函數(shù)應(yīng)用中的創(chuàng)新問題

■傅紅玲 陳立明

本文對(duì)函數(shù)應(yīng)用中的創(chuàng)新問題的求解方法進(jìn)行歸納總結(jié)，希望對(duì)同學(xué)們求解創(chuàng)新問題有所幫助與啟迪。

創(chuàng)新1：函數(shù)最大值與最小值之和中的整體思維

例1已知函數(shù)f（x）=ln（x+的最大值和最小值分別是M和m，則M+m=

解：利用指數(shù)作為變量的分式函數(shù)和對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)，研究奇偶性和單調(diào)性確定其最值。由[-k，k]，可知g（x）為增函數(shù)，可得g（-k）≤g（x）≤g（k），g（-k）+g（k）=，即g（x）關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱，而由h（x）=ln（x+可知h（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，可得h（-k）≤h（x）≤h（k），且h（-k）+h（k）=0。故M+m=f（k）+f（-k）=g（k）+h（k）+g（-k）+h（-k）=g（-k）+g（k）+h（-k）+h（k）=g（-k）+g（k）=4。

升華：本題實(shí)質(zhì)上是求遞增的奇函數(shù)與遞增的中心對(duì)稱函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的最大值與最小值的和。研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性以及樹立整體思維的意識(shí)是求解的關(guān)鍵。

創(chuàng)新2：由函數(shù)的值域探究其定義域

例2設(shè)分段函數(shù)f（x）=若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，4]上的值域?yàn)?[-1，2]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

解：由函數(shù)的值域探究其定義域，可利用數(shù)形結(jié)合法切入。作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖1所示。

圖1

當(dāng)x≤-1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且最小值為令，解得x=-8;當(dāng)x＞-1時(shí)，函數(shù)在（-1，2）上單調(diào)遞增，在[2，+∞）上單調(diào)遞減，其最大值為2，且

結(jié)合函數(shù)圖像可得所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為

升華：由函數(shù)值域探究其定義域系逆向思維，利用定義域到值域唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助函數(shù)圖像和特殊函數(shù)值處的自變量的取值，以形助數(shù)和運(yùn)動(dòng)變化的觀念是探究其定義域的關(guān)鍵。

創(chuàng)新3：自變量與函數(shù)值求和中的整體思維

例3已知函數(shù)g（x）對(duì)任意的x∈R，都有成立g（x）的圖像有m個(gè)交點(diǎn)…，（xm，ym），則

解：探究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心是解題的切入點(diǎn)。由題設(shè)，令t=2x-2013，則2018-2x=5-t，可得g（5-t）=3-g（t），可知y=g（x）的對(duì)稱中心為由f（x）=，可知y=f（x）的對(duì)稱中心為據(jù)此可知y=f（x）與的圖像有m個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以x1+xm=x2+xm-2=x3+xm-3=…=5，y1+ym=y2+ym-2=y3+ym-3=…=3。

設(shè)x1+x2+…xm-1+xm=M，則xm+xm-1+…+x2+x1=M，兩式相加可得

升華：利用換元法探究函數(shù)圖像的對(duì)稱中心是本題的一個(gè)創(chuàng)新;求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的自變量與函數(shù)值的和，探究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的同一對(duì)稱中心，利用整體思維的意識(shí)簡(jiǎn)化求解是本題的又一個(gè)創(chuàng)新。

創(chuàng)新4：函數(shù)不等式中的合理轉(zhuǎn)化

例4已知函數(shù)f（x）=2x且f（x）=g （x）+h（x），其中g(shù) （x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，若不等式3a g （x）+h（2x）≥0對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解：由已知得g （x）+h（x）=2x，注意g （x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，則g（-x）+h（-x）=2-x，即-g（x）+h （x）=2-x。由此解得，代入不等式3a g（x）+h（2x）≥0，可知在[1，2]上恒成立。

令t=2x-2-x，則可得22x+2-2x=t2+2。

故上述不等式可轉(zhuǎn)化為3a≥可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)取得最大值為由此可得，即a∈

升華：利用奇偶性構(gòu)建方程組，求待定解析式是本題的一個(gè)創(chuàng)新;把函數(shù)不等式問題合理轉(zhuǎn)化為含指數(shù)變量的不等式恒成立問題是本題的又一個(gè)創(chuàng)新。本題的解題過程凸顯函數(shù)不等式中的合理轉(zhuǎn)化思想。

創(chuàng)新5：新定義的圖像交點(diǎn)問題

例5若點(diǎn)A，B分別是函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖像上的點(diǎn)，且線段A B的中點(diǎn)恰好為原點(diǎn)O（0，0），則稱A，B為兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)“孿生點(diǎn)”。若函數(shù)f（x）=l g|x|，g（x）=2x，則這兩個(gè)函數(shù)的“孿生點(diǎn)”共有（ ）。

A.1對(duì) B.2對(duì)

C.3對(duì) D.4對(duì)

解：由題意可知“孿生點(diǎn)”為y=f（x）與y=g（x）的交點(diǎn)且交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此也就是求y=f（x）與y=-g（-x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。由g（x）=2x，得-g（-x）=-2-x=，畫出與y=l g|x|的圖像，如圖2所示。

圖2

由圖2可知，兩個(gè)函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，所以f（x）=l g|x|與g（x）=2x這兩個(gè)函數(shù)的“孿生點(diǎn)”共有2對(duì)。應(yīng)選B。

升華：解答新定義的函數(shù)圖像交點(diǎn)問題的關(guān)鍵是弄清新定義的含義，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算。本題通過定義兩個(gè)函數(shù)的“孿生點(diǎn)”達(dá)到考查對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖像以及函數(shù)圖像的對(duì)稱變換的目的。

創(chuàng)新6：超越方程中的最值問題

例6已知方程2018x=a-x和方程log2018x=a-x（a＞1）的根分別為x1，x2，則的取值范圍為（ ）。

解：注意到兩個(gè)方程的特征，利用同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱以及根的意義為切入點(diǎn)，構(gòu)建二次函數(shù)在區(qū)間上的最值求解。由題意可知y=2018x與y=log2018x互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。由可得交點(diǎn)坐標(biāo)滿足于是恒有x+x=2×12設(shè)0＜x1＜x2，則，所以注意到函數(shù)g（x1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是可得g（x1）＜g（0）=a2。應(yīng)選B。

升華：利用互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，探究?jī)筛年P(guān)系，選擇主元挖掘隱含條件，構(gòu)建函數(shù)求解取值范圍問題。解答本題的關(guān)鍵是如何縮小主元的取值范圍，如由對(duì)稱性及隱含條件可得

創(chuàng)新7：復(fù)合函數(shù)中的不等式問題

例7已知分段函數(shù)f（x）=則不等式f（2x2-|x|）≤5的解集為

解：作出分段函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的單調(diào)性求解。

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x2+x+1=且函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)x≥0時(shí)且函數(shù)為增函數(shù)。畫出分段函數(shù)f（x）的圖像，如圖3所示。

圖3

因?yàn)閒（1）=5，所以不等式f（2x2-|x|）≤5等價(jià)于則，即解得或，所以

升華：解答復(fù)合函數(shù)中的不等式問題的關(guān)鍵是樹立“整體變量”觀念的應(yīng)用意識(shí)。解題時(shí)，作出分段函數(shù)的圖像便于尋找分界點(diǎn)和單調(diào)性。