函數(shù)的應(yīng)用常見(jiàn)典型考題賞析

■張文偉

題型一：二分法求函數(shù)零點(diǎn)

二分法只適用于變號(hào)零點(diǎn)，二分法是求方程的根的近似值的一種方法。其記憶口訣是：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間，周而復(fù)始怎么辦，精確度上來(lái)判斷。

例1用二分法求函數(shù)f（x）=ln（x+1）+x-1在區(qū)間[0，1]上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（ ）。

A.5 B.6

C.7 D.8

解：開(kāi)區(qū)間（0，1）的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過(guò)一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，經(jīng)過(guò)n次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)橐驗(yàn)橛枚址ㄇ蠛瘮?shù)f（x）=ln（x+1）+x-1在區(qū)間[0，1]上的近似解，要求精確度為0.01，所以0.01，解得n≥7。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練1：用二分法求圖像連續(xù)不斷的函數(shù)f（x）在（1，5）上的近似解（精確度為0.1），求解的部分過(guò)程如下：f（1）·f（5）＜0，取（1，5）的中點(diǎn)，計(jì)算得f（1）·f（x1）＜0，f（x1）·f（5）＞0，則此時(shí)能判斷函數(shù)f（x）一定有零點(diǎn)的區(qū)間為

提示：因?yàn)閒（x）為圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，且f（1）·f（3）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）內(nèi)一定有零點(diǎn)。

題型二：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

確定函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間的兩種常用方法：（1）定義法：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)y=f（x）必須在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當(dāng)f（a）·f（b）＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。（2）圖像法：若一個(gè)函數(shù)（或方程）由兩個(gè)初等函數(shù)的和（或差）構(gòu)成，則可考慮用圖像法求解，如f（x）=g（x）-h（x），作出y=g（x）和y=h（x）的圖像，其圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)。

例2函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）。

A.（0，1） B.（1，2）

C.（2，3） D.（3，4）

解：因?yàn)閒（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，所以由零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（1，2）。應(yīng)選B。

跟蹤訓(xùn)練2：設(shè)f（x）=lnx+x-2，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）。

A.（0，1） B.（1，2）

C.（2，3） D.（3，4）

提示：（方法1）因?yàn)閒（1）=0+1-2=-1＜0，f（2）=ln 2+2-2=ln2＞0，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2）。應(yīng)選B。

（方法2）函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=lnx與h（x）=-x+2的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍。作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1所示。

由圖1可知，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2）。應(yīng)選B。

圖1

題型三：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法：（1）方程法：令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)。（2）零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)所具有的性質(zhì)。（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)。

例3函數(shù)f（x）=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）。

A.0 B.1

C.2 D.3

解：由題意可知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）。在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=|x-2|（x＞0）和y=lnx（x＞0）的圖像，如圖2所示。

圖2

由圖2可知，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練3：已知分段函數(shù)f（x）=（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則e函數(shù)y=f[f（x）]-f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）。

A.2 B.3

C.4 D.5

提示：令u=f（x），對(duì)函數(shù)y=f[f（x）]-f（x）求零點(diǎn)。由f（u）-u=0，可得解得u=e或u=-2。

當(dāng)u=e時(shí)，由f（x）=e，可得或易得共有3個(gè)解;當(dāng)u=-2時(shí)，由可 得或易得共有 個(gè)解。2

綜上可知，所求方程共有5個(gè)解，即所求函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)選D。

題型四：函數(shù)零點(diǎn)中的含參數(shù)問(wèn)題

已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)取值范圍的三種常用方法：（1）直接法：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍。（2）分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決。（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用圖像求解。

例4已知在區(qū)間（0，2]上的函數(shù)f（x）且g（x）=f（x）-m x在區(qū)間（0，2]上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）。

解：函數(shù)g（x）=f（x）-m x在（0，2]上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)y=

f（x）與y=m x在（0，2]上的圖像有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)。作出函數(shù)y=f（x）與y=m x的圖像，如圖3所示。

圖3

跟蹤訓(xùn)練4：已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)f（x）在R上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）。

圖4

提示：畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖像，如圖4所示。

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上有2個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）在（-∞，0]和（0，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足1-a≥0，即a≤1;當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，需滿足-a＜0，即a＞0。綜上可知，0＜a≤1。應(yīng)選A。

題型五：函數(shù)零點(diǎn)中的新定義問(wèn)題

對(duì)于這類問(wèn)題，首先要弄清楚新定義的含義，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解答。

例5用[a]表示不大于實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè)x1，x2分別是方程x+ex=4，x+ln（x-1）=4的根，則[x1]+[x2]

解：因?yàn)閤1，x2分別是方程x+ex=4和x+ln（x-1）=4的根，所以x1，x2分別是函數(shù)g（x）=x+ex-4和h（x）=x+ln（x-1）-4的零點(diǎn)。

由g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，且g（1）＜0，g（2）＞0，可得1＜x1＜2。由h（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且h（3）＜0，h（4）＞0，可得3＜x2＜4。由上可得[x1]=1，[x2]=3，故[x1]+[x2]=4。

跟蹤訓(xùn)練5：設(shè)函數(shù)f（x）=1+[x]-x，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)y=logax的圖像與函數(shù)f（x）的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）。

A.[2，3） B.（2，3]

C.（3，4] D.[3，4）

提示：f（x+1）=1+[x+1]-（x+1），

而[x+1]=[x]+1，故f（x+1）=1+[x+1]-（x+1）=1+[x]+1-x-1=1+[x]-x=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為1。

當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=1-x，由此可得f（x）在[0，+∞）上的圖像，如圖5所示。

圖5

因?yàn)閥=logax的圖像與y=f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故可得3≤a＜4。應(yīng)選D。

題型六：復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

求復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解方程問(wèn)題。令f[g（x）]=0，可得f（t）=0和g（x）=t，先從方程f（t）=0中求出t，再代入方程g（x）=t中求出x的值。

例6設(shè)函數(shù)則函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

解：①當(dāng)x≤0時(shí)，y=f[f（x）]-1=f（2x）-1=log22x-1=x-1，令x-1=0，則x=1，顯然與x≤0矛盾，可知當(dāng)x≤0時(shí)，y=f[f（x）]-1無(wú)零點(diǎn)。

②當(dāng)x＞0時(shí)，分兩種情況討論：當(dāng)x＞1時(shí)，log2x＞0，y=f[f（x）]-1=f（log2x）-1=log2（log2x）-1，令log2（log2x）-1=0，得log2x=2，解得x=4;當(dāng)0＜x≤1時(shí)，log2x≤0，y=f[f（x）]-1=f（log2x）-1=2log2x-1=x-1，令x-1=0，解得x=1。

綜上可知，函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

跟蹤訓(xùn)練6：已知函數(shù)f（x）=則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-f（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

提示：令f（x）=t，則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-f（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題?f（t）-t-1=0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題。畫(huà)出函數(shù)y=f（t），y=t+1的簡(jiǎn)圖，如圖6所示。

圖6

結(jié)合圖像可得f（t）-t-1=0的根為t1=0，t2=1，t3∈（1，2）。方程f（x）=0有1個(gè)解，f（x）=1有3個(gè)解，f（x）=t3有3個(gè)解。綜上可知，函數(shù)f（t）-t-1=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是7。

題型七：利用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)關(guān)注點(diǎn)：（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)。（2）根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定模型中的待定系數(shù)。（3）利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題。

例7某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（ ）。

A.2020年 B.2021年

C.2022年 D.2023年

解：由題意求滿足130（1+12%）n-1＞200的最小n值。

由 130（1+12%）n-1＞200，可 得l g[130（1+12%）n-1]＞l g200，所以l g 1.3+2+（n-1）l g1.12＞l g2+2，即 0.11+0.05（n-1）＞0.3，所以n＞4.8，所以nmin=5，可知開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2017+5-1=2021。應(yīng)選B。

跟蹤訓(xùn)練7：將甲桶中的am3水緩慢注入空桶乙中，tm i n后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aen t。假設(shè)過(guò)5m i n后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)mm i n甲桶中的水只有，則m的值為（ ）。

A.5 B.8

C.8 D.10

提示：根據(jù)題意，因?yàn)?m i n后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)y=f（t）=aen t滿足，可得，因此當(dāng)km i n后甲桶中的水只有可得f（k）=，所以，解得k=10。故k-5=5（m i n），即得m=5m i n。應(yīng)選A。

題型八：構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型與求解方法：（1）構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合法求解。（2）構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法。（3）構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是理解三種函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

例8加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不煳的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”。在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t（單位：m i n）滿足函數(shù)關(guān)系p=a t2+b t+c（a，b，c是常數(shù)），圖7記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)。根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為

圖7

解：由題意可得函數(shù)p=a t2+b t+c（a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），代入此方程解得a=-0.2，b=1.5，c=-2，這時(shí)函數(shù)p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125。故得到最佳加工時(shí)間為3.75m i n。

跟蹤訓(xùn)練8：某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過(guò)10m3，按每立方米3元收費(fèi);用水超過(guò)10m3的，超過(guò)的部分按每立方米5元收費(fèi)。某職工某月的水費(fèi)為55元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為（ ）。

A.13m3B.14m3

C.15m3D.16m3

提示：設(shè)該職工這個(gè)月的實(shí)際用水為xm3，水費(fèi)為y元。由題意可得y=于是整理可得=y易知該職工這個(gè)月的實(shí)際用水量超過(guò)10m3，所以5x-20=55，解得x=15。應(yīng)選C。