分析數(shù)據(jù)　合理決策

左彥召　孫道斌

【摘 要】統(tǒng)計是數(shù)據(jù)分析的科學和藝術，初中數(shù)學統(tǒng)計的核心是發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念.本文擬通過“‘數(shù)據(jù)的分析復習（1）課堂實錄及點評”來說明準確把握數(shù)據(jù)分析觀念是進行初中數(shù)學統(tǒng)計教學設計和教學實施的必要前提和重要基礎.而初中數(shù)學統(tǒng)計教學的關鍵是使學生想到用數(shù)據(jù)，愿意“親近”數(shù)據(jù)，能從數(shù)據(jù)中提取信息.

【關鍵詞】 數(shù)據(jù)分析觀念;合理決策;課堂實錄;點評

2018年12月27日，在牡丹區(qū)初中數(shù)學年會——暨初中數(shù)學“統(tǒng)計”教學觀摩研討會上，由菏澤市牡丹區(qū)實驗中學左彥召老師執(zhí)教的公開課“數(shù)據(jù)的分析復習（1）”（北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第六章），切實根據(jù)數(shù)學學科的特點和初二學生的實際情況開展統(tǒng)計復習課教學，注重了“平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)”知識體系建構的針對性和有效性，很好地體現(xiàn)了《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）對統(tǒng)計復習課教學的要求，尤其是創(chuàng)新的教學設計，為統(tǒng)計復習課教學起到了引導、示范的作用.在聽課的基礎上，筆者對這節(jié)課的教學進行了實錄和點評，供老師們教學時參考.

教學實錄：

一、創(chuàng)設情景，回顧知識

師：生活中有許多問題都可以用數(shù)學的知識和方法來解決.今天，我們也遇到了一個生活問題.（課件展示“生活問題”）

某公司招聘員工時承諾：“本公司月平均工資6 000元以上”，剛畢業(yè)的趙強看到信息后認為這家公司工資很高，就應聘了這家公司，但入職后的第一個月趙強領了4 000元的工資，他感覺公司欺騙了他.

（學生瀏覽PPT，了解問題背景）

師：老師問個問題，此時的趙強應該了解什么信息呢？

（課件出示“問題1”）

問題1：此時的趙強應該了解什么信息呢？

生1：應了解這家公司的工資情況，特別是最低工資、最高工資和平均工資.

生2：應了解工資的中位數(shù)和眾數(shù).

師：大家說的沒錯，這就是我們要復習的知識.（板書標題“數(shù)據(jù)的分析復習（1）”）

師：趙強要了解工資情況，他接下來要做的事情是什么呢？

生3：去問公司的員工.

生4：去負責發(fā)工資的那里找會計查.

師：說得好，這一過程就是“收集數(shù)據(jù)”.（板書“收集數(shù)據(jù)”）

點評 用實例幫助學生回憶已經(jīng)學過的知識，并且引領學生把這一問題作為一個問題模型加以理解，進而解決其他問題.

二、合作學習，建構體系

師：現(xiàn)在老師給大家提供趙強應聘之前兩家公司的工資報表.

（學生瀏覽數(shù)據(jù)，老師展示問題2）

問題2：A，B兩家公司哪家公司的工資水平高？

（學生先獨立思考，然后同桌交流）

師：大家能用我們學過的三個統(tǒng)計量加以說明嗎？

生5：我們可以比較它們的平均數(shù).

生6：不行.

師：為什么？

生6：它們的平均數(shù)相等.

師：大家會算平均數(shù)吧？公式是？

生7：x-=1/n（x₁+x₂+x₃+…+x_n）.（教師板書公式）

師：那就算一算吧.

（教師巡視）

師：看來計算還挺繁瑣，怎么有這種感覺？哪位同學來說一下？

生8：它需要把每個數(shù)據(jù)都算一下，所以計算起來可能麻煩點.（教師板書“參與數(shù)據(jù)”）

師：算出來了嗎？

生9：算出來了，它們確實相等.

師：大家說，這個量它表示數(shù)據(jù)的什么統(tǒng)計意義？

生10：（搶答）平均水平.

師：趙強有受騙的感覺，你覺得哪個數(shù)據(jù)對其影響較大？

生11：極端值14 000拉高了平均數(shù).（教師板書“受極端值影響”“較大”）

師：那怎么比較兩家公司的工資水平呢？

生12：用中位數(shù)和眾數(shù).

師：你會確定這兩個統(tǒng)計量嗎？

生13：中位數(shù)就是中間的數(shù).

師：還有補充的嗎？

生14：取中間的數(shù)或中間兩個數(shù)的平均數(shù).

師：還有補充嗎？

生15：排序后，取中間的數(shù)或中間的兩個數(shù)的平均數(shù).

師：大家同意哪個觀點？

生眾：第3個.

師：對.（板書“排序中間位置”）

師：這個統(tǒng)計量在排序后，幾個數(shù)據(jù)參與了最終的計算？

生16：1個或者2個.

師：中位數(shù)參與計算的數(shù)據(jù)是個別數(shù)據(jù).（板書“個別”）

師：它表示了數(shù)據(jù)的什么統(tǒng)計意義？

生17：中等水平.

師：你理解“中等水平”嗎？

生18：中間的或最多的.

生19：我認為是有一半的數(shù)據(jù)比這個數(shù)大，有一半的數(shù)據(jù)比其小.

師：剛剛一位同學答的“最多的”是指哪個統(tǒng)計量？

生眾：眾數(shù).

師：對，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù).（板書“次數(shù)最多”）

師：（追問）如果有兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，那么眾數(shù)該如何確定？

生20：取它們的平均數(shù).

生21：他說的不對，應該是“這兩個數(shù)據(jù)都是眾數(shù)”.

師（問生20）：知道問題出在哪里面了嗎？

生20：知道了，我剛才把中位數(shù)和眾數(shù)混淆了.

師：好，請坐.這樣，老師說一個特殊的情況，如果每一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都相同，該如何確定眾數(shù)？

生20：我認為就沒有意義了.

師：我們認為此時眾數(shù)不存在.那么，眾數(shù)應該是部分數(shù)據(jù).（板書“部分”）大家覺得眾數(shù)表示數(shù)據(jù)的什么統(tǒng)計意義？

生22：我認為眾數(shù)表示“普遍情況”.（教師板書“普遍情況”）

師：中位數(shù)和眾數(shù)受極端值影響嗎？

生23：不受.

生24：應該說是影響較小.（教師板書“影響較小”）

師：A，B兩家公司哪家工資水平高？

生25：我認為B公司的工資水平高.這兩家公司的平均數(shù)相同，中位數(shù)和眾數(shù)B公司都比A公司高，因此，B公司工資水平高.

師：看來我們在分析一批數(shù)據(jù)時不能單一的看一個統(tǒng)計量，應該多方面的來分析.

師：我們了解了這批數(shù)據(jù)的很多信息了，大家說說看，如果你是趙強，你會選擇進哪家公司？

（課件展示問題3）

問題3：如果你是趙強，你會選擇哪家公司？

生26：我會選擇B公司，因為它的眾數(shù)高于A公司，入職后的工資較高.

生27：我會選擇A公司，因為它的副經(jīng)理和總經(jīng)理的工資高，并且升副經(jīng)理的機會大.

生26：那你要是從這個角度看，那B公司副經(jīng)理升總經(jīng)理的機會還更大呢？

生27：你B公司升了總經(jīng)理也沒我副經(jīng)理的工資高.

師：剛才兩位同學的爭論觀點鮮明，真精彩！也都有道理，一個是看到了經(jīng)理職位，積極進取;一個是想到了普遍情況，一切求穩(wěn).你們說的都對.同時，你們也說出了統(tǒng)計學的味道，藏在數(shù)據(jù)背后的學問還是蠻大的，有個人也有這樣的體會.

（課件展示名言：“世界上有三種謊言：謊言、該死的謊言，還有統(tǒng)計數(shù)據(jù).”——英國前首相，本杰明·迪斯雷利）

師：本杰明首相就真的想告訴我們“統(tǒng)計數(shù)據(jù)是謊言”嗎？誰給老師解讀一下.

生28：不是的，他應該說的是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的獲取是收集來的，本身它只能作為一種參考，另外，他還想告訴我們要多角度地分析問題然后做出決策.（教師板書“數(shù)據(jù)分析”“合理決策”）

師：答得真好，為他的發(fā)言鼓掌.

（眾生鼓掌）

師：經(jīng)過同學們的積極思考和爭論，我們獲取了關于三個統(tǒng)計量的整體認識，它們都是表示數(shù)據(jù)集中趨勢的，但描述的角度和使用的范圍不同，它們各自的特點也不相同，希望同學們在不同問題情境中要善于體會，合理選擇數(shù)據(jù)，從而做出正確的選擇.還是回到上面的問題，大家說，趙強感覺受騙了，他應該怎么決策？

生眾：跳槽.

點評 通過這個例子讓學生意識到，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)雖然相同，但是數(shù)據(jù)的特征存在著明顯的差異，需要運用不同的統(tǒng)計量來對數(shù)據(jù)進行比較.進而建構三種統(tǒng)計量的知識體系.

三、問題提出，簡單應用

師：果不其然，趙強和大家的想法一致，他選擇了辭職，自己開了一家服裝店.他積累了生活經(jīng)驗和數(shù)學知識，開始用數(shù)據(jù)來指導生活了，他收集了一月的銷售情況，趙強的弟弟趙明幫他算出了平均數(shù)……，大家請看例1.

（課件展示例1）

例1 趙強的服裝店在前一段時間內(nèi)銷售了200件某品牌襯衫，其中各型號襯衫的銷售量如下表：

趙強的弟弟趙明同學計算出平均數(shù)為175cm，就建議哥哥下次進貨時型號為175cm的襯衫多進貨.

（1）你知道趙明求平均數(shù)的方法嗎？你有簡單的計算方法嗎？

（2）你覺得趙明的哥哥會采納趙明的建議嗎？

師：你知道趙明是怎么算出平均數(shù)的嗎？請在練習本上算一下.

生29：我是把型號乘以件數(shù)，型號乘以件數(shù)等，然后加起來再除以總數(shù)，得到了175cm.

生30：我是先估計了一下，平均數(shù)差不多是175cm，我就記165cm為-10cm等，然后再計算，同樣得到了175cm.

師：有多少同學用了生30的方法，請舉手.不錯，大家都很聰明！知道較大的數(shù)可以用正負數(shù)表示，從而達到簡便計算的目的.

師：可以用上面的五個數(shù)加起來的和除以5嗎？

生31：不能.因為，這五個數(shù)的權不同，需要用加權平均數(shù)的計算方法.

（課件展示三種方法，并說明第一種做法雖然計算簡單，但是錯的）

做法一：（165+170+175+180+185）÷5=175（cm）;

做法二：（165×35+170×35+175×35+180×85+185×10）÷200=175（cm）;

做法三：175+（-10×35-5×35+0×35+5×85+10×10）÷200=175（cm）.

（第一種方法很容易被學生否認，第二種方法容易讓人接受，學優(yōu)生能提供第三種方法.）

點評 讓學生在計算平均數(shù)時順便復習平均數(shù)的簡便算法，提高學生的解題技巧，并且給學優(yōu)生一個充分展示的平臺，增強學生的合作交流的意識.

師：你覺得趙強會采納弟弟趙明的建議嗎？

生32：不會.因為，180cm的賣的最多，應該多進一些180cm的.

師：這位同學從眾數(shù)的角度分析了這件事，有道理.還有其他的觀點嗎？難道趙明計算的平均數(shù)175cm就一點用也沒有嗎？大家再算一下中位數(shù).

生眾：175cm.

師：這件事，老師是這樣想的，我覺得趙強會參考這個數(shù)據(jù)，因為超過一半的襯衫型號都在175cm和180cm這兩個型號上，我覺得應多進一些175cm和180cm的襯衫.大家同意老師的觀點嗎？

（學生紛紛舉手）

點評 通過不同角度的回答讓學生感受到回答方式的多樣性，意在鼓勵學生從多個角度分析問題，體會概率統(tǒng)計與數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何在解決問題時存在的差異.

師：大家有沒有體會到，現(xiàn)在我們接觸的統(tǒng)計和原來學習的數(shù)學有所不同？

生33：原來的都是要么就對，要么就錯，而今天學習的知識好像沒有對錯了.

師：是的，這就是統(tǒng)計學的味道.要么好，要么壞;要么合理，要么不合理.我們只需根據(jù)統(tǒng)計量做出合理決策.

（學生紛紛點頭，表示贊同）

師：趙明從這件事情上學到了知識，于是，回到學校，也用起今天的知識.他參加了學校里組織的活動.

（課件展示例2）

例2 學校舉行演講比賽，趙明等10位同學擔任評委，并事先擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分.

方案1：所有評委打分的平均數(shù).

方案2：在所有評委打分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其余打分的平均分.

方案3：所有評委打分的中位數(shù).

方案4：所有評委打分的眾數(shù).

為了探究上述方案的合理性，先對某個學生的演講成績進行了統(tǒng)計實驗.下面是這個學生的得分統(tǒng)計：3.2，7.0，7.8，8，8.4，9.8，8.4，9.8，9.8，8.4.

（1）分別按上述4個方案計算這個學生演講的最后得分;（分組進行）

（2）根據(jù)（1）的結果，請用統(tǒng)計的知識說明哪些方案不適合作為這個學生演講的最后得分.

師：我們把四種方案，分成四組來核算一下這位同學的最后得分.

（學生組內(nèi)計算）

師：我想找組內(nèi)代表發(fā)言.

生34：我們一組計算的結果是80.06分.

師：一組同學的結果一致吧？

（眾生點頭示意，表示贊同）

師：2組？

生35：我們的結果是84.5分.

生36：我們的結果是84分.

生37：我們的結果是98分和84分.

師：大家的計算都很正確.大家想一想，我們在認定一位同學測試成績的時候，用哪個數(shù)據(jù)代表不合適？

生38：第一組，因為第一組受極端值影響較大.

生39：第四組，因為眾數(shù)有兩個，并且它們的差距較大，不能較好地反映這個學生的成績.

師：還有補充嗎？

生40：第三組不合適，因為中位數(shù)只用到了個別的數(shù)據(jù)，不全面.

師：沒錯，我們常用二、三中方案核算最后得分，其中，生活中使用最多的就是第二種“去掉一個最高分，去掉一個最低分，算其余數(shù)據(jù)的平均分”.

點評 對本題用統(tǒng)計圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)信息，集平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的選擇決策于一身，重點考查三個描述集中趨勢的統(tǒng)計量的意義、計算及不同應用.特別是問題（2）具有很強的挑戰(zhàn)性和綜合性，是思維訓練的好素材.

四、知識梳理，總結收獲

師：趙明學到的生活經(jīng)驗和統(tǒng)計學知識肯定還會繼續(xù)傳播，甚至于走向同學們的生活，走向我們的課堂，同學們這節(jié)課你學到了什么？

生41：學到了數(shù)據(jù)分析，學到了用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分析數(shù)據(jù)的特征.

生42：我學會了利用分析出的數(shù)據(jù)進行多角度的、合理的決策.

（教師結合板書進一步強調(diào)）

師：很好.大家的發(fā)言都很精彩，對于問題的決策也有自己的見解.老師很佩服你們敢于堅持自己意見的勇氣，也很欣賞你們小組合作學習時的熱情，希望大家保持這種激情，在快樂學習中不斷豐富自己的生活經(jīng)驗.

點評 通過知識梳理，總結收獲，提煉方法，進一步明確本節(jié)課的主題和中心，既是對知識的提升，又給學生以啟迪和鞭策，實現(xiàn)對學生的情感和價值觀的教育，并讓學生感受數(shù)學的詩意.

總評

縱觀整節(jié)課，左老師并未把眼光局限于各統(tǒng)計量概念的知識與技能的回顧與訓練上，而是從關注統(tǒng)計的過程、統(tǒng)計的意識的形成這一高度來引導學生開展回顧與探究活動，讓學生進一步了解了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，并在具體情境中有選擇地進行運用，把一節(jié)常態(tài)的復習課上得精彩紛呈，切實地將“數(shù)據(jù)分析”這一數(shù)學核心素養(yǎng)實實在在地滲透到了教學中的每一個環(huán)節(jié)，讓學生體會到了統(tǒng)計量的現(xiàn)實意義，以及在生活中的應用，從而實現(xiàn)了數(shù)學的深度學習.具體地講，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.本節(jié)課教學目標明確，教學過程設計層次清晰，可見，備課時左老師注重了趣味性與知識性相結合，體現(xiàn)了寓教于樂的原則，整節(jié)課下來，能以學生為中心，幫助學生構建數(shù)學模型.

2.教育理念先進.左老師能貫徹“做中學”的教育理念，通過學生自主學習，培養(yǎng)學生的學習情感和探究精神.同時，左老師能實踐“用數(shù)學”的教育理念，通過設置聯(lián)系生活實際的數(shù)學問題，讓學生感受到數(shù)學的美妙，培養(yǎng)學生學以致用的良好習慣，激發(fā)學生的學習興趣.這使得這節(jié)課精彩紛呈，充分地讓學生感悟數(shù)學的本質(zhì)，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，這對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有現(xiàn)實意義.

3.復習引入環(huán)節(jié)設計巧妙.左老師從學生的實際生活出發(fā)引出本節(jié)課的三個特征量，激發(fā)了學生的興趣，又能過度到本節(jié)課的主題，起到承上啟下的作用.

4.知識網(wǎng)絡建構流暢，自然生成.左老師用復習引入環(huán)節(jié)中的實例幫助學生回憶已經(jīng)學過的知識，并通過“趙強選擇哪家公司”將問題引向深入，經(jīng)過同學們的積極思考和爭論，使他們獲取了關于三個統(tǒng)計量的整體認識（它們都是表示數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量），并體會到了要用這三個統(tǒng)計量做出合理決策.

5.注重小組合作、共同探究.我們知道，數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生交往、互動和共同發(fā)展的過程，能激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，使他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得了廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，有效地發(fā)揮了他們的學習主體作用.

6.本節(jié)課左老師設計了一定的開放性題目，這給學生留下了充分而廣闊的空間，發(fā)展了學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了學生思維的廣闊性.通過開放性題目的探索，給學生一個充分展示自我的機會，極大地調(diào)動了學生情緒的積極投入，很大程度上避免了教師陷入唱“獨角戲”境地的發(fā)生.

7.突出和諧的教學氛圍.學生通過左老師設計的豐富的教學情境，將概念復習融入其中，選取的問題貼近學生、貼近時代.在本節(jié)課的教學中，左老師特別重視讓學生開展活動，讓學生的興趣在了解探究中產(chǎn)生，讓學生的思考在分析真實數(shù)據(jù)中形成，讓學生的理解在集體討論中加深，讓學生的學習在合作探究活動中進行，整節(jié)課始終圍繞現(xiàn)實情境展開，避免了枯燥乏味的數(shù)據(jù)分析與計算.這樣，知識的理解、學習與掌握不再是一種任務和負擔，而是一種精神上的充實和享受.

總之，“數(shù)據(jù)的分析”復習的課堂教學不能只把眼光局限在各統(tǒng)計量概念的知識與技能的回顧與訓練上，而是要從關注統(tǒng)計的過程、統(tǒng)計的意識的形成這一高度來引導學生開展回顧與探究活動，讓學生進一步了解了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，并在具體情境中有選擇地進行運用，切實地將“數(shù)據(jù)分析”這一數(shù)學核心素養(yǎng)實實在在地滲透到了教學中的每一個環(huán)節(jié)，讓學生切身體會到統(tǒng)計量的現(xiàn)實意義，以及在生活中的應用.這節(jié)課之所以上得生動活潑，教學效果好，最主要的原因就是教師將學習的主動權交給了學生，并遵循了“統(tǒng)計”的課程理念，做到讓學生的復習經(jīng)歷了一個梳理并建構知識體系的完整過程.