關(guān)于(a,b,0)分布類的特征函數(shù)統(tǒng)一表達(dá)式的若干標(biāo)記

李 浩，劉 莉，李 杰，屠瑤瑤，翟文祥

在非壽險(xiǎn)精算理論中，為了刻畫保單的索賠次數(shù)分布，需要建立索賠次數(shù)模型［1-4］.常用于刻畫索賠次數(shù)的分布有泊松分布、二項(xiàng)分布、幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布，四者可以統(tǒng)一表示為一種分布類，稱為 (a,b,0)分布類［5-8］.此分布類在非壽險(xiǎn)精算的實(shí)務(wù)中應(yīng)用較為廣泛，尤其是在非壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中會(huì)起到很重要的作用，其中會(huì)涉及到該分布類的特征函數(shù)、矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)等.文獻(xiàn)［1-2］給出了(a,b,0)分布類的矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)統(tǒng)一表達(dá)式的結(jié)論.

矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)的被積函數(shù)都是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，積分有時(shí)未必存在，從而兩者對(duì)一切實(shí)數(shù)未必都有定義.因此，并不是所有的分布函數(shù)都有矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)與之對(duì)應(yīng).而特征函數(shù)是一個(gè)實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)都有定義，并且隨機(jī)變量的特征函數(shù)可以通過(guò)傅里葉積分變換與分布函數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.所以探討(a,b,0)分布類的特征函數(shù)具有一定的理論意義.

1 基本定義

定義1［3］設(shè)隨機(jī)變量N的分布列{ }pk滿足

則稱N的分布為(a,b,0)分布類，其中a和b為參數(shù).

定義2［3］設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，其特征函數(shù)定義為

2 主要結(jié)果

定理1(a,b,0)分布類的一階原點(diǎn)矩與二階中心矩具有統(tǒng)一表達(dá)式，可表示為k=1,2.

證明 設(shè)隨機(jī)變量X服從(a,b,0)分布類，根據(jù)(a,b,0)分布類的定義，可以分別求出其期望及方差.由(a,b,0)分布類的定義可知，對(duì)于取值為非負(fù)整值隨機(jī)變量N，其期望為

由(a,b,0)分布類的定義可知，對(duì)于取值為非負(fù)整值隨機(jī)變量N，其方差為

定理2(a,b,0)分布類的矩母函數(shù)可用參數(shù)a和b表示為統(tǒng)一表達(dá)式，即

定理3(a,b,0)分布類的概率生成函數(shù)可用參數(shù)a和b表示為統(tǒng)一表達(dá)式，即

從特征函數(shù)、矩母函數(shù)和概率生成函數(shù)的定義出發(fā)，可以得到三者之間的關(guān)系為

其中，MX(t)、PX(t)分別為隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)和概率生成函數(shù).

定理4(a,b,0)分布類的特征函數(shù)可用參數(shù)a和b表示為統(tǒng)一表達(dá)式，即

對(duì)應(yīng)于式(3)，用于方位向成像的指數(shù)項(xiàng)為第二項(xiàng).此時(shí)將其他項(xiàng)并入幅度可得到同式(4)的N組方位向重構(gòu)模型為

證明 由特征函數(shù)與矩母函數(shù)及概率生成函數(shù)的關(guān)系，可將矩母函數(shù)MX(t)中的變量t替換為it，或者將概率生成函數(shù)PX(t)中的變量t替換為eit，即可得特征函數(shù)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式.

推論1泊松分布的特征函數(shù)為φN(t)=exp(λ(eit-1)).

證明 當(dāng)a=0，b=λ時(shí)，(a,b,0)分布類即為泊松分布.結(jié)合結(jié)論3.2［1］的證明方法，以及矩母函數(shù)與特征函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可得泊松分布的特征函數(shù)表達(dá)式.

推論2二項(xiàng)分布的特征函數(shù)為φN(t)=exp{mln[1+q(eit-1)]}.

推論3負(fù)幾何分布的特征函數(shù)為φN(t)=exp{-rln[1-β(eit-1)]}.

推論4幾何分布的特征函數(shù)為φN(t)=

(a,b,0)分布類中的四個(gè)分布的特征函數(shù)表達(dá)式，如表1所示.

表1 (a,b,0)分布類的特征函數(shù)

注：①當(dāng)r=1時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布即為幾何分布，則幾何分布的特征函數(shù)便可由負(fù)二項(xiàng)分布的特征函數(shù)得到；

②令二項(xiàng)分布中的兩參數(shù)m=-r，q=-β，二項(xiàng)分布即為負(fù)二項(xiàng)分布，則二項(xiàng)分布的特征函數(shù)亦可由負(fù)二項(xiàng)分布的特征函數(shù)得到；

③由泊松逼近定理可知，在滿足一定條件下，泊松分布可以看成是二項(xiàng)分布的極限形式.因此泊松分布的特征函數(shù)表達(dá)式，完全可以由二項(xiàng)分布與負(fù)二項(xiàng)分布的特征函數(shù)表達(dá)式給出.

3 結(jié)論

在精算模型中，刻畫保險(xiǎn)的理賠次數(shù)的分布，是一個(gè)重要的理論問(wèn)題.由于理賠次數(shù)是離散型隨機(jī)變量，所以使用概率理論中用于刻畫離散型隨機(jī)變量分布的幾種重要分布，如泊松分布、二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布及幾何分布.以上四種分布存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，將它們的分布類統(tǒng)一起來(lái)，得到了(a,b,0)分布類這一概念，于是常用(a,b,0)分布類及(a,b,1)分布類以描述保險(xiǎn)的理賠次數(shù)的分布情況.非壽險(xiǎn)產(chǎn)品在價(jià)格厘定過(guò)程中，產(chǎn)品的定價(jià)模型需要考慮利率、理賠額及理賠次數(shù)等因素，定價(jià)模型的計(jì)算會(huì)涉及到矩母函數(shù)、概率生成函數(shù)及特征函數(shù).因此建立(a,b,0)分布類的矩母函數(shù)、概率生成函數(shù)及特征函數(shù)的表達(dá)式及三者之間的關(guān)系尤為重要，而三者中唯有特征函數(shù)與分布函數(shù)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以本文正是在文獻(xiàn)［1-2］的基礎(chǔ)上，受啟發(fā)得出(a,b,0)分布類中各分布的特征函數(shù)具有統(tǒng)一表達(dá)式的結(jié)論.在刻畫非壽險(xiǎn)產(chǎn)品索賠次數(shù)分布這一類問(wèn)題時(shí)，常用二項(xiàng)分布或者負(fù)二項(xiàng)分布等，但是它們不一定都存在矩母函數(shù)，這樣就不能完全利用分布的矩母函數(shù)進(jìn)行定價(jià)，而特征函數(shù)克服了以上缺點(diǎn).因此，在非壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，可以考慮先確定特征函數(shù)，再利用特征函數(shù)與矩母函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)一步建立定價(jià)模型.