特征函數(shù)在伽瑪分布中一個恒等式的證明及推廣

(四川民族學(xué)院理工學(xué)院 四川 康定 626001)

引言：特征函數(shù)是處理概率論問題的一個有力工具,但在實(shí)際的概率分析中直接利用分布函數(shù)、概率密度函數(shù)與分布列的情況較多[1].但在許多方面,特征函數(shù)比分布函數(shù)等具有更好的分析性質(zhì)[2].本文使用特征函數(shù)證明了伽瑪分布中的一個恒等式,并對恒等式的幾種特殊情況予以了探討。

1 特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)

定義[1]設(shè)X為一隨機(jī)變量,則稱φ(t)=E(eitx),-∞

當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時,有分布列pk=p(X=xk),k=1,2,…則X的特征函數(shù)為

當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時,有概率密度函數(shù)p(x)則X的特征函數(shù)為

引理[1]若E(Xl)存在,則X的特征函數(shù)為φ(t),可l次求導(dǎo),且對1≤k≤l,有

φ(k)(0)=ikE(Xk)

2 利用特征函數(shù)φ(t)證明Ga(α,λ)中的一個恒等式

…

3 Ga(α,λ)中的一個恒等式的推廣

證明 當(dāng)α=n時,Γ(n)=(n-1)!,即有

定理3的結(jié)論亦可多次使用分部積分法算出，但運(yùn)算量較大，使用本文的方法可以快速得出結(jié)論，化簡計(jì)算.

定理5 當(dāng)α=n,λ=1,為正整數(shù)時,令m=n+k-1有

證明 當(dāng)α=n時,Γ(n)=(n-1)!,即有

定理5給出了數(shù)字階乘與定積分之間的一個等式，有助于進(jìn)一步理解階乘與積分之間的一些聯(lián)系.

4 結(jié)語

本文以特征函數(shù)論證了伽瑪分布中的一個恒等式,并對這個恒等式的幾種特殊情況予以了討論.對于有些恒等式的證明.使用特征函數(shù)將使得證明更加巧妙與簡單,把這種方法推廣到其他分布的某些恒等式的證明之下,也具有良好的分析性質(zhì)。