2,3,4,5,6}，可得

a1=-1,a2=2,{a3,a4,a5,a6}={3,4,5,6},a2+a3+a4+a5+a6=20,a1+a2+a3+a4+a5+a6=19,a3+a4+a5+a6=18.

再得數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中17的表示只可能是a2+a3+a4+a5=17，進(jìn)而可得a1=-1,a2=2,{a3,a4,a5}={4,5,6},a6=3.

又由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有14，可得a3=4,{a4,a5}={5,6}，得數(shù)列Q是-1,2,4,5,6,3(但a2+a3=a5)或-1,2,4,6,5,3(但a2+a3=a4)，均不可能，因而a2,a3,a4,a5,a6中有1.

④由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有19及a1+a2+a3+a4+a5+a6<20，可得a2=1或a6=1(得a2+a3+a4+a5=19)或a1+a2+a3+a4+a5+a6=19(a1=-1).

若a2=1，則a1+a2=a1+1≤0，得數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù)；若a1=-1，可得a2≠1(否則a1+a2=0，數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù))，所以?i∈{3,4,5,6},a1+ai=0，得a1+a2+…+ai=a2+a3+…+ai-1，數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù).均不滿(mǎn)足題設(shè).

所以a2+a3+a4+a5=19,a1≤-2,a6=1.

⑤由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有18及和為19的兩兩互異的四個(gè)數(shù)a2,a3,a4,a5均大于1及a1+a2+a3+a4+a5≤17，可得a1+a2+a3+a4+a5+a6=18(得a1=-2)或a3+a4+a5+a6=18(得a3+a4+a5=17,a2=2,a1+a2≤0，數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中會(huì)少表示一個(gè)正整數(shù)).

所以a1=-2,a2+a3+a4+a5=19,a6=1.

⑥由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有16及和為19的兩兩互異的四個(gè)數(shù)a2,a3,a4,a5均大于1(且a2≥4：因?yàn)?

(ⅰ)a1=-2,a2≥4,a2+a3+a4=16,a5=3,a6=1.

由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有15(可證得15的表示中沒(méi)有a1也沒(méi)有a2)，可得a3+a4+a5=15(得a3+a4=12,a2=4=3+1=a5+a6，這不可能)或a3+a4+a5+a6=15(得a3+a4=11,a2=5,a1+a2=3=a5，這不可能)或a4+a5=15(得a4=12,a2+a3=4，與a2≥4矛盾)或a4+a5+a6=15(得a4=11,a2+a3=5，再得a2=4,a3=1=a6，這不可能).

(ⅱ)a1=-2,a2=4,a3+a4+a5=15,a6=1.

由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有14，可得a1+a2+a3=14(得a3=12,a4+a5=3,{a4,a5}={1,2}，得a6與a4或a5重復(fù)，這不可能)或a1+a2+a3+a4=14(得a3+a4=12,a5=3,a2=4=3+1=a5+a6，這不可能)或a2+a3=14(得a3=10,a4+a5=5,{a4,a5}={2,3}，進(jìn)而可得數(shù)列Q是-2,4,10,2,3,1(此時(shí)a1+a2=2=a4，這不可能)或-2,4,10,3,2,1(此時(shí)a1+a2=2=a5，這不可能))或a2+a3+a4=14(得a3+a4=10,a5=5，再由數(shù)列Q的連續(xù)項(xiàng)和表示中有13，可得數(shù)列Q是-2,4,3,7,5,1(但a2+a3=7=a4，這不可能)或-2,4,2,8,5,1(但a1+a2=2=a3，這不可能))或a4+a5+a6=14(得a4+a5=13,a3=2=a1+a2，這不可能).

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

評(píng)注這道壓軸題的解法就是先找到切入點(diǎn)“數(shù)列Q:a1,a2,a3,a4,a5,a6的項(xiàng)滿(mǎn)足一負(fù)五正且負(fù)項(xiàng)在首或尾(可不妨設(shè)負(fù)項(xiàng)在首)”，進(jìn)而可得數(shù)列Q的所有正項(xiàng)之和是20，其連續(xù)項(xiàng)和表示中除負(fù)項(xiàng)這個(gè)和外組成的集合是{1,2,3,…,20}.接下來(lái)，消化這一條件就可證得欲證的結(jié)論成立.