平面圖形的直觀圖中線段的變化規(guī)律探討

李鳳華　孔憲榮

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué))》必修2中，對水平放置的平面多邊形的直觀圖的畫法，采用了斜二測畫法.在畫圖規(guī)則中，規(guī)定了平行于軸的線段的平行性不變；平行于x軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度縮為原來的一半.而對于不平行于軸的平行線段是否仍平行，不平行于軸的線段的長度是否改變呢？本文借助平面向量對此類問題加以探討.

問題1 已知線段AB和CD，在直觀圖中分別對應(yīng)線段A′B′和C′D′.若AB∥CD,則A′B′∥C′D′嗎？

解 設(shè)i,j,i′,j′分別是x軸，y軸，x′軸,y′軸的正方向的單位向量，則可設(shè)AB=xi+yj,由CD∥AB,得：CD=mAB=mxi+myj,據(jù)斜二測畫圖規(guī)則，得

A′B′=xi′+12yj′,C′D′=mx

i′+12myj′

=mA′B′,

所以C′D′∥A′B′.

故A′B′∥C′D′.

問題2 已知線段AB和CD,在直觀圖中分別對應(yīng)線段A′B′和C′D′，若|AB|=|CD|且AB∥CD,則|A′B′|=|C′D′|嗎？

解 若|AB|=|CD|且AB∥CD,則CD=AB，由問題1求解過程（相當(dāng)于m=1時(shí)的情況）知，C′D′=A′B′,

所以|A′B′|=|C′D′|.

問題3 探究不平行于軸的線段AB的長度與其直觀圖A′B′的長度之間的大小關(guān)系.

解 由問題2的結(jié)果知，相等的平行線段在直觀圖中仍相等，因此可把線段AB平移到OP，且使OP方向向上.可設(shè)OP=xi+yj(其中y>0)，則O′P′=xi′+12yj′.

于是有

|OP|=|O′P′|趚2+y2=x2+14y2+22xy趛=223x;

|OP|>|O′P′|趚2+y2>x2+14y2+22xy趛>223x;

|OP|<|O′P′|趚2+y2

所以，當(dāng)OP即點(diǎn)P在射線y=223x(x>0)上時(shí)，

|OP|=|O′P′|;當(dāng)

OP在射線y=0(x>0)與y=223x(x>0)之間時(shí)，

|OP|<|O′P′|；當(dāng)OP在射線y=0(x<0)與y

=223x(x>0)之間時(shí)，|OP|>|O′P′|.

由于OP方向向上，它的位置可通過其所在直線的傾斜角體現(xiàn)；又因?yàn)锳B∥OP且|AB|=|OP|，所以，直線AB和直線OP的傾斜角相等，記為θ,則當(dāng)θ∈(0,arctan223)時(shí)，線段AB的長度在直觀圖中變長；當(dāng)θ=arctan223時(shí)，線段AB的長度在直觀圖中不變；當(dāng)θ∈(arctan

223,π)且θ≠π2時(shí)，線段AB的長度在直觀圖中變短.

問題4 在問題3中，記|A′B′|2=m|AB|2,則（1）m的變化范圍是什么？（2）它與直線AB的傾斜角θ有何關(guān)系？

解 （1）在OP=xi+yj中，y=xtanθ,則由問題3的求解過程知

|AB|2=x2+y2=(1+tan2θ)x2,

|A′B′|2=(x2+y24+22xy)=14(tan2θ+22tanθ+4)x2,

所以m=tan2θ+22tanθ+44(tan2θ+1).

令t=tanθ,s=4m,則s=t2+22t+4t2+1(其中t∈R)，于是有

（s-1)t2-22t+(s-4)=0.

當(dāng)s≠1時(shí),(-22)2-4(s-1)(s-4)≥0,即s2-5s+2≤0,解得

5-172≤s≤5+172;

當(dāng)s=1時(shí)，t=-324也符合.

所以,m=14s∈［5-178,5+178］.

故所求m的范圍是［5-178,5+178］.

(2)s′=-22t2-6t+22(t2+1)2,令s′=0,得t1=-3-1722,t2=-3+1722,所以

s′=-22(t--3-1722)(t--3+1722)(t2+1)2.

當(dāng)t∈(-∞,-3+1722)時(shí)，s′<0,s是關(guān)于t的減函數(shù)；當(dāng)t∈(-3+1722,-3-1722)時(shí)，s′>0,s是關(guān)于t的增函數(shù)；當(dāng)t∈(-3-1722,+∞)時(shí)，s′<0,s是關(guān)于t的減函數(shù).

故當(dāng)t=-3+1722,即θ=π+arctan(-3+1722)時(shí)，smin=5-172,mmin=5-178;

當(dāng)t=-3-1722,即θ=arctan(-3-1722)時(shí),smax=5+172,mmax=5+178.

綜上可知，平行線段在直觀圖中仍平行；平行且相等的線段的直觀圖仍為平行且相等的線段；不平行的等長線段在直觀圖中不一定相等；不平行于軸的線段長度與其在直觀圖中線段長度的大小關(guān)系取決于線段所在直線的傾斜角，但它并非無限制的變長或變短，其變化率為

［10-2174,10+2174］.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文