理解數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)涵

【摘 要】數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本點(diǎn)，是顯性的，但卻非核心。從學(xué)科教育的角度來看，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的“核心概念”是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心所在。文章結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容要求和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)例，簡要介紹了與初中數(shù)學(xué)課程相關(guān)的若干“核心概念”的基本內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】符號(hào)意識(shí) 幾何直觀 數(shù)據(jù)分析觀念 運(yùn)算能力 推理能力 模型思想

相信每一位數(shù)學(xué)老師都立志“教好”數(shù)學(xué)，也都知道為此必須“理解”要教授的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，并且也都認(rèn)可那些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容并不是我們教學(xué)的核心所在，那么我們要教授的數(shù)學(xué)課程的核心究竟是什么呢？

首先需要明確的是，對(duì)處于義務(wù)教育階段的絕大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)是他們未來生存和發(fā)展過程中解決問題的工具，是促進(jìn)他們能力提高的有效載體，而不是他們未來職業(yè)生涯中的研究對(duì)象。那么，在這一階段，數(shù)學(xué)核心的教育價(jià)值究竟是什么？對(duì)此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“課程內(nèi)容”部分給出了明確的說明：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

這就是所謂的義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的10個(gè)“核心概念”。除去應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)這兩個(gè)為所有課程所必須關(guān)注的核心概念以外，與初中階段數(shù)學(xué)課程關(guān)系密切的有符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。下文筆者試圖根據(jù)親身經(jīng)歷的《標(biāo)準(zhǔn)》修訂過程和自己的理解，對(duì)上述6個(gè)核心概念的內(nèi)涵做簡單的闡述，以期為大家理解核心概念提供幫助，進(jìn)而為深入理解數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、有效實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)提供線索。

一、符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵與體現(xiàn)

按照《標(biāo)準(zhǔn)》的界定，符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、運(yùn)算和推理，知道由此而得到的結(jié)論具有一般性。本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)在引入抽象的符號(hào)之后，才真正成為現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)，并顯露出其“追求一般意義”的本質(zhì)。

對(duì)學(xué)生而言，只有在接觸到抽象的符號(hào)之時(shí)，才可算是開始代數(shù)學(xué)習(xí)之日。這里，學(xué)生遇到的數(shù)學(xué)符號(hào)基本可以分為兩類：對(duì)象符號(hào)——數(shù)字、字母、關(guān)系式、圖像（表）等；運(yùn)算符號(hào)——四則運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、代數(shù)關(guān)系等。此時(shí)，符號(hào)意識(shí)有以下兩個(gè)含義：作為表示的工具和作為運(yùn)算的對(duì)象。

對(duì)于“作為表示的工具”，其基本含義是：在研究一些數(shù)學(xué)的、非數(shù)學(xué)的現(xiàn)象中，能夠運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)語言和符號(hào)表達(dá)其中存在的多種數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)規(guī)律，也能夠了解借用數(shù)學(xué)符號(hào)（表達(dá)式）所呈現(xiàn)的對(duì)象的數(shù)學(xué)特征；同時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)推理過程。

對(duì)于“作為運(yùn)算的對(duì)象”，其基本含義是：能夠按照既定的法則、規(guī)律從事必要的運(yùn)算，并理解有關(guān)運(yùn)算的含義、原理。

在當(dāng)前教學(xué)實(shí)際過程中，更應(yīng)當(dāng)引起我們關(guān)注的是：符號(hào)不能僅僅被視為抽象的“符號(hào)”——只是對(duì)它們進(jìn)行一些不賦予任何含義的運(yùn)算，而應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)對(duì)它們的理解，以及在理解基礎(chǔ)上的有效應(yīng)用。

就具體內(nèi)容而言，符號(hào)意識(shí)主要與《標(biāo)準(zhǔn)》里的“數(shù)與代數(shù)”部分相關(guān)，涉及的相關(guān)主要條目包括：（1）借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義；（2）能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；（3）理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則，能進(jìn)行簡單的整式加法、減法和乘法運(yùn)算；（4）能推導(dǎo)乘法公式（具體略），并能利用公式進(jìn)行簡單運(yùn)算；（5）能用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解；（6）了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，能進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除運(yùn)算。

由此可見，幫助學(xué)生初步形成符號(hào)意識(shí)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維特別是抽象思維的起始，而學(xué)生的符號(hào)意識(shí)主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：用符號(hào)表示和操作符號(hào)。因此，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷“從具體到抽象”的過程，從事“用符號(hào)表達(dá)一般關(guān)系”“對(duì)符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換”和“解釋符號(hào)所表達(dá)的對(duì)象（操作）的實(shí)際含義”等活動(dòng)。

需要注意的是，這里的數(shù)學(xué)符號(hào)一定與具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)活動(dòng)密切關(guān)聯(lián)，不宜被視為“毫無意義”的純粹符號(hào)。而且符號(hào)意識(shí)的強(qiáng)與弱和能夠操作符號(hào)（比如進(jìn)行多項(xiàng)式運(yùn)算、因式分解等）的復(fù)雜程度并無直接關(guān)聯(lián)。

二、幾何直觀的內(nèi)涵與體現(xiàn)

按照《標(biāo)準(zhǔn)》的界定，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。因此，幾何直觀與空間觀念相同之處在于，兩者都是借助圖形進(jìn)行思維；兩者不同之處在于，空間觀念的思考對(duì)象一定是物體（圖形），著眼于表述思維對(duì)象原有的幾何結(jié)構(gòu)，而幾何直觀的思考對(duì)象可以是（也經(jīng)常是）代數(shù)關(guān)系及其他的非幾何圖形，此時(shí)只是借助圖形形象地表達(dá)思考對(duì)象的數(shù)學(xué)特征（關(guān)系）。

例如：任何兩個(gè)人之間要么互相握過手，要么沒有。如果我們用兩點(diǎn)之間是否存在連線，表示它們所代表的兩個(gè)人相互間是否握過手，那么，在個(gè)人組成的集合中，彼此間握過手的情況可以用一個(gè)類似于“n邊形”的圖像直觀地表示：圖像中所有的線段數(shù)k就表示有k組人彼此間握過手。

在《標(biāo)準(zhǔn)》“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”里的“數(shù)與代數(shù)”部分，與此相關(guān)的主要條目包括：（1）能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，比較有理數(shù)的大?。焕斫庀喾磾?shù)和絕對(duì)值的意義；能夠在數(shù)軸上表示出一元一次不等式的解集。（2）了解乘法公式的幾何背景。（3）能結(jié)合圖象對(duì)簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析；能根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0時(shí)圖象的變化情況；能根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=■（k≠0）探索并理解k>0和k<0時(shí)圖象的變化情況；能通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)。（4）會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決簡單實(shí)際問題；會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。

這其中，（1）（2）兩條屬于建立幾何直觀的初級(jí)階段，即初步了解相關(guān)代數(shù)內(nèi)容的幾何表示，而（3）（4）兩條屬于建立幾何直觀的高級(jí)階段，即應(yīng)用幾何直觀從事對(duì)代數(shù)對(duì)象的研究，特別是（4）為此次《標(biāo)準(zhǔn)》新增條目，體現(xiàn)了關(guān)注培養(yǎng)應(yīng)用幾何直觀研究代數(shù)對(duì)象的能力，畢竟，表達(dá)式y(tǒng)=a（x-h）2+k較y=ax2+bx+c有更為明顯的幾何意義。

在《標(biāo)準(zhǔn)》“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”里的“圖形與幾何”部分，與此相關(guān)的主要條目大多包含在“圖形的變化”部分，如：（1）了解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì)；了解常見的軸對(duì)稱圖形，探索它們的基本性質(zhì)。（2）了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)；探索常見中心對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)。（3）認(rèn)識(shí)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，探索其基本性質(zhì)，運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。（4）了解圖形的相似（位似），探索多邊形相似（位似）的基本性質(zhì)。

如上所述，幾何直觀的基本特征是“借助圖形進(jìn)行思維”，因此，幫助學(xué)生在頭腦里構(gòu)建基本的圖形結(jié)構(gòu)和變化方式是培養(yǎng)其幾何直觀的基礎(chǔ)。這里，“對(duì)稱”“運(yùn)動(dòng)”與“相似”是最為基本的部分。數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思維方式就是一種典型的幾何直觀。而發(fā)展形似幾何直觀的最基本做法就是“畫一個(gè)圖表示正在思考的問題，包括它的條件、彼此間的關(guān)系，以及需要確定的結(jié)論，等等”。

三、數(shù)據(jù)分析觀念

數(shù)據(jù)分析觀念為每一位現(xiàn)代公民所必備，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此的解釋包括兩個(gè)部分。

其一，了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷……了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。

這表明，數(shù)據(jù)分析觀念的核心是：面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題時(shí)能夠想到并且實(shí)現(xiàn)“用數(shù)據(jù)說話”。或者說，一個(gè)是“用數(shù)據(jù)說話”的意識(shí)，一個(gè)是“用數(shù)據(jù)說話”的能力。所謂“用數(shù)據(jù)說話”的意識(shí)，即指當(dāng)個(gè)體面臨需要做出決策的情境、需要解決的問題時(shí)，能否意識(shí)到需要收集相關(guān)信息、數(shù)據(jù)，以幫助自己做出明智的判斷、決策；而“用數(shù)據(jù)說話”的能力則指能夠有效從事“用數(shù)據(jù)說話”的基本過程：收集數(shù)據(jù)—表達(dá)數(shù)據(jù)—處理數(shù)據(jù)—解釋結(jié)果。

例如，在現(xiàn)實(shí)情形中，我們常常會(huì)發(fā)現(xiàn)在自己生活的城市里，某個(gè)交通路口在一定的時(shí)段內(nèi)（如上下班高峰時(shí)間）南北向車輛堵塞的情況很嚴(yán)重，而同一時(shí)段內(nèi)東西向車輛行駛則比較順暢，此時(shí)，就會(huì)想到在該路口重新設(shè)置紅綠燈變換頻率和時(shí)長，為了使得重新設(shè)置的方案能夠有效地解決南北向車輛堵塞的情況，又不給東西向車輛行駛造成較明顯障礙，設(shè)計(jì)者就應(yīng)當(dāng)有“統(tǒng)計(jì)意識(shí)”——首先統(tǒng)計(jì)該時(shí)段路口南北向車輛、東西向車輛通過的具體數(shù)據(jù)，并以此作為重新設(shè)置紅綠燈方案的基本依據(jù)，而不是隨意地做加減法。

其二，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這說明，“用數(shù)據(jù)說話”的結(jié)果并非確定的，即對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同（但從足夠多的數(shù)據(jù)中可能發(fā)現(xiàn)規(guī)律）。通常，對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，需要根據(jù)問題的特征選擇不同的處理方法。而且，根據(jù)數(shù)據(jù)處理結(jié)果所得到的推斷并不一定正確（但具有合理的可信度）。

例如：電視臺(tái)需要了解某個(gè)欄目在A市的收視率，不可能對(duì)A市所有電視觀眾一一詢問。通常采取的做法是“抽樣調(diào)查”方法，即按照某種抽樣方式（隨機(jī)抽樣或分層抽樣），在該市抽取一定數(shù)量的個(gè)體作為調(diào)查樣本，將所獲得的具體數(shù)據(jù)做數(shù)據(jù)處理，并以相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理結(jié)果作為A市該欄目的收視率。這里，“借用樣本估計(jì)總體”的思維過程就是“數(shù)據(jù)分析觀念”的一種體現(xiàn)，它的過程屬于“或然推理”：一方面，用這種方式形成的推斷具有較大的可信度，能夠作為有效結(jié)論使用；但另一方面，它也可能有誤差，即與真實(shí)情況不相吻合。

就具體內(nèi)容而言，數(shù)據(jù)分析觀念主要與《標(biāo)準(zhǔn)》里的“統(tǒng)計(jì)與概率”部分相關(guān)，涉及的主要條目包括：（1）經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、表達(dá)數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)和解釋結(jié)果的過程；（2）能夠選擇并制作相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表表達(dá)數(shù)據(jù)，能夠計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并理解其含義；（3）能夠解釋數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并根據(jù)結(jié)果做出簡單判斷和預(yù)測；（4）了解樣本與總體的關(guān)系，可以根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)特征，推斷總體的數(shù)據(jù)特征。

由此可知，數(shù)據(jù)分析觀念的思維層次較高，它建立在邏輯思維基礎(chǔ)之上，屬于對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的“合理性”解釋。發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念必須在真實(shí)的情境中進(jìn)行，必須破除以往“真實(shí)條件+正確思維過程=正確結(jié)果”“一個(gè)數(shù)學(xué)問題的答案要么正確要么錯(cuò)誤”等思維定式，而代之以“結(jié)論是否合理”“答案是否好”等思維方式。

四、運(yùn)算能力的內(nèi)涵與體現(xiàn)

運(yùn)算能力是典型的數(shù)學(xué)能力，但隨著時(shí)代的發(fā)展，內(nèi)涵的變化十分明顯?！稑?biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算能力的描述是：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。簡單地說，運(yùn)算能力僅指能夠“正確地從事運(yùn)算”，而不涉及運(yùn)算速度和巧妙程度。

之所以有這么大的變化，主要因?yàn)槟壳叭藗兡軌蚍浅７奖愕厥褂脵C(jī)器從事數(shù)學(xué)運(yùn)算（包括代數(shù)運(yùn)算），數(shù)學(xué)運(yùn)算已經(jīng)成為一種“機(jī)械思維活動(dòng)”——可以借助機(jī)器，按照既定的程序反復(fù)操作而獲得結(jié)果。人類思維的主要精力將不再集中于此，而是致力于從事更為高級(jí)的創(chuàng)造性活動(dòng)。

同時(shí)，《標(biāo)準(zhǔn)》也說明：培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。即：理解算理是發(fā)展運(yùn)算能力的一個(gè)重要方面，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題也是發(fā)展運(yùn)算能力的一個(gè)重要方面。這里的“合理簡潔的運(yùn)算途徑”更多地指根據(jù)解決問題的需要所選擇的“恰當(dāng)運(yùn)算方式”——精確計(jì)算還是估算，借助工具計(jì)算還是手算，等等，而不是“簡便算法”。

在《標(biāo)準(zhǔn)》“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”里的“數(shù)與代數(shù)”部分，與此相關(guān)的主要條目包括：

（1）關(guān)于數(shù)的運(yùn)算

理解有理數(shù)的運(yùn)算律，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對(duì)應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根；能求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值；能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍；了解近似數(shù)，在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算，并會(huì)按問題的要求對(duì)結(jié)果取近似值。

（2）關(guān)于式的運(yùn)算

了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運(yùn)算；能進(jìn)行簡單的整式（分式）的加減法和乘法運(yùn)算；能推導(dǎo)乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2；并能利用公式進(jìn)行簡單計(jì)算；能用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。

（3）運(yùn)用運(yùn)算解決問題

能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程、二元一次方程組、數(shù)字系數(shù)的一元二次方程、一元一次不等式（組）。

從上述標(biāo)準(zhǔn)可見，關(guān)于運(yùn)算的學(xué)習(xí)，在理解相關(guān)運(yùn)算原理的基礎(chǔ)上，對(duì)于數(shù)的計(jì)算技能要求在降低（如開方），但對(duì)于計(jì)算器的使用比較關(guān)注；對(duì)于式的運(yùn)算則強(qiáng)調(diào)“基本與簡單”。事實(shí)上，所有的運(yùn)算學(xué)習(xí)與訓(xùn)練更多地指向“運(yùn)用運(yùn)算解決問題”，即能夠求解《標(biāo)準(zhǔn)》中所開列的方程（組）、不等式（組）。

五、模型思想的內(nèi)涵與體現(xiàn)

模型思想是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的典型思想。從數(shù)學(xué)教育的角度來看，建立模型思想本質(zhì)上是幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。而培養(yǎng)學(xué)生模型思想的基本活動(dòng)就是建立模型。按照《標(biāo)準(zhǔn)》的說明，建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。

這說明，模型思想的應(yīng)用包括三大步驟：從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)模型——從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，尋找相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；處理數(shù)學(xué)模型——求解模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；得到原問題的結(jié)果——討論結(jié)果的意義，檢驗(yàn)結(jié)果的適切性。

這樣的過程可以用下圖表示：

在《標(biāo)準(zhǔn)》“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”里的“數(shù)與代數(shù)”部分，與此相關(guān)的主要條目包括：（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；能夠解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程、二元一次方程組、數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，一元一次不等式（組）；能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。（2）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式（組），能夠應(yīng)用一元一次不等式解決簡單的問題。（3）能夠表達(dá)簡單實(shí)際問題中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系（一元一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)），并進(jìn)行分析；能夠應(yīng)用上述函數(shù)關(guān)系解決簡單問題。

因此，關(guān)于模型思想的教學(xué)需要明確的是：課程所涉及的主要數(shù)學(xué)模型包括方程（組）、不等式（組）與函數(shù)。而學(xué)習(xí)的內(nèi)容為：建立模型；求解（分析）模型；結(jié)果檢驗(yàn)。

發(fā)展學(xué)生的模型思想需要讓他們經(jīng)歷真正的解決問題的過程，而不僅僅是套用現(xiàn)成的公式、方法或例題解決相似的問題。在實(shí)際的建立模型過程中，教師應(yīng)盡可能選擇“真實(shí)的問題”，鼓勵(lì)學(xué)生借助各種工具、資源，并以小組合作的方式，經(jīng)歷完整的解決問題的過程。

六、推理能力的內(nèi)涵與體現(xiàn)

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)推理與推理能力所做的說明是：推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成——合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。

這表明，一個(gè)完整的推理過程往往包括合情推理和演繹推理。它們對(duì)于推理過程、結(jié)果的貢獻(xiàn)各不相同，難分伯仲。簡單地說，在探索事物規(guī)律（特征）的過程中，合情推理活動(dòng)顯得更明顯，而在確認(rèn)事物規(guī)律（特征）的過程中，演繹推理活動(dòng)顯得更明顯。

在《標(biāo)準(zhǔn)》“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”里，與此直接相關(guān)的主要條目包括：

（1）“數(shù)與代數(shù)”部分

①分析問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立方程（組）、不等式（組）與函數(shù)關(guān)系式。②求解方程（組）與不等式（組）。

這些都屬于“代數(shù)推理”，即推理的基本依據(jù)是數(shù)學(xué)公式、代數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，推理的基本類型是演繹推理。其中對(duì)邏輯關(guān)系領(lǐng)悟要求較高的是《標(biāo)準(zhǔn)》新增的“會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式”。

（2）“圖形與幾何”部分

①探究圖形性質(zhì)，圖形之間的形狀、大小和位置關(guān)系。②分析圖形運(yùn)動(dòng)過程中的不變量（關(guān)系）。③證明相應(yīng)的幾何定理。④應(yīng)用幾何定理解決問題。

這些都屬于“幾何推理”，推理的基本類型包括合情推理與演繹推理。其中，①和②主要是合情推理，即推理的基本依據(jù)是已有的條件、各種探究性活動(dòng)（測量、作圖、計(jì)算等）所得的結(jié)果；推理的主要方式包括類比、歸納、概括等；而③和④主要是演繹推理，即推理的基本依據(jù)是已有的條件、基本幾何事實(shí)；推理的主要方式是邏輯論證。

要提高學(xué)生的推理能力，這兩者皆不可偏廢。有益的做法是經(jīng)常讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程——先合情推理，再演繹推理；并且有意識(shí)地將兩者結(jié)合起來——在進(jìn)行合情推理時(shí)思考“合情”的理由，在進(jìn)行演繹推理時(shí)注重尋找合理的證明思路。因此，《標(biāo)準(zhǔn)》中表述推理活動(dòng)的要求時(shí)通常采用“探索……性質(zhì)”“探索并證明……”的字樣?！?/p>

【參考文獻(xiàn)】

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]馬復(fù)，凌曉牧主編.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（作者系南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授，教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組核心成員，教育部中小學(xué)教材審查委員）