用數(shù)學歸納法證明泰勒公式

遲炳榮　王秀紅

1 引言

一般的高等數(shù)學教材中［1］都介紹了關于泰勒公式的如下兩個命題：

命題1 帶皮亞諾（Peano）余項的泰勒(Talor) 公式：

f(x)在［a,b］上具有n階導數(shù)，則衳∈［a,b］有

f(x)=f(a)+f ′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x-a)2+…+f(n)(a)n!(x-a)琻+Rn(x)(1)

其中Rn(x)=o((x-a)琻),

即﹍imx→x0Rn(x)(x-x0)琻=0.

命題2 帶拉格朗日（Langrange)余項的泰勒公式：

函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)x∈U(x0)內(nèi)n+1階可導，對衳∈U(x0),靚巍剩踴0,x］使得f(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x-a)2+…+f(n)(a)n!(x-a)琻+Rn(x)(2)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1

兩種余項的泰勒公式所表達的根本思想就是怎樣用多項式來逼近函數(shù)

公式（1）非普通的等式，而是反映了極限性質(zhì)的漸進等式，因此公式（1）在求極限時很有用處，對余項可以提供充分小量的估計

公式（2）的余項有確定表達式，當然也有不確定因素，即有中值，但不妨礙定理的使用，為近似計算的誤差估計提供了理論依據(jù)

這兩個命題的證明都需要多次使用柯西（cauchy）中值定理或者羅比達（LHospital）法則，非常繁瑣本文給出泰勒公式的一個簡潔的證明，給出的余項既可以進行誤差的階的估計，又可以進行近似計算

2 主要結果

引理1 f(x)在［a,b］上可導，且f ′(x)≥0,則f(x)≥f(a)，x∈［a,b］

證明：由于f ′(x)≥0,所以f(x)在［a,b］上遞增，f(x)≥f(a)

推論1 f(x)和g(x)在［a,b］上可導，且ゝ ′(x)≥g ′(x)，

則f(x)-f(a)≥g(x)-g(a),x∈［a,b］

特別地f(a)=g(a)=0，則有f(x)≥g(x)，

x∈［a,b］

證明：令h(x)=f(x)-g(x)，對h(x)使用引理1

引理2 H(x)在［a,b］上可導，且有

（1）H(k)(a)=0,k=0,1,2,…，n-1,

（2）m≤H(n)(a)≤M，x∈［a,b］,

則有 m(x-a)琻n!≤H(x)≤M(x-a)琻n!.

證明：對n用數(shù)學歸納法證明

n=0時，顯然成立

若已有m(x-a)琻n!′≤H ′(x)≤M(x-a)琻n!′，

由推論1得到m(x-a)琻n!≤H(x)≤M(x-a)琻n!

定理 若函數(shù)f(x)在［a,b］上n+1階連續(xù)可導，則存在A和B，使得［a,b］中的任意x0和x，有下式成立

f(x)=f(x0)+f ′（x0)(x-x0)+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…+

f(n)(x0)n!(x-x0)琻+Rn(x) （3）

其中Rn(x)介于A(x-x0)n+1(n+1)!和B(x-x0)n+1(n+1)!之間

特別地，若記M=max{|A|,|B|}，

則﹟Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!

證明：由于f(n+1)(x)連續(xù)，必有A≤f(n+1)(x)≤B

令Rn(x)=f(x)-f(x0)+f ′(x0)(x-x0)

+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)琻，

則有：

（1）R(k)n(x0）=0，k=0,1，2，…，n

（2）A≤R(n+1)n(x)=f(n+1)(x)≤B

由引理2，有|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!，M=max{|A|,|B|}

注：由|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!，有Rn(x)=o((x-x0)琻),(x→x0)

因此，命題2可以看成定理的一個推論，但比較而言，定理的證明不需要較多的中值定理的知識，證明簡單

由定理, 可以直接寫出以下幾個基本初等函數(shù)的泰勒公式：

1)e瑇=1+x+x22!+…+x琻n!+Rn(x)

2)sinx=x-x33!+x55!+…+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!+R2n(x)

3)cosx=1-x22!+x44!+…+(-1)nx2n(2n)!+R2n(x)

4)ln(1+x)=x-x22+x33+…+(-1)n-1x琻n+Rn(x)

5)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2!x2+…+α(α-1)…(α-n+1)n!x琻+Rn(x)

6)11-x=1+x+x2+…+x琻+Rn(x)

3 應用舉例

例1 求e的近似值，使得其誤差<10-6

解 取f(x)=e瑇

由于e瑇在［0,1］上具有任意階連續(xù)導數(shù)，且

|(e瑇)n+1|=|e瑇|≤e，所以M≤e，由公式（3）

e瑇=1+x+…+1n!x琻+Rn(x),

取x=1，有e≈1+1+12!+13!+…+1n!

|Rn(1)|≤M(n+1)!≤e(n+1)!<3(n+1)!取n=9，可得3(n+1)!<10-6，此時e≈2.718282即為所求

例2 求極限﹍imx→0sinx-xx3

解 由于sinx=x-x33！+R4（x)，因為﹟sin(n)x|=|sin(x+nπ2)|≤1

所以|R4(x)|≤x44!，因此R4(x)=o(x3)，所以

﹍imx→0sinx-xx3=﹍imx→0-x33!+o(x3)x3=-16

例3 證明二項式展開定理：(a+b)琻=∑nk=0C琸na琸bn-k.

證明：設函數(shù)f(x)=(x+b)琻,則函數(shù)f(x)存在任意階的導函數(shù)

f(k)(x)=n(n-1)…(n-k+1)(x+b)n-k (k=0,1,…,n),

f(k)(0)=n(n-1)…(n-k+1)bn-k (k=0,1,…,n)

且f(n+1)(x)=0,由定理得

f(x)=f(0)+f ′(0)x+f ″(0)2!x2+…+f (n)(0)n!x琻

=∑nk=0f (k)(0)k!x琸

=∑nk=0n(n-1)…(n-k+1)bn-kk!x琸

=∑nk=0C琸nbn-kx琸

所以f(a)=∑nk=0C琸nbn-kx琸

又f(a)=(a+b)琻,所以(a+b)琻=∑nk=0C琸na琸bn-k.

參考文獻

［1］ 高等數(shù)學第四版上冊，同濟大學數(shù)學教研室主編，高等教育出版社

［2］ 數(shù)學分析第三版上冊，華東師范大學數(shù)學系編，高等教育出版社

作者簡介 遲炳榮（1972—），女，濰坊工商職業(yè)學院建筑工程系講師，魯東大學數(shù)學與信息學院教育碩士，主要從事高等數(shù)學教學研究

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文