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    函數(shù)的奇偶性高考題賞析

    2019-11-07 08:54:58田發(fā)勝
    關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)增函數(shù)

    ■田發(fā)勝

    奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,在研究函數(shù)有關(guān)問題時,有著舉足輕重的作用。因此,函數(shù)的奇偶性在高考中成為命題的熱點。下面以高考題為例,說明函數(shù)奇偶性的常見考查方式,并給予評析,幫助同學(xué)們更好地理解函數(shù)的奇偶性,運用函數(shù)的奇偶性解題。

    一、判斷函數(shù)的奇偶性

    例1下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( )。

    解:記f(x)=x+ex,則f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1,可知f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以y=x+ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。依題意可知B,C,D依次是奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù)。故選A。

    例2設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )。

    A.f(x)g(x)是偶函數(shù)

    B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

    C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

    D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

    解:設(shè)F(x)=f(x)|g(x)|,則F(-x)=f(-x)|g(-x)|。

    由f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),可得F(-x)=-f(x)·|g(x)|=-F(x),即F(x)為奇函數(shù)。應(yīng)選C。

    例3若函數(shù)為偶函數(shù),則

    解:由函數(shù)為偶函數(shù),可得為奇函數(shù),則滿足

    評析:判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,一般是利用定義,驗證f(x)與f(-x)的關(guān)系,也可以利用特殊值加以驗證。

    二、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值

    例4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x),滿足f(x)+g(x)=axa-x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,則

    解:由f(2)+g(2)=a2-a-2+2,可得f(-2)+g(-2)=a-2-a2+2,再由函數(shù)的奇偶性可得-f(2)+g(2)=a-2-a2+2。由此解得g(2)=2,f(2)=a2-a-2,所以a=

    評析:利用奇偶性求函數(shù)的值,不需要求出相應(yīng)的解析式,而要抓住自變量是相反數(shù)時函數(shù)值的關(guān)系,靈活處理。

    三、利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性解不等式或比較大小

    例5已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍是

    解:由f(x)是偶函數(shù),且f(x-1)>0,可得f(|x-1|)>0=f(2)。由f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,可得|x-1|<2,解得-1<x<3。

    評析:利用函數(shù)的奇偶性解不等式,一般是把不等式變?yōu)橄鄳?yīng)函數(shù)值的大小比較問題,再利用其單調(diào)性求解。特別地,若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),要注意應(yīng)用性質(zhì)f(x)=可簡化運算。

    例6已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=x f(x),若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為( )。

    A.a<b<cB.c<b<a

    C.b<a<cD.b<c<a

    解:因為f(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),所以當x>0時,f(x)>0,從而g(x)=x f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù)。由題意得a=g(-log25.1)=g(log25.1)。因為20.8<2,4<5.1<8,所以2<log25.1<3,所以0<20.8<log25.1<3。

    故g(20.8)<g(log25.1)<g(3),即b<a<c。應(yīng)選C。

    評析:指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小,要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。需要注意的是靈活利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合方法是解答這類問題的關(guān)鍵。

    四、利用函數(shù)的奇偶性解決圖像問題

    例7函數(shù)的圖像大致為( )。

    解:易知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱,A不適合題意。當x>0時,f(x)>0,從而排除D。當x→+∞時,f(x)→+∞,排除C。應(yīng)選B。

    評析:給定函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)圖像時,要充分利用函數(shù)的性質(zhì),運用排除法求解。

    例8設(shè)函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則

    解:函數(shù)

    所以M+m=[g(x)max+1]+[g(x)min+1]=g(x)max+g(x)min+2=2。

    評析:本題利用常規(guī)方法是求不出函數(shù)的最值的,而利用奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱,其最值也關(guān)于坐標原點對稱,則可求出結(jié)果。

    五、利用函數(shù)的奇偶性與周期性,解決函數(shù)的綜合問題

    例9已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且以2為周期,則“f(x)在[0,1]上為增函數(shù)”是 “f(x)在 [3,4]上為減函數(shù)”的( )。

    A.既不充分也不必要的條件

    B.充分而不必要的條件

    C.必要而不充分的條件

    D.充要條件

    解:因為f(x)為偶函數(shù),f(x)在[0,1]上是增函數(shù),所以f(x)在[-1,0]上為減函數(shù)。又因為函數(shù)f(x)的周期是4,所以在區(qū)間[3,4]上也為減函數(shù)。由f(x)在區(qū)間[3,4]上為減函數(shù),根據(jù)函數(shù)的周期性可知f(x)在[-1,0]上為減函數(shù),由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),根據(jù)對稱性可知f(x)在[0,1]上為增函數(shù)。綜上可知,“f(x)在[0,1]上為增函數(shù)”是“f(x)在[3,4]上為減函數(shù)”的充要條件。應(yīng)選D。

    例10已知函數(shù)f(x)的定義域為R。當x<0時,f(x)=x3-1;當-1≤x≤1時,則f(6)=( )。

    A.-2 B.-1

    C.0 D.2

    解:因為當,所以當時,f(x)是周期為1的周期函數(shù),所以f(6)=f(1)。由題設(shè)可知,當-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2。應(yīng)選D。

    評析:這類問題主要是利用函數(shù)的奇偶性和周期性,考查轉(zhuǎn)化能力、推理論證能力。例9涉及充要條件知識,有興趣的同學(xué)可以探究一下。

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