函數(shù)新題賞析

■劉長(zhǎng)柏

在近幾年高考中，相繼出現(xiàn)了一些以考查同學(xué)們探究能力和創(chuàng)新能力為目的的創(chuàng)新題。本文精選一些以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型，并分類(lèi)解析，旨在探索解題規(guī)律，供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

一、創(chuàng)新函數(shù)新定義

創(chuàng)新函數(shù)新定義問(wèn)題是高考的一個(gè)亮點(diǎn)，它能有效地考查同學(xué)們獨(dú)立獲取信息、加工信息以及應(yīng)用信息解決問(wèn)題的能力。

例1設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱(chēng)f（x）為“倍約束函數(shù)”。現(xiàn)給出下列函數(shù)：①f（x）=2x;②f（x）=x2+1;③f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-其中是“倍約束函數(shù)”的是 。（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

解：①由于f（x）=2x，顯然只需常數(shù)M＞2即可，所以它是“倍約束函數(shù)”。②由于M|x|≥0，|f（x）|≥1，且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1，故此時(shí)不可能存在常數(shù)M符合題目要求，可知f（x）=x2+1不是“倍約束函數(shù)”。③由f（x）是R上的奇函數(shù)，可知f（0）=0，令x2=0，x1=x，則原式為|f（x）|≤2|x|，故存在常數(shù)M使之符合定義。答案為①③。

評(píng)析：求解此類(lèi)問(wèn)題要從兩個(gè)方面考慮：一是充分理解和掌握新定義所具有的性質(zhì)，并注意審題;二是對(duì)新定義的性質(zhì)注意掌握和靈活應(yīng)用。

二、創(chuàng)新函數(shù)新性質(zhì)

創(chuàng)新函數(shù)新性質(zhì)問(wèn)題是利用給定的定義與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)新函數(shù)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題。

例2已知函數(shù)f（x），x∈[a，b]，g（x），x∈[a，b]，若對(duì)于任意的x∈[a，b]，總有，則稱(chēng)f（x）可被g（x）替代。下面給出的函數(shù)中，能替代f（x）的是（ ）。

解：由題意可知能被g（x）替代，即當(dāng)x∈[4，16]時(shí)，總有不等式成立。當(dāng)x=4時(shí)，f（4）=2，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次代入g（4）進(jìn)行驗(yàn)證，只有A滿(mǎn)足要求。應(yīng)選A。

評(píng)析：此題通過(guò)創(chuàng)新定義“f（x）可被g（x）替代”來(lái)考查函數(shù)的特定性質(zhì)，這就要求對(duì)所定義的性質(zhì)應(yīng)理解其含義。

三、創(chuàng)新拓展常規(guī)題，考查發(fā)散思維能力

發(fā)散性思維雖然也遵循已有的規(guī)律，但它的思維過(guò)程無(wú)固定方向或范圍，體現(xiàn)為探索途徑及結(jié)果的新穎性、多樣性和獨(dú)創(chuàng)性。

例3已知函數(shù)，且f（a2-3a+2）=f（a-1），則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和是

解：根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，可知f（x）為偶函數(shù)。由f（a2-3a+2）=f（a-1），可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2=1-a，整理得a2-4a+3=0或a2-2a+1=0，由此解得a=1或a=3。又f（0）=f（1）=f（-1），所以當(dāng)a=2時(shí)，也滿(mǎn)足要求。故符合f（a2-3a+2）=f（a-1）的所有整數(shù)a的和為1+2+3=6。

評(píng)析：在數(shù)學(xué)題中，有些問(wèn)題的條件、結(jié)論、解題策略是不唯一的或需要探索的（如開(kāi)放性問(wèn)題），這類(lèi)問(wèn)題能有效考查同學(xué)們的思維能力。