非中心奇異Wishart分布的特征函數(shù)

李 斐,李 琴

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺(tái) 264005)

文獻(xiàn)[1-2]中討論了非奇異多元正態(tài)矩陣和非奇異Wishart矩陣的密度函數(shù)、特征函數(shù)以及其他一些重要性質(zhì)．UHLIG[3]將Wishart分布推廣到了奇異的情況,給出了奇異Wishart分布的密度函數(shù)等．DIAZ-GARCIA等在文獻(xiàn)[4]中進(jìn)一步推廣和完善了UHLIG的結(jié)果,給出了更一般情況下的奇異Wishart分布的密度函數(shù)．更多的相關(guān)結(jié)果可以參閱文獻(xiàn)[5-7]．

文獻(xiàn)[1-2]給出了非奇異的Wishart矩陣的特征函數(shù),其中文獻(xiàn)[2]也給出了非奇異非中心的Wishart矩陣的特征函數(shù)．但是對(duì)于最復(fù)雜的奇異非中心Wishart分布的特征函數(shù)并沒有討論．本文不但給出了奇異非中心Wishart分布的特征函數(shù),還將Wishart分布的一個(gè)重要性質(zhì)推廣到了奇異非中心的情況下,并用特征函數(shù)加以證明．

1 奇異非中心Wishart分布的特征函數(shù)

由文獻(xiàn)[2]中矩陣正態(tài)分布的定義,易知若Yr×s～N(O,Is×s,Ir×r),即vec(Y′)～Nrs(O,Ir×r?Is×s)．令

X=M+AYB′,

其中An×r,Bm×s為列滿秩矩陣．則不難得到

vec(X′)=vec(M′)+A?Bvec(Y′)～Nmn(vec(M′),AA′?BB′),

即X～Nn×m(M,Σ,Θ)．其中Θ=AA′,Σ=BB′,rank(Σ)=s,rank(Θ)=r．當(dāng)Σ,Θ為奇異矩陣時(shí),稱X服從奇異的正態(tài)分布．

文獻(xiàn)[3]將Wishart分布推廣到了n

定義1 若X～Nn×m(M,Σ,Θ),其中rank(Σ)=s,rank(Θ)=r．令

S=X′Θ-X,

則S服從奇異非中心Wishart分布,記為

其中Ω=Σ-M′Θ-M,q=min(r,s)．

下述定理給出了S的特征函數(shù)．

Σ-M′Θ-M,l=min(r,s)．則S的特征函數(shù)為

(1)

即為

(2)

證明 對(duì)Σ,Θ做特征值分解如下,

其中DΘ,DΣ分別為r×r,s×s階的對(duì)角矩陣,對(duì)角元素為Θ,Σ的非零特征值．P,Q分別為n×n,m×m階的正交矩陣．

令

(3)

注意到Z為奇異正態(tài)分布,根據(jù)文獻(xiàn)[2]的定理2.1可以得到Z的密度函數(shù)表達(dá)式以及下式,

(4)

因?yàn)?/p>

采用文獻(xiàn)[1]中對(duì)Wishart分布矩陣的特征函數(shù)的定義,注意到z1,…,zr相互獨(dú)立,有

(5)

(6)

(7)

再令

(8)

(9)

將式(7),式(8)代入式(6)中,可得,

(10)

易知式(10)的前兩部分相互獨(dú)立,第三部分幾乎處處為常數(shù),將式(10)代入式(5)可得,

(11)

分別計(jì)算式(11)中的2個(gè)期望,對(duì)于第一個(gè)期望化簡(jiǎn)如下,因?yàn)?/p>

(12)

其中非中心參數(shù)

(13)

由非中心卡方分布的特征函數(shù),式(12)可進(jìn)一步整理,

(14)

計(jì)算式(11)中的第二個(gè)期望,

(15)

(16)

由式(9)得

以及式(3),將式(16)的第一個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)部分化簡(jiǎn)如下,

(17)

式(16)的第二個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)部分化簡(jiǎn)如下,

(18)

式(16)的第三個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)部分化簡(jiǎn)如下,

(19)

式(16)的第四個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)部分化簡(jiǎn)如下,

(20)

將式(17)—(20)代入式(16)可得式(1),進(jìn)一步化簡(jiǎn)為式(2),故定理得證．

當(dāng)M=0時(shí),S即為中心的奇異Wishart分布,由定理2可得其特征函數(shù)．

當(dāng)rank(Σ)=m時(shí),即Σ為非奇異矩陣,由定理2可得其特征函數(shù)．

推論4的結(jié)論與文獻(xiàn)[3]中的相關(guān)結(jié)果是一致的．

2 應(yīng) 用

我們將文獻(xiàn)[1]的定理3.2.5推廣到奇異非中心的情況下,并利用定理2進(jìn)行證明．

(21)

證明 分以下3種情況討論:

(1) 當(dāng)A為p×p階正交矩陣時(shí),由定理1,

故式(21)成立．

故式(21)成立．

(3) 因?yàn)閜×m階的矩陣A可進(jìn)行奇異值分解,

其中U,V均為正交矩陣,則利用(1),(2)的結(jié)論,定理可證．