借助幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生空間數(shù)感策略探究

黃福齡

摘要：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義。質(zhì)量觀念、空間觀念都屬于數(shù)感的范疇。立體圖形的多面性和抽象性對于小學(xué)生來說有一定難度，為了突破這個難點，教師可借助幾何直觀，幫助學(xué)生建立空間觀念。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;空間數(shù)感;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)感作為新課標(biāo)中的十大核心概念之一，新課標(biāo)將其定義為一種感悟。這既包括感知又包括領(lǐng)悟，既有感性思維又有理性的思維。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義。質(zhì)量觀念、空間觀念都屬于數(shù)感的范疇。

學(xué)生在一年級認(rèn)識了立體圖形后，在五年級下冊開始認(rèn)識體積和體積單位，并學(xué)習(xí)計算圖形的體積。立體圖形的多面性和抽象性對于小學(xué)生來說有一定難度，為了突破這個難點，教師可借助幾何直觀，幫助學(xué)生建立空間觀念。有了空間觀念還不夠，培養(yǎng)學(xué)生對抽象的三維空間的數(shù)感，有利于學(xué)生快速對幾何空間問題的判斷和決策，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。下面以體積單位的認(rèn)識和體積的計算教學(xué)為例，探討借助幾何直觀對于建立空間數(shù)感的意義。

教學(xué)片段一：一粒粒的體積單位

師：我們知道物體的體積有大有小，計量長度，我們用一條條的長度單位——厘米、分米等;計量面積，我們用一塊塊的面積單位——平方厘米、平方分米等;那么計量體積又用什么單位好呢？

生1：用體積單位：立方厘米、立方分米、立方米等。

師：你見過體積單位嗎？它長什么樣的？

生2：1立方厘米有這么長（學(xué)生用食指和大拇指夾住1厘米左右的長度）。

生3：1立方厘米有指甲這么大（學(xué)生舉起大拇指說）。

生4：不對不對，那是測量長度和面積的單位，測量體積的單位應(yīng)該是一粒粒的，好像是一個正方體。

師：有道理嗎？（學(xué)生點點頭）那么1立方厘米是一個怎樣的正方體呢？

生5：應(yīng)該是棱長1厘米的小正方體。

師：觀察一下，你身邊有大約1立方厘米大的物體嗎？

生6：骰子、橡皮、大拇指頭。

教師出示課件：如果下面的圖形都是由體積是1立方厘米的小正方體堆砌成的，那么下面各圖占的空間有多大呢？

【評析】以上是讓學(xué)生認(rèn)識一立方厘米的教學(xué)片段，在師生的深度對話中，學(xué)生進(jìn)行了深度思考。在教學(xué)過程中運用了遷移、對比、直觀、想象的教學(xué)方法，讓學(xué)生建立起體積單位的概念。從生2和生3的回答可見，有學(xué)生對單位的認(rèn)識還停留在平面上，沒有上升到立體空間，而且對平面和立體的數(shù)感容易混淆。因此教學(xué)中宜用教具1立方厘米和身邊熟悉的參考物，充分建立1立方厘米的表象。讓學(xué)生直觀感知：長度單位是一條條的、面積單位是一塊塊的、體積單位是一粒粒的。確定了標(biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)去測量物體的體積。讓學(xué)生積累數(shù)空間里的體積單位的經(jīng)驗，這是培養(yǎng)學(xué)生空間數(shù)感的起點。如果學(xué)生深刻地認(rèn)識了1立方厘米，那么就不難理解1立方分米和1立方米了。對于抽象的1立方分米和1立方米，也可以借助幾何直觀，尋找學(xué)生身邊熟悉的物體作為標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生記住體積單位的表象。體積單位觀念的建立，有利于日后佶算物體的體積的大小，從而培養(yǎng)空間幾何的數(shù)感。

教學(xué)片段二：數(shù)出來的體積

一、趣味導(dǎo)入

1.我拼你說

（1）教師出示用棱長1cm的正方體搭成的不規(guī)則立體圖形，學(xué)生通過數(shù)一數(shù)口答圖形的體積。

（2）如果搭成規(guī)則圖形長方體和正方體，有更快的數(shù)出體積的方法嗎？讓學(xué)生說說數(shù)得快的方法，初步滲透長×寬×高的方法。

（3）出示被遮擋的長方體讓學(xué)生說體積，以突出只需要關(guān)注長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)。

2.情景設(shè)疑

（1）沒有方塊提示，直接問一個長方體的體積是多少。

（2）學(xué)生需要借助方塊測量、切割嗎？如果玉石不能切割，有其他辦法嗎？

【設(shè)計意圖】通過數(shù)體積單位來計算體積的方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生感知規(guī)則圖形的體積的計算方法是有規(guī)律的，引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)則圖形的體積計算的規(guī)律，也就是體積的計算方法。

二、推導(dǎo)公式

1.猜想：量出它的長、寬、高的數(shù)據(jù)就可以計算。是不是所有的長方體的體積都可以用長乘寬乘高來計算呢？

2.驗證。

（1）小組合作，用準(zhǔn)備好的12塊1cm的小正方體，任意擺出不同的長方體，然后把數(shù)據(jù)填入下表。

（2）通過實驗進(jìn)一步驗證：無論怎么擺成長方體，長方體的體積都正好等于長方體長、寬、高的乘積。

歸納：長方體的體積=長×寬×高（如果用字母V表示長方體的體積公式可以寫成V=abh）

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生動手操作，合作探究長方體的體積的計算的規(guī)律，滲透歸納推理的思想方法，總結(jié)規(guī)律，形成模式，即計算公式。

【評析】如果立體圖形的體積都可以看作這個圖形是用體積單位堆砌成的，那么任何立體圖形的體積的測量和計算都可以通過數(shù)體積單位而得到結(jié)果，只是規(guī)則圖形有更快的數(shù)的方法，并形成規(guī)律，即公式，而計算不規(guī)則圖形的體積可以用估測或排水法等等。曾經(jīng)對一個班的學(xué)生做過調(diào)查，有97%的學(xué)生知道用長×寬×高可以算出長方體的體積，但只有58%的學(xué)生知道為什么可以用長×寬×高算出體積，大部分學(xué)生覺得如果不知道長、寬、高就無法計算體積。這說明了教學(xué)過程中如果太強(qiáng)調(diào)公式計算的好處，則會忽略了本質(zhì)，導(dǎo)致很多學(xué)生只知道計算公式，并不知道為什么這樣算，對公式進(jìn)行變式就無法算，所以教學(xué)要追本溯源。長度用長度單位測量，面積用面積單位測量，體積用體積單位測量，所以通過數(shù)體積單位知道物體的體積是通法，適用于任何圖形。學(xué)生在數(shù)體積單位的過程中，發(fā)現(xiàn)有的規(guī)則圖形，如長方體、正方體，可以有更快的數(shù)的方式，就是先數(shù)一行有幾個，再數(shù)一層幾個，再乘層數(shù)就能快速數(shù)出它占的空間有幾個體積單位，因而得出長方體的體積跟它的長、寬、高有關(guān)。教師在教學(xué)中借助幾何直觀圖，讓學(xué)生積累從直觀數(shù)據(jù)到抽象概念或模型的活動經(jīng)驗，能幫助學(xué)生從本質(zhì)上掌握概念的意義或解決問題的方法，而不是表面的簡單記憶。

學(xué)生空間觀念方面的數(shù)感建立了，就不會盲目用公式計算物體的體積，而是從物體的長、寬、高三維數(shù)據(jù)去分析物體所占的空間大概有多少去解決問題。如常見問題：把一塊長12厘米，寬5厘米，高4厘米的石頭裝在長8厘米，寬8厘米，高5厘米的長方體禮盒里，裝得下嗎？

生1：石頭的體積是12×5×4=240（立方厘米）禮盒的體積是8×8×5=320（立方厘米）禮盒的體積>石頭的體積，所以裝得下。

生2：因為石頭的長、寬、高的數(shù)據(jù)與禮盒的長、寬、高相比，其中禮盒的長8厘米<石頭的長12厘米，所以裝不下。

可見，生1是對長方體的體積計算方法停留于表面記憶，并不理解，更談不上空間觀念上的思考。而生2則從幾何空間思考立體圖形的三維數(shù)據(jù)進(jìn)行合理分析問題。二者區(qū)別在于理解和不理解，有空間觀念和無空間觀念的機(jī)械計算。因此，對于幾何空間的概念或計算方法的起始課，很有必要借助幾何直觀，幫助學(xué)生建立空間觀念和空間上的數(shù)感。

“數(shù)感”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上是非常重要的必備素養(yǎng)，而空間幾何圖形的數(shù)感對于仍停留在直觀思維較多的小學(xué)生來說是比較困難的，為了突破這個難點，教師可借助幾何直觀，增強(qiáng)學(xué)生理解空間的數(shù)據(jù)特點，建立空間觀念，培養(yǎng)空間數(shù)感。綜合上面的教學(xué)例子，進(jìn)一步說明建立空間觀念和培養(yǎng)數(shù)感的重要性，正如《課標(biāo)》所說，對于幾何圖形一類的教學(xué)同樣適用。