基于結(jié)構(gòu)化的課時(shí)整合教學(xué)
——以“植樹問題”教學(xué)為例

夏向陽 陸剛偉

一、教材解讀

人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第七單元安排了《數(shù)學(xué)廣角》——植樹問題，植樹問題通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長(zhǎng)度平均分成若干段（間隔），然后討論、揭示段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的緊密關(guān)系。在現(xiàn)實(shí)生活中類似這樣的植樹問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇周圍擺花、鋸木頭、架設(shè)電線桿等都屬于這個(gè)范疇。本單元的具體教學(xué)內(nèi)容安排四課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。

基于以上對(duì)教材意圖的分析和比較，筆者認(rèn)為將在一條線段上植樹的三種情形（兩端都要種、只種一端、兩端都不種）和在封閉曲線上的植樹問題分別獨(dú)立展開教學(xué)，雖然可以更好地幫助學(xué)生理解不同的植樹情形，建構(gòu)植樹問題的各種原始模型。但是，獨(dú)立教學(xué)帶來的明顯弊端是割裂了不同植樹情形的內(nèi)在聯(lián)系，缺乏從整體、全面的意識(shí)去建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)是一門系統(tǒng)、融合而富有嚴(yán)密邏輯結(jié)構(gòu)的學(xué)科。完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅有利于后續(xù)知識(shí)的形成和建立，同時(shí)能從整體的視角去解決實(shí)際問題，提高解決問題的綜合能力。

二、教學(xué)實(shí)踐

1.創(chuàng)設(shè)開放情境。

師：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)20 米的小路一邊種樹，每隔5 米種一棵，一共要種多少棵樹？

生1：20÷5+1=5（棵）。

生2: 20÷5=4（棵）。

生3：我覺得上面兩種都有可能。

……

【設(shè)計(jì)意圖：植樹問題的導(dǎo)入方式教師往往考慮的是學(xué)生更快地理解題意，直指解答。呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)情境是確定性的（題目中就注明兩端都種、只種一端、兩端都不種）。其實(shí)，這樣的導(dǎo)入方式容易束縛學(xué)生的思維，限制學(xué)生的想象，沒有留給學(xué)生足夠的思考空間和余地。物理學(xué)家阿基米德說：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)整個(gè)地球。”因此，在出示教學(xué)情境或?qū)W習(xí)材料時(shí)，應(yīng)更多地體現(xiàn)開放性，賦予學(xué)生敢于自主探究、多元解答的機(jī)會(huì)，真正把學(xué)為中心落到實(shí)處。從課堂的實(shí)際教學(xué)反饋來看，這樣的設(shè)計(jì)完全符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生有能力得出合理的問題解決?！?/p>

2.建立數(shù)學(xué)模型。

師：請(qǐng)20÷5+1=5（棵）這個(gè)算式的同學(xué)詳細(xì)介紹你的思考過程。

生：我是這樣考慮的，畫一幅圖進(jìn)行表示，種一棵樹隔5 米，再種一棵樹隔5 米，一共要種5 棵。

師：結(jié)合20÷5+1=5（棵）這個(gè)算式，你能說一說你是怎么理解的嗎？

生：小路一共20 米，每5 米一段，正好有這樣的4 段，而4 段就可以種5 棵，從圖上可以一目了然地看出。

師：段數(shù)我們?cè)跀?shù)學(xué)上也可叫做“間隔數(shù)”。

師：除了從圖上數(shù)出間隔數(shù)和棵樹之外，還有沒有其他方法也能知曉間隔數(shù)和棵樹。

生：我們也可以這樣理解，種一棵樹隔一個(gè)間隔，再種一棵樹隔一個(gè)間隔，最后還多出一棵樹。

師：你的想法真好，在數(shù)學(xué)上這種方法稱為“一一對(duì)應(yīng)”，運(yùn)用“一一對(duì)應(yīng)”的方法可以使間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系更明了。

師：20÷5=4（棵）這種想法的同學(xué)又是怎么理解的呢？

生：我是這樣想的。假設(shè)最左邊正好有一幢建筑物（比如房子等），那么用圖表示是這樣的：

師：這種情況，同學(xué)們覺得可能嗎？

生：從圖上我們就可以清楚地看出，段數(shù)和棵數(shù)是相同的。20÷5=4（段），間隔數(shù)有4 個(gè)，也就是種4棵樹。

生：我們也可以用“一一對(duì)應(yīng)”的方法來理解，一個(gè)間隔數(shù)對(duì)應(yīng)一棵，再一個(gè)間隔數(shù)對(duì)應(yīng)一棵，間隔數(shù)和棵數(shù)正好相等。

師：這位同學(xué)很會(huì)思考，運(yùn)用“一一對(duì)應(yīng)”的方法清晰地得出間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系。

生：老師，我突然覺得種3 棵數(shù)也是完全可能的。我是這樣想的，既然最左邊是一幢建筑物（房子等），那么最右邊也有可能是一幢建筑物（房子等）。我用這樣的一幅圖進(jìn)行表示：

生：我們也可以用“一一對(duì)應(yīng)”的方法解釋，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹，最后還多出一個(gè)間隔。

師：我們的同學(xué)很會(huì)思考，很有想法，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

師：通過剛才種樹這樣的一個(gè)情境，我們找到三種不同的結(jié)果。下面，你能把植樹問題的各種情形進(jìn)行整理嗎？

生：兩端都種——棵樹=間隔數(shù)+1；一端種一端不種——棵樹=間隔數(shù)；兩端都不種——棵樹=間隔數(shù)-1。

生：一端種一端不種，我們可以說成“只種一端”；“只種一端”就表示了一端種一端不種。

師：同學(xué)們的想法很好，“只種一端”更加簡(jiǎn)潔明了。

生：我們可以把兩端都種、只種一端、兩端都不種聯(lián)系起來。

兩端都種——棵樹=間隔數(shù)+1；

只種一端——只要在棵樹=間隔數(shù)+1 的基礎(chǔ)上再-1，這樣就得到了棵樹=間隔數(shù)+1-1，也就是棵樹=間隔數(shù)；

兩端都不種也只要在棵樹=間隔數(shù)的基礎(chǔ)上再-1，也就是棵樹=間隔數(shù)-1。

師：這位同學(xué)的整理很有想法，他把植樹問題的三種情形進(jìn)行了溝通和聯(lián)系，這樣便于我們理解。

【設(shè)計(jì)意圖：為了掌握植樹問題的三種不同情形，教材分別用例1、例2、例3 三個(gè)獨(dú)立的例題展開教學(xué)，旨在讓學(xué)生建立植樹問題的三種不同模型。從教學(xué)成效來看，學(xué)生面對(duì)實(shí)際的問題時(shí)，通常只是停留在三種不同植樹模型的表層，對(duì)其本質(zhì)和內(nèi)涵還沒有真正建構(gòu)。因此，如何讓學(xué)生對(duì)植樹問題的三種情形建立牢固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)之一。當(dāng)學(xué)生形成植樹問題的三種情形時(shí)，教學(xué)沒有戛然而止，而是及時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行自主整理，打通三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，提煉出完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，本節(jié)課另一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生感悟重要的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)時(shí)，筆者從實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的作用。本教學(xué)環(huán)節(jié)中，在無痕的教學(xué)過程中滲透了“一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值?！?/p>

3.靈活解決問題。

師：同學(xué)們，剛才通過觀察、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，我們學(xué)會(huì)了植樹問題的三種不同狀況，下面請(qǐng)同學(xué)們利用植樹問題的本領(lǐng)來解決實(shí)際生活中的問題。

第1 小題：5 路公共汽車行駛路線全長(zhǎng)12km，相鄰兩站之間的路程都是1km。一共設(shè)有多少個(gè)車站？

生：我覺得這個(gè)問題相當(dāng)于植樹問題中的“兩端都種”，設(shè)立的車站相當(dāng)于棵樹，12÷1=12（個(gè)），12 個(gè)相當(dāng)于間隔數(shù)。所以，用算式來表示是12÷1=12（個(gè)），12+1=13（個(gè)）車站。

師：這位同學(xué)很有數(shù)學(xué)眼光，敏銳地捕捉到設(shè)立車站和植樹問題的緊密聯(lián)系，從而進(jìn)行合理解答。

請(qǐng)看第2 題：大象館和猴山相距60m。綠化隊(duì)要在兩館間的小路兩旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3m。一共要栽多少棵樹？

生：我覺得這個(gè)問題相當(dāng)于植樹問題中的“兩端都不種”，所以算式可以這樣表示：60÷3=20（個(gè)），20-1=19（棵）。

生：我還有補(bǔ)充，應(yīng)該還要加一步，19×2=38（棵），因?yàn)檫@道題目是小路兩旁栽樹，而不是只在一旁種栽。

師：你看得真仔細(xì)。請(qǐng)看第3 題：

一根木頭長(zhǎng)10m，要把它平均分成5 段。每鋸下一段需要8 分鐘。鋸?fù)暌还惨ǘ嗌俜昼姡?/p>

生：我覺得這個(gè)問題相當(dāng)于植樹問題中的“兩端都不種”，鋸的次數(shù)相當(dāng)于植樹問題中的棵樹。所以，用算式可以這樣表示：5-1=4（次），8×4=32（分鐘）。

師：同學(xué)們真是火眼金睛，很快就能把問題看清楚。請(qǐng)看第4 小題：

張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長(zhǎng)是120m，如果每隔10m 栽一棵，一共要栽多少棵樹？

生：我覺得這個(gè)問題相當(dāng)于“只種一端”，我們只要把圓形拉成線段就可以了。

所以算式為：120÷10=12（個(gè)），也就是要種12棵樹。

師：把圓形轉(zhuǎn)化成線段，像這樣的方法叫什么？以前我們?cè)趯W(xué)習(xí)哪些知識(shí)時(shí)也曾經(jīng)運(yùn)用過？

生：這樣的方法叫“轉(zhuǎn)化”思想。我們?cè)趯W(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算的時(shí)候，就把平行四邊形運(yùn)用平移等轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

生：我們?cè)趯W(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，也是運(yùn)用商不變規(guī)律把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法后再進(jìn)行計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖：掌握了植樹問題的三種不同模型，并不代表會(huì)進(jìn)行靈活運(yùn)用和解決問題，特別是學(xué)生對(duì)三種情形容易出現(xiàn)混淆。如何讓學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，需要教師有充分的認(rèn)識(shí)。本環(huán)節(jié)的四道習(xí)題在選擇的時(shí)候可謂獨(dú)具匠心。第1 小題、第3 小題主要是讓學(xué)生對(duì)植樹問題的模型進(jìn)行解析，把抽象的植樹模型和具體的實(shí)際情境有機(jī)溝通起來，以此培養(yǎng)學(xué)生解決問題的應(yīng)用意識(shí)。第2 小題是根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行適度變式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)具體問題具體解答。第4 小題盡管是在圓形上種樹，和在線段上種樹具有明顯的區(qū)別?？墒?，通過把圓形拉直成線段，就和“只種一端”的本質(zhì)相同，用“轉(zhuǎn)化”的思想把圓形上種樹納入“只種一端”的知識(shí)體系中，充實(shí)了植樹問題的內(nèi)涵。】

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了“植樹問題”，你還想提出哪些問題呢？

生：我們學(xué)會(huì)了在線段上、圓形上植樹。那么，如果在三角形邊上植樹又是怎樣的情形?

生：如果在長(zhǎng)方形、正方形邊上種樹又是怎樣的情形？

生：在線段上種樹的間隔就是距離，而為什么在圓上種樹的間隔不是距離，是弧線的長(zhǎng)度呢？

……

師：同學(xué)們提出的問題很合理、有挑戰(zhàn)性，也很有研究、探討價(jià)值，有時(shí)提出一個(gè)問題往往比解決問題更重要，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，也要積極、主動(dòng)地提出一些合理的數(shù)學(xué)問題。

【設(shè)計(jì)意圖：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）明確提出：運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，提高分析和解決問題的能力。把發(fā)現(xiàn)和提出問題擺到了和分析、解決問題同等的重要地位。在課即將結(jié)束時(shí)，筆者讓學(xué)生結(jié)合今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，提出一些問題，不斷積累的問題意識(shí)是學(xué)生創(chuàng)新精神的種子，可以為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)?！?/p>