利用特征函數求解連續(xù)型隨機變量函數的密度函數

文小波 趙雪嬌

摘要：求解連續(xù)型隨機變量函數的分布是概率論與數理統(tǒng)計中較為重要的一個問題，傳統(tǒng)的方法往往需要較大的計算量，運用時有一定的局限性.本文以特征函數為載體，給出了求解連續(xù)型隨機變量函數的密度函數的計算方法.相對于傳統(tǒng)的方法，此方法簡化了計算.在文中，理論論證之后，分三個層面以某一函數為例，加以論證，得出了一些結論.

關鍵詞：連續(xù)型隨機變量;特征函數;密度函數;函數變換

中圖分類號：O211.1? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）07-0001-04

0 引言

連續(xù)型隨機變量的函數的分布是概率論與數理統(tǒng)計研究理論中的一個重要組成部分，而對于連續(xù)型隨機變量而言，其密度函數具有良好的分析性質.本文中為論述方便，假設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為px（x），Y是一個新的隨機變量，其中Y= g（X）為X的一個函數變換，如何求出Y的分布（密度函數）.以往針對連續(xù)型隨機變量函數的分布的求解有三種常用的方法：一種是使用分布函數法[1]求解，即先求解隨機變量Y的分布函數FY（y），再對FY（y）關于y求導函數，最終可得出Y的密度函數pY（y）;另一種常用的方法是求解具有單調性的特殊函數類的公式法[1]，但是此方法只能用于求解具有單調性的連續(xù)型隨機變量函數類，所以這種方法的應用有很大的局限性：還有一種方法是積分變限法，即利用密度函數的正則性，亦可求解隨機變量函數的密度函數[2].

對于分布而言，利用較多的是分布函數、分布列和概率密度函數，上文涉及的三種常用的方法都是直接利用隨機變量X的密度函數來直接求解隨機變量Y的密度函數，都需要求導函數和對函數進行積分，計算量一般比較大.函數？漬（t）=E（eitX），-∞<t<+∞稱為隨機變量X的特征函數，且任意一個隨機變量的特征函數總是存在的.特征函數在概率論與數理統(tǒng)計中有很多的應用，是處理概率論與數理統(tǒng)計相關問題的一個重要的有力工具，本文給出了利用特征函數求解連續(xù)型隨機變量函數密度函數的方法，無需大的計算量，只需要利用特征函數的一些變換即可求出連續(xù)型隨機變量函數的密度函數，此方法簡化了計算，有利于特征函數理論的進一步推廣和使用，也為連續(xù)型隨機變量函數的分布的求解提供了新的方法.

1 利用特征函數求解Y=g（X）的密度函數pY（y） ? 對于連續(xù)型隨機變量X，其定義域一般連續(xù)充滿某個區(qū)間或者一些區(qū)間的并，做某一函數變換Y=g（X）以后，隨機變量Y一般依然為連續(xù)型的隨機變量.故函數變換Y=g（X）可以拆分為一個或者多個單調區(qū)間.借助于特征函數的理論，由此，本文給出以下定理1.

定理1 設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數為pX（x），Y=g（X）是另一隨機變量，X僅在（？滋，v）上有非負值，其中？滋可取-∞，v可取+∞.可將（？滋，v）分為兩兩互不相容的子區(qū)間Ikj，（k=1，2，…，n;j=1，2，…），對于連續(xù)型隨機變量而言區(qū)間端點的取舍對概率的求解并無影響，故Ikj可以是開區(qū)間，也可以是閉區(qū)間，也可以是半開半閉區(qū)間，使得Y=g（X）在分割后的每個Ikj區(qū)間上恒有g′（x）>0或者g′（x）<0，即在每個Ikj區(qū)間上具有單調性，則Y=g（X）的反函數一定存在，設其為hnj（y），且在此區(qū)間上具有相同的單調性.Y=g（X）在Ikj，（j=1，2，…）上有值域（？琢k，？茁k），k=1，2，…，n，其中？茁k-1≤？琢k，k=2，…，n，則有

針對類似的具有多個單調區(qū)間的隨機變量函數變換，可以參照上述論證過程得以論證，在運用中，也可以直接使用定理1結論的變換方法得出相應的分布.

3 結束語

本文利用特征函數來求解連續(xù)型隨機變量的函數的分布，不是以特征函數求得新隨機變量的特征函數，再以唯一性定理與逆轉公式反解密度函數，也不是對特征函數性質中線性變換求解新變量特征函數的運用，而是以特征函數為手段，利用變換技巧直接求解新的隨機變量函數的密度函數.所需的計算量較小.在文中所舉例的函數中得到了良好的論證，把此方法推廣到其他函數之下，同樣具有良好的結論.

參考文獻：

〔1〕茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.104-288.

〔2〕夏天，王學仁.用積分變換法求解連續(xù)型隨機變量函數的密度函數[J].數學的實踐與認識，2013（16）：262-270.

〔3〕黃基延，趙麗免.特征函數的性質及其應用[J].高等數學研究，2014（4）：50-52.

〔4〕茆詩松，程依明，濮曉龍.高等數理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2017.36-50.

〔5〕黃基延，趙麗免.特征函數的性質及其應用[J].高等數學研究，2014（4）：50-52.

〔6〕王艷芳.隨機變量的特征函數在恒等式證明中的探討[J].大連大學學報，2002（6）：80-83.