函數(shù)綜合應(yīng)用中的誤區(qū)警示

■劉大鳴（特級(jí)教師）

本文匯集了函數(shù)綜合應(yīng)用中的誤區(qū)警示，希望引起同學(xué)們的高度重視。

誤區(qū)1：二元變量求最值（或值域），忽視變量的制約關(guān)系

例1若實(shí)數(shù)x，y滿足3x2+2y2=6x，求x2+y2的最大值。

錯(cuò)解：由已知可得由可知當(dāng)x=3時(shí)，x2+y2取得最大值為

剖析：上述解法忽視了約束條件3x2+2y2=6x中對(duì)x的限制作用。

正解：由，可得0≤x≤2，所以

警示：解題時(shí)，一定要挖掘隱含條件，即一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的限制作用。如題中由，得0≤x≤2。

誤區(qū)2：分段函數(shù)中對(duì)區(qū)間上對(duì)應(yīng)法則探究不徹底

例2定義在R上的函數(shù)f（x），滿足函數(shù)則

錯(cuò)解：由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0，由此可得f（x+4）=f（x），故f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=0。

剖析：上述解法對(duì)局部對(duì)應(yīng)法則f（x）=f（x-1）-f（x-2）（x＞0）探究不徹底。

正解：由f（x）=f（x-1）-f（x-2）（x＞0），利用變量的任意性可得f（x+1）=f（x）-f（x-1），利用方程組觀念可得f（x+1）=-f（x-2），即f（x）=-f（x-3），可得f（x+3）=-f（x），則f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即當(dāng)x≥-1，x∈Z時(shí)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。

由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=0，f（4）=f（3）-f（2）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1，f（6）=f（5）-f（4）=0。

由函數(shù)f（x）在當(dāng)x≥-1，x∈Z時(shí)，f（x+6）=f（x），可得f（2011）=f（6×335+1）=f（1）=-1。

警示：分段函數(shù)的求值要運(yùn)用對(duì)應(yīng)法則合理選擇解析式，對(duì)區(qū)間上對(duì)應(yīng)法則的探究要徹底。題中由f（x）=f（x-1）-f（x-2）（x＞0），探究出f（x+6）=f（x）是解題的關(guān)鍵。

誤區(qū)3：求函數(shù)零點(diǎn)的方法選擇不當(dāng)

例3判斷函數(shù)f（x）=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)是否有零點(diǎn)。

錯(cuò)解：由f（-1）=f（1）=-1，可得f（-1）·f（1）=1＞0，則函數(shù)f（x）=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒有零點(diǎn)。

剖析：上述解法在利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理時(shí)，忽視了其前提條件。

正解1：當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|2x|-3≤-1，函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒有零點(diǎn)。

正解2：由|2x|-3=0，可得[-1，1]，故函數(shù)f（x）=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒有零點(diǎn)。

警示：判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷，當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理無法判斷時(shí)，可畫出圖像進(jìn)行判斷。

誤區(qū)4：由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的范圍時(shí)忽視分類討論

例4函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

錯(cuò)解：所求問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與y=x+a的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)問題。畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖略），根據(jù)圖像可知，a＞1。

剖析：上述解法在求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)時(shí)，忽視了對(duì)0＜a＜1的討論。

正解：函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與y=x+a的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。畫出其圖像（圖略），由圖像可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意;當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=ax（a＞1）的圖像過點(diǎn)（0，1），而直線y=x+a所過的點(diǎn)在點(diǎn)（0，1）的上方，這時(shí)一定有兩個(gè)交點(diǎn)。綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1。

警示：求函數(shù)的零點(diǎn)問題，可化歸為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解。

誤區(qū)5：函數(shù)的零點(diǎn)的大小比較中忽視圖像的作用

例5m，n滿足2m+m=3n+n，則正數(shù)m，n的大小關(guān)系為

錯(cuò)解：不理解m，n的意義，忽視特殊值法和圖像法的作用，因此亂猜m＞n。

剖析：上述解法忽視特殊值法和圖像法的作用。

正解1：特殊值法求解。令m=3，n=2，適合方程2m+m=3n+n，則m＞n。

正解2：數(shù)形結(jié)合法求解。設(shè)2m+m=3n+n=k（k＞0），則2m=k-m，3n=k-n，于是m，n分別為函數(shù)y=2x，y=3x的圖像與直線y=k-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出其圖像，如圖1所示。

圖1

由圖像及指數(shù)函數(shù)圖像的分布規(guī)律，可知m＞n。

警示：特殊值法是最優(yōu)解法。設(shè)參數(shù)化歸為同一直線與兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題求解，凸顯函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

誤區(qū)6：構(gòu)建指數(shù)函數(shù)增長率模型出錯(cuò)

例6某工廠改進(jìn)了設(shè)備，在兩年內(nèi)生產(chǎn)的月增長率都是m，則這兩年內(nèi)第二年3月份的產(chǎn)值比第一年3月份的產(chǎn)值的增長率是多少?

錯(cuò)解：設(shè)第一年3月份的產(chǎn)值為a，則第二年3月份的產(chǎn)值是a（1+m）11，可得所求增長率為（或把第二年3月份的產(chǎn)值寫為a（1+m）13出錯(cuò)）。

剖析：上述解法對(duì)增長率公式y(tǒng)=N（1+p）x的理解錯(cuò)誤。

正解：設(shè)第一年3月份的產(chǎn)值為a，則4月份的產(chǎn)值為a（1+m），5月份的產(chǎn)值為a（1+m）2，6月份的產(chǎn)值為a（1+m）3，…。

由于第二年3月份是第一年3月份后的第12個(gè)月，故第二年3月份的產(chǎn)值是a（1+m）12。

由增長率的概念知，這兩年內(nèi)第二年3月份的產(chǎn)值比第一年3月份的產(chǎn)值的增長率為

警示：若某月的產(chǎn)值是a，則此后第x月的產(chǎn)值為a（1+m）x，指數(shù)x是時(shí)間間隔數(shù)。本題實(shí)質(zhì)上是由月平均增長率求年平均增長率的。