幾何畫板，突破函數(shù)難點

卓桂華

摘 要：函數(shù)，讓學生從常量數(shù)學進入到變量數(shù)學學習，函數(shù)圖象，作為函數(shù)主要的表現(xiàn)形式之一，也是函數(shù)學習的重要工具，函數(shù)圖象的學習是初中階段數(shù)學的重點也是難點。幾何畫板，可以在圖象教學中“化無限為有限”，在圖象教學中“化抽象為具體”，成為學生探究函數(shù)圖象的數(shù)學工具。因此，初中函數(shù)圖象教學中，利用幾何畫板可以有效的突破教學難點。

關鍵詞：幾何畫板;函數(shù)圖象;難點突破

一、我的認識

1. “幾何畫板”簡介

“幾何畫板”軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優(yōu)秀教育軟件，1996年該公司授權人民教育出版社發(fā)行該軟件的中文版。正如其名“21世紀動態(tài)幾何”，它能夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關系、運行變化規(guī)律，是數(shù)學與物理教師制作課件的“利劍”！現(xiàn)在的幾何畫板版本號達到5.05，可以無縫插入PPT演示文稿中并保留它的動態(tài)與交互窗口。

2.初中函數(shù)圖象教學難點

初中生學習函數(shù)圖象是他們學習函數(shù)的起點，全新的東西會給他們帶來一定的困難，那么函數(shù)圖象學習的難點是什么呢？以浙江教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書》為例，《一次函數(shù)的圖象》一節(jié)難點是“驗證圖象的完備性（坐標是滿足一次函數(shù)解析式的點在直線上）、純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式），學生不易理解”;《反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)》一節(jié)的困難是“由于反比例函數(shù)的圖象分成兩支，給畫圖象帶來了復雜性”;《二次函數(shù)的圖象》分三節(jié)課展開，“y=ax2（a≠0）型，選擇適當?shù)淖宰兞康闹导跋鄳暮瘮?shù)值畫函數(shù)圖象，過程復雜，是教學難點”;“y=a（x+m）2+k（a≠0）型，對于平移變換的理解和確定，學生較難理解，是教學難點”;“y=ax2+bx+c（a≠0）型，需要通過配方變形，過程復雜，是教學難點”。

二、我的實踐

1.利用“幾何畫板”化無限為有限，妙證一次函數(shù)圖象的“完備性”與“純粹性”

在《一次函數(shù)的圖象》教學中，學生難以理解“驗證圖象的完備性與純粹性”，其實是“完備性”與“純粹性”本身不易理解，它們都涉及到對數(shù)學中“無窮”概念的理解。完備性——所有坐標滿足一次函數(shù)的點都在直線上，純粹性——圖象上所有的點的坐標都滿足函數(shù)解析式。這里兩個“所有”究竟有多少，其實是一個“無窮大”的概念，抽象、難以理解。

（1）粉筆黑板——難以突破《一次函數(shù)的圖象》中客觀存在的難點

在《一次函數(shù)的圖象》教學中，學生通過完成合作學習，探究一次函數(shù)圖象，合作學習內(nèi)容如下：

對一次函數(shù)y=2x與y=2x+1作如下研究，

（1）分別選擇若干對自變量與函數(shù)的對應值，列表如下;

x … …

y=2x … …

y=2x+1 … …

（2）分別以表中x的值作為點的橫坐標，對應的函數(shù)y的值作縱坐標得到兩組點，寫出這兩組點的坐標;

（3）在直角坐標系中根據(jù)所寫出的坐標畫出這兩組點;

（4）觀察這兩組點，你發(fā)現(xiàn)了什么？與同伴交流?！?/p>

學生能觀察到坐標滿足y=2x各點（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）都在直線l1;而坐標滿足一次函數(shù)y=2x+1的點（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5）都在直線l2上。課堂上師生在l1與l2上取點驗證其坐標滿足解析式時，因為取“點”讀“坐標”單憑“眼觀尺量”一定有誤差，很難很好的滿足解析式，所以“黑板粉筆”手段在驗證“純粹性”時困難是客觀實在的;其次，坐標滿足解析式的點何止千萬，畫出來的幾個點在直線上，還有無數(shù)個坐標滿足解析的點，如何讓學生“相信”也在直線上，如何驗證它的完備性？其實學生有了實踐中的體驗，就差那么一點點，“黑板粉筆”就是不能把事實擺在孩子們的面前，讓它們信服。

（2）幾何畫板——提供讓孩子們難以想象的實驗驗證其“完備性”與“純粹性”

當學生完成好合作學習的四個環(huán)節(jié)后，師生交流：

師問：“坐標滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=2x的點只有我們畫出來的這些點嗎？

其它坐標滿足y=2x的點也在這條直線上嗎？y=2x+1呢？”

互動：學生根據(jù)解析式y(tǒng)=2x寫坐標滿足它的點的坐標，老師把同學們寫出坐標的點畫出如圖的坐標系內(nèi)。學生，寫出的坐標，有一定任意性，數(shù)學中的“所有”有時可以用“任意”來描述，例如函數(shù)y=2x自變量取值范圍是所有實數(shù)，也可理解為自變量x可以是任意一個實數(shù)。老師，利用幾何畫板，畫出學生寫出的點，給學生展示出一個客觀事實，“坐標滿足函數(shù)解析式的點都在直線上”?！巴陚湫浴痹趲熒幕又械玫津炞C。

而關于“純粹性”，在直線上取一動點，利用“幾何畫板”的“度量”工具度量出其在任意位置的點的坐標，學生完成“驗證坐標滿足函數(shù)解析式”，進而體驗到直線上的點的坐標滿足解析式。

經(jīng)過自主探索、同伴交流、師生驗證，學生在意識中已經(jīng)有了一次函數(shù)y=2x與y=2x+1的圖象的最初概念——一條直線。但是對于一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）是一條直線嗎？我們可以再次利用“幾何畫板”繪圖“工具，師生互動，學生任意給出一次函數(shù)解析式，老師在畫板上操作畫出圖象，用實例打消了學生的疑慮，確定”一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）可以用坐標系內(nèi)一條直線表示，這條直線也叫一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的圖象?！?/p>

2.幾何畫板——化“抽象”為“具體”，突破學生理解的難點

有了一次函數(shù)圖象及性質(zhì)的學習經(jīng)驗，學生在學習反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)就有章可尋了。特別在學習反比例函數(shù)圖象時，學生對于“列表、描點及連線”這樣描點法畫函數(shù)圖象的套路在一次函數(shù)圖象時已經(jīng)經(jīng)歷過，在此不會陌生。雖然探究函數(shù)圖象的方法不變，但面臨的際函數(shù)卻有不同，這將使學習反比例函數(shù)圖象出現(xiàn)新的困難。一次函數(shù)中變量的取值不受限制，變化連續(xù)均勻，圖象是直線型，學生在探究一次函數(shù)圖象過程中只需要任意的四、五個點就容易發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律和圖象“直線型”特征。反觀，反比例函數(shù)變量取值不同于一次函數(shù)，無論是自變量還是函數(shù)都不能取零，在實數(shù)范圍內(nèi)，反比例函數(shù)的變化在原點處不連續(xù)，圖象是獨立的兩部分。對此，學生在圖象探究過程中是難以理解和想象的。

在《反比例函數(shù)圖象》教學中，學生探究活動，主要通過合作學習的幾個環(huán)節(jié)：根據(jù)以下步驟，在直角坐標平面內(nèi)畫出反比例函數(shù)y=6/x的圖象。

（1）列表。根據(jù)表中x的取值，求出相應y的值，你對取值有什么想法？

x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …

y=6/x … …

（2）以表中各組對應值為點的坐標，在直角坐標系中描出相應的點;

（3）先在第一象限，按自變量由小到大把點用光滑的曲線連結，得到圖象第一個分支;再在第三象限內(nèi)畫出圖象的另一個分支。

第（3）個環(huán)節(jié)是有疑惑的：為什么是兩支？這兩支會不會是連在一起的呢？在“黑板粉筆”的手段下只能引導學生觀察上環(huán)節(jié)（1）表中各組值的變化及相關點的位置變化規(guī)律——當x的絕對值變大時，相應點離x軸的距離越近，反之，離y軸越近，即雙曲線每一支都向兩端無限延伸且無限接近坐標軸，所以兩支不會相連。這些都是理性分析，沒有實際的圖象可共觀察，抽象，難理解。

幾何畫板可以彌補沒有“實圖可看”的缺憾。首先當學生完成到環(huán)節(jié)（3）不知該如何連線時，我們利用幾何畫板的“繪圖”工具畫出函數(shù)y=6/x的圖象，使學生相信科學，相信該函數(shù)的圖象確實是兩條曲線;其次，我們還可以用鼠標對雙曲線上的箭頭進行拖拽，實現(xiàn)“雙曲線的每一支向兩端無限延伸，且越來越接近坐標軸，但永不相交”動畫展示過程。

幾何畫板的繪圖工具與動態(tài)演示功能把反比例函數(shù)圖象部分特征具體化，讓本是抽象難懂的“規(guī)律”變得具體可見，突破本節(jié)課的難點

。從此，學生真正感受到：“反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）圖象是由兩個分支組成的曲線，又稱雙曲線，當k>0時，圖象在一、三象限;當k<0時，圖象在二、四象限;反比例函數(shù)圖象關于原點成中心對稱?！?/p>

3.幾何畫板——“先識圖再畫圖”，利用“性質(zhì)”指導“作圖”，突破難點，提高了效率

（1）“探究活動”，借助先進的方法和工具

初中階段關于函數(shù)圖象教學中，始終都有培養(yǎng)學生“探究意識”的意圖，從“一次函數(shù)的圖象”到“二次函數(shù)的圖象”無一例外都是在學生不知道這些圖象究竟是什么的情況下先畫。規(guī)律簡單明顯的函數(shù)，手工繪制可以探究，如一次函數(shù)的圖象，但如若函數(shù)復雜，同樣是探究圖象，必要是要學會借用工具和先進的技術，如函數(shù)y=x5-4x3+3x2，手工繪制就難以完成。初中階段的反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象要比一次函數(shù)的圖象復雜，學生的探究有困難，如反比例函數(shù)圖象的分段性，二次函數(shù)圖象的對稱性及量變的加速性，所以二次函數(shù)圖象的教學可以借助先進的CAI軟件進行教學。

（2）“作二次函數(shù)的圖象”，在圖象及性質(zhì)指導下完成的

二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)應用廣泛，是初中生必須掌握畫二次函數(shù)圖象的基本技能。縱觀二次函數(shù)圖象教學，都是在用拋物線的對稱性畫圖，從第一個二次函數(shù)的圖象y=x2，在列表確定自變量及相應函數(shù)值時用到拋物線的對稱性及頂點，直到熟練后的“五點法”畫圖，也是利用拋物線的軸對稱性及頂點、交點等特征點完成。因此，二次函數(shù)的圖象教學也可以采用此法，先讓學生了解二次函數(shù)圖象的一些直觀特性，再利用這些特性進行定量研究，探索新知。

（3）“二次函數(shù)圖象”，先畫圖象，再探性質(zhì)，后作圖象

如“y=ax2”型圖象教學，以y=x2為例，學生列表確定自變量x的值是有講究的，學生若方法不當，點都在對稱軸的一邊，探究出來的圖象可能更象是直線而非拋物線。教學過程中，可以先利用幾何畫板畫出學生從未見過的二次函數(shù)y=x2的圖象，引導學生歸納此圖象有何特點：對稱性——y軸為其對稱軸;頂點，圖象上位置最低點，原點，在對稱軸上;圖象在x軸上方（除頂點）…引起學生思考討論：所有“y=ax2”型圖象都這樣嗎，比如y=-2x2？

經(jīng)過y=x2與y=-2x2的圖象對比，學生發(fā)現(xiàn)它們的頂點（0，0）及對稱軸y軸不變，但位置有在x軸上也有x軸下。引導學生繼續(xù)思考為什么前者在x軸上而后者卻在下？當學生發(fā)現(xiàn)“這與系數(shù)a有關，若a>0，則y≥0，圖象在x軸上，若a<0，則y≤0，圖象在x軸下”時，二次函數(shù)y=ax2的圖象學生已知曉：二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，關于y軸對稱，頂點為坐標原點。當a>0時，拋物線在x軸上方，開口朝上，頂點為最低點;當a<0時，拋物線在x軸下方，開口朝下，頂點為最高點。

最后，如何用描點法畫y=x2圖象呢？根據(jù)拋物線的特點，列表定值必從頂點即從x=0，y=0開始，x的值左右兩邊對稱確定，如下表：

x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …

y=x2 … …

完成列表、描點、連線作出相關圖象。

三、結束語

1.“幾何畫板”在初中函數(shù)圖象教學中，能有效突破難點。“工欲善其事必先利其器”。在初中函數(shù)圖象教學過程中，利用“幾何畫板”可以提供直觀的與之有關的例子，突破學生對函數(shù)圖象理解的難點。當然，“幾何畫板”只是眾多深入課堂的信息技術之一，借助信息技術，能給我們的教學帶來裨益。但是信息技術不是萬能的，技術再先進也要人來用，決定成敗的關鍵因素在于教師的數(shù)學素質(zhì)和教學設計。

2.“幾何畫板”能給數(shù)學實驗提供切實可行的操作平臺?！皫缀萎嫲濉逼脚_下的數(shù)學實驗活動能化靜為動 、變抽象為具體 、變演繹為實驗 、變傳授為感悟，它除保留傳統(tǒng)實驗教學的長處外，還具有個別化和交互性等特點，這些獨特的數(shù)學教學優(yōu)勢，不僅可以讓學生直接參與實驗教學，還實現(xiàn)了交流對象的可選化。在操作中學數(shù)學，這種新的信息技術和數(shù)學實驗整合的教學模式，為學生今后的可持續(xù)發(fā)展打下良好的基礎，對于改進教學、提高教學質(zhì)量有著積極的作用。

參考文獻

[1] 張景中，彭翕成，深入數(shù)學學科的信息技術，2009年10月.

[2] 蔣建東，淺談初中階段函數(shù)思想方法的教學，2005.9.

[3] 陳 鋒，多元化的幾何畫板平臺下數(shù)學實驗教學的研究，教師，2013年15期.

[4] 王西武， 利用幾何畫板探析一道高題，考試周刊，2011年第44期.