空間幾何體常見典型考題賞析

■趙 昆

題型1：空間幾何體的結構特征

把握幾何體的結構特征，要多觀察實物，提高空間想象能力;緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據(jù)條件構建幾何模型，變換模型中的線面關系;通過反例對結構特征進行辨析。

例1現(xiàn)有以下命題：

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺;②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面;③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺;④球面上四個不同點一定不在同一平面內(nèi)。

其中正確命題的個數(shù)為（ ）。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：由圓臺的定義可知，①錯誤，②正確。對于③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，③錯誤。對于④，在截面圓的圓周上任取四個不同的點，則這四個點在球面上，④錯誤。應選A。

跟蹤練習1：給出下列四個命題：

①有兩個側面是矩形的立體圖形是直棱柱;②側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;③側面都是矩形的直四棱柱是長方體;④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側面與底面垂直的棱柱是正棱柱。

提示：對于①，平行六面體的兩個相對側面也可能是矩形，①錯誤。對于②，等腰三角形的腰是否為側棱未作說明（如圖1），②錯誤。對于③，底面有可能不是矩形，③錯誤。對于④，由線面垂直的判定，可知側棱垂直于底面，④正確。綜上可知，①②③不正確。

圖1

題型2：空間幾何體的三視圖

對于簡單幾何體的組合體，在畫其三視圖時，首先應分清它是由哪些簡單幾何體組成的，然后再畫其三視圖。由三視圖還原幾何體時，要遵循以下三步：①看視圖，明關系;②分部分，想整體;③綜合起來，定整體。

圖2

例2如圖2所示，在正方體A B C D-A1B1C1D1中，P為B D1的中點，則△P A C在該正方體各個面上的正投影可能是（ ）。

A.①② B.①④

C.②③ D.②④

解：由題意可知，平面P A C⊥平面A B C D，且點P在各個面內(nèi)的正投影均為正方形的中心。根據(jù)對稱性，只需考慮△P A C在底面、后面、右面的正投影即可。顯然△P A C在底面的正投影為正方形的對角線，在后面與右面的正投影相同，均為等腰直角三角形。應選B。

跟蹤練習2：如圖3，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某簡單幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）。

圖3

提示：由三視圖可知該幾何體為半圓錐，底面半圓的半徑為2，圓錐的高為2，則其體積應選A。

題型3：空間幾何體的直觀圖

（1）在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中仍然與x′軸或y′軸平行。（2）原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線。（3）原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，作出在直觀圖中的相應點，然后用平滑曲線連接。直觀圖的面積與原圖形的面積有以下關系：S直觀圖=

例3已知正三角形A B C的邊長為a，那么△A B C的平面直觀圖△A′B′C′的面積為

解：圖4所示的是正△A B C，圖5所示的是正△A B C的直觀圖△A′B′C′。

圖4

圖5

跟蹤練習3：已知等腰梯形A B C D，上底，腰下底A B=3，以下底所在直線為x軸，線段A B的垂直平行線為y軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為

提示：圖6為等腰梯形A B C D，作出等腰梯形A B C D的直觀圖梯形A′B′C′D′，且E′F為其高，如圖7所示。

圖6

圖7

題型4：空間幾何體的表面積

求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”并展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法得到多面體的表面積。求旋轉體的表面積：可以從旋轉體的形成過程及其結構特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清楚它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系。求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，得到所給幾何體的表面積。

例4如圖8，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）。

圖8

A.5 π+18 B.6 π+18

C.8 π+6 D.10 π+6

解：由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和兩個半球構成的，故該幾何體的表面積為應選C。

圖9

跟蹤練習4：如圖9，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑。若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）。

提示：該幾何體是一個球被切掉左上角的后剩余的部分。設球的半徑為R，則體積，解得R=2，所以它的表面積是的球面面積與三個扇形面積之和，即17 π。應選A。

題型5：空間幾何體的體積

求空間幾何體的體積的三種方法：（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算。（2）割補法：首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，把不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算。（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即三棱錐的任意一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換。

例5已知正方體A B C D-A1B1C1D1的棱長為1，除面A B C D外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M（如圖10），則四棱錐M-E F GH的體積為

圖10

解：依題意可得該四棱錐M-E F GH為正四棱錐，其高為正方體棱長的一半，即為正方形E F GH的邊長為其面積為所以四棱錐M-E F GH的體積VM-E F GH=

跟蹤練習5：如圖11所示，在邊長為2的正方形A B C D中，圓心為B，半徑為1的圓與A B，B C分別交于點E，F(xiàn)，則陰影部分繞直線B C旋轉一周形成幾何體的體積等于（ ）。

圖11

提示：由旋轉體的定義可知，陰影部分繞直線B C旋轉一周形成的幾何體為圓柱中挖掉一個半球和一個圓錐。該圓柱的底面半徑R=B A=2，母線長l=A D=2，故該圓柱的體積V1=π×22×2=8 π;半球的半徑為1，其體積;圓錐的底面半徑為2，高為1，其體積所以陰影部分繞直線B C旋轉一周形成的幾何體的體積V=V1-V2-V3=6 π。應選B。

題型6：與球有關的切、接問題

“切”的處理方法：解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉體，解題時首先要找準切點，通過作截面來解決，如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作?！敖印钡奶幚矸椒ǎ喊岩粋€多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑。

例6三棱錐P-A B C中，△A B C為等邊三角形，P A=P B=P C=3，P A⊥P B，三棱錐P-A B C的外接球的體積為（ ）。

解：以P A，P B，P C為過同一頂點的三條棱作正方體，如圖12所示。

圖12

在三棱錐P-A B C中，△A B C為等邊三角形，P A=P B=P C=3，△P A B≌△P B C≌△P A C。因為P A⊥P B，所以P A⊥P C，P C⊥P B。故正方體的外接球同時也是三棱錐P-A B C的外接球。因為正方體的對角線長為，所以其外接球的半徑因此三棱錐P-A B C的外接球的體積應選B。

跟蹤練習6：已知一塊直三棱柱形狀的玉石，記為三棱柱A B C-A1B1C1，其中A B=10 c m，A C=6c m，B C=8c m，A A1=4c m。若將此玉石加工成一個球，則此球的最大體積為（ ）。

提示：在△A B C中，由A B=10，A C=6，B C=8，A B2=A C2+B C2，可知△A B C為直角三角形。在R t△A B C中，設其內(nèi)切圓的半徑為r，則，易知2r=A A1，所以當此玉石加工成的球是直三棱柱A B C-A1B1C1的內(nèi)切球，即球的半徑R為底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑（R=2 c m）

題型7：其他內(nèi)切球與外接球問題

幾何體與球有關的組合問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。這兩種特殊的位置關系是高考考查的熱點，應引起同學們的重視。

例7已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一球面上，則這個球的體積等于（ ）。

解：設該圓錐的外接球的半徑為R。

跟蹤練習7：一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面，所有棱長都為1，頂點都在同一個球面上，則該球的體積為

提示：由題意知，正六邊形的外接圓半徑r=1，正六棱柱的高h=1，所以球的半徑為故該球的體積V=

題型8：數(shù)學文化問題

近幾年，為充分發(fā)揮高考的育人功能和積極導向作用，在數(shù)學中出現(xiàn)了數(shù)學文化的內(nèi)容，內(nèi)容不拘一格，古今中外文化兼有。這類問題可以從題目敘述中分析蘊含的圖形及數(shù)量關系，通過分析圖形特征建立數(shù)學模型，轉化為三角函數(shù)或幾何問題求解。

例8《九章算術》卷五“商功”中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何。芻甍：底面為矩形的屋脊狀的幾何體（圖13的網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1），那么該芻甍的體積為（ ）。

圖13

A.4 B.5

C.6 D.12

解：畫出芻甍的直觀圖為幾何體A B C D E F，如圖14所示。

圖14

過E，F(xiàn)分別作垂直于底面的截面E GH和FMN，將原幾何體分割成兩個底面積為3，高為1的四棱錐和一個底面積為高為2的三棱柱。所以幾何體A B C D E F的體積應選B。

跟蹤練習8：我國古代數(shù)學名著《張丘建算經(jīng)》中有如下問題：今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，問高幾何。意思是：現(xiàn)在有粟米250斛，把它們自然地堆放在平地上，形成一個圓錐形的谷堆，其底面周長為5丈4尺，問谷堆的高是多少。若使該問題中的谷堆內(nèi)接于一個球狀的外罩，則該外罩的直徑約為（ ）。（1斛≈1.62立方尺，π≈3）

A.5尺 B.9尺

C.10.6尺 D.21.2尺

提示：設谷堆的高為h尺，底面半徑為r尺，則2 πr=54，r=9。

由谷堆內(nèi)接于一個球狀的外罩，可設球的半徑為R尺，則R2=（h-R）2+r2，解得R=10.6（尺），故2R=21.2尺。應選D。

題型9：空間幾何體的表面積和體積的最值問題

（1）根據(jù)幾何體的結構特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉化為平面圖形中的有關最值，根據(jù)平面圖形的有關結論直接進行判斷。（2）利用基本不等式或建立關于表面積或體積的函數(shù)關系式，利用函數(shù)求最值的方法解決。

例9三棱錐P-A B C的四個頂點都在體積為的球的表面上，底面A B C所在的小圓面積為16 π，則該三棱錐的高的最大值為（ ）。

A.4 B.6

C.8 D.10

解：由題意可設球的球心為O，半徑為R，△A B C的外接圓半徑為r，則解得R=5。由πr2=16 π，解得r=4。因為球心O到平面A B C的距離為=3，因此三棱錐P-A B C的高的最大值為5+3=8。應選C。

跟蹤練習9：在棱長為1的正方體A B C D-A1B1C1D1中，點P1，P2分別是線段A B，B D1（不包括端點）上的動點，且線段P1P2平行于平面A1A DD1，則四面體P1P2A B1的體積的最大值是（ ）。

提示：如圖15，在棱長為1的正方體A B C D-A1B1C1D1中，點P1，P2分別是線段A B，B D1上的動點，且線段P1P2平行于平面A1A DD1。易得△P1P2B∽△A D1B。

圖15

設P1B=x，x∈（0，1）。由相似比可得易得點P2到平面A A1B1B的距離也為x，則四面體P1P2A B1的體積為故當時，體積應選A。