解析幾何教學(xué)中常用數(shù)學(xué)軟件的對(duì)比分析

摘 ? 要：文章根據(jù)解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，介紹解析幾何教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)軟件：幾何畫板，Maple，Mathematica，Matlab，并對(duì)它們進(jìn)行分析對(duì)比。

關(guān)鍵詞：解析幾何;幾何畫板;Maple;Mathematica;Matlab

常用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，作為數(shù)學(xué)研究的工具，具有強(qiáng)大的編程功能、圖形功能、數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算功能。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究、教學(xué)和利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題等方面都有著極其重要的應(yīng)用?？臻g解析幾何以往采用的教學(xué)方式是傳統(tǒng)的“粉筆加黑板”方式，空間幾何圖形用粉筆不易畫出，且準(zhǔn)確性差，又耗時(shí)間，很難將空間的圖形形象生動(dòng)地表現(xiàn)出來，學(xué)生對(duì)老師的教學(xué)內(nèi)容感到枯燥、乏味，不易理解，無法展現(xiàn)感性知識(shí)給學(xué)生，這種方式的教學(xué)已不能適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的需求。所以，在解析幾何教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件進(jìn)行輔助，能夠拓寬認(rèn)知的途徑，克服上述困難，讓學(xué)生能夠深刻理解和掌握解析幾何中的各種曲面和曲線，增強(qiáng)分析問題的能力，掌握解決問題的方法，使學(xué)生對(duì)教師全新的教學(xué)方法和手段有一個(gè)全面的認(rèn)知和感受，培養(yǎng)學(xué)生多方面的求知興趣，不斷提高學(xué)習(xí)，從而獲得廣泛的知識(shí)信息[1]。

根據(jù)解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)軟件融入解析幾何教學(xué)是當(dāng)前形勢(shì)的需要，更是課程性質(zhì)的需求，教師在常用數(shù)學(xué)軟件的選擇以及應(yīng)用上要掌握較高的技能。下面對(duì)解析幾何教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)軟件及其應(yīng)用作簡(jiǎn)要介紹和對(duì)比分析。

1 ? ?軟件概述

1.1 ?幾何畫板

幾何畫板是美國Nicholas Jackiw開發(fā)，Key Curriculum出版的數(shù)學(xué)軟件工具。此軟件給用戶提供繪圖窗口，一組繪圖工具，一批功能選項(xiàng)，能夠用尺規(guī)作圖法則，準(zhǔn)確作出各種幾何圖形。利用動(dòng)畫、運(yùn)動(dòng)、變換等功能，把所要研究的幾何問題從靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，能夠動(dòng)態(tài)地保持恒定的幾何關(guān)系。幾何畫板工具能夠畫出解析幾何中普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等各種形式的方程曲線。能夠“追蹤”動(dòng)態(tài)的對(duì)象，并把該對(duì)象的“軌跡”顯示出來。能夠通過拖動(dòng)點(diǎn)、線、面來觀察整個(gè)圖形的變化，從而研究兩個(gè)或兩個(gè)以上曲面或曲線的位置關(guān)系。比如在空間解析幾何教學(xué)中，柱面、錐面以及其他旋轉(zhuǎn)曲面的形成過程和表達(dá)式比較復(fù)雜而且難懂的內(nèi)旋輪線、漸伸線、內(nèi)擺線、外擺線等，可以借助幾何畫板，準(zhǔn)確地展示出來。學(xué)生利用幾何畫板可以完成某些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，解決數(shù)學(xué)問題中的難點(diǎn)，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、探究能力。教師利用幾何畫板可以制作數(shù)學(xué)教學(xué)課件，顯著提高課堂效率[2-3]。

1.2 ?Maple

Maple是由加拿大Waterloo大學(xué)開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，主要功能包括二維和三維作圖、符號(hào)計(jì)算、數(shù)值處理、編輯功能。Maple提供了2 000余種數(shù)學(xué)函數(shù)，內(nèi)置豐富的數(shù)學(xué)求解庫，覆蓋幾乎所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容，涉及的范圍有：代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、離散數(shù)學(xué)、圖形學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)論、矩陣論、群論以及數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。Maple具有方便快捷的二維、三維作圖功能，運(yùn)用于解析幾何教學(xué)中，可以非常準(zhǔn)確、快捷地繪出所需圖形，教學(xué)內(nèi)容圖文并茂，直觀、生動(dòng)，非常有利于學(xué)生掌握?qǐng)D形之間的相互關(guān)系，使教學(xué)難點(diǎn)得以突破。在解決實(shí)際問題時(shí)，常會(huì)遇到由幾個(gè)曲面所圍成的空間區(qū)域，學(xué)生很難想象出形成的是什么樣的圖形，用Maple編程，可以很方便地觀察幾個(gè)曲面所圍成的區(qū)域以及它們的交線。由此可見，Maple的2D，3D圖形和動(dòng)畫功能是它強(qiáng)大計(jì)算功能的形象化體現(xiàn)，此功能特別適合制作解析幾何多媒體教學(xué)輔助課件。

1.3 ?Mathematica

Mathematica是美國Stephen Wolfram領(lǐng)導(dǎo)的Wolfram Research公司開發(fā)研制的數(shù)學(xué)工具軟件，主要用C語言開發(fā)其基本系統(tǒng)，比較容易轉(zhuǎn)移到各種應(yīng)用平臺(tái)。Mathematica具有符號(hào)計(jì)算、數(shù)值處理、二維與三維作圖功能，是集文字編緝、圖文處理和數(shù)據(jù)處理的一個(gè)功能齊全、圖文并茂的系統(tǒng)，能夠應(yīng)用多種格式的文件、完成多種文件格式的相互轉(zhuǎn)換。如RTF，HTML，JPG，BMP等文件格式，能夠完成人們所熟悉的初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算與作圖，并具有動(dòng)畫和聲音等多媒體功能。在教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用Mathematica軟件，能充分發(fā)揮其教學(xué)輔助作用，如解析幾何中直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)和參數(shù)方程的作圖以及空間曲線、空間曲面、同一幅圖中多個(gè)圖象的等高線圖和密度圖。

1.4 ?Matlab

Matlab由美國MathWorks公司開發(fā)的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、自動(dòng)控制、應(yīng)用線性代數(shù)、數(shù)字信號(hào)處理和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等方面為首選工具軟件。Matlab能夠在多個(gè)操作平臺(tái)上運(yùn)行，使用方便，能夠應(yīng)用其內(nèi)部Editor、或者其他字符處理器，Matlab具備強(qiáng)大的特殊計(jì)算功能，能夠與Word結(jié)合在一起，可以在Word中直接調(diào)用Matlab的很多功能，使Word應(yīng)用提升。Matlab是集圖形可視化、符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算三大功能于一體的數(shù)學(xué)教學(xué)工具軟件。在教學(xué)中，利用Matlab的圖形可視化功能，對(duì)圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的可視化設(shè)計(jì)，能夠把曲面、曲線的變化過程和形成過程準(zhǔn)確地展示出來，能夠直觀觀察多種常見的三維曲面和曲線的形狀及其特點(diǎn)，通過按鈕切換能夠看到圖形的窗簾圖、網(wǎng)格圖和等高線圖，對(duì)提高課堂解析幾何教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生空間想象的能力，起到事半功倍的效果。

2 ? ?對(duì)比分析

幾何畫板重在設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)推理，側(cè)重于展示“在動(dòng)態(tài)狀態(tài)下，幾何元素保持幾何關(guān)系間的不變性”，充分體現(xiàn)教學(xué)水平和教學(xué)思想。幾何畫板采用的是菜單式界面，和文字處理軟件WPS中Word的界面相似，操作方便，沒有復(fù)雜的操作命令。教師在上課前用“畫板”畫出要講授的知識(shí)，保存為后綴為.gsp的文件，系統(tǒng)能夠自動(dòng)記錄教師制作課件的過程，上課時(shí)，可以重復(fù)調(diào)用制作好的課件，為教育教學(xué)服務(wù)。幾何畫板文件容量較小，不需要安裝，可以直接打開使用，教師可以在不同版本、不同操作系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)上使用幾何畫板開發(fā)的數(shù)學(xué)課件，快捷方便，其他數(shù)學(xué)軟件無法相比擬。作為未來的人民教師，師范院校的大學(xué)生很有必要掌握幾何畫板軟件，提高數(shù)學(xué)課件的開發(fā)、制作能力，為今后從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)做好準(zhǔn)備。但幾何畫板和其他數(shù)學(xué)軟件相比較，在數(shù)值計(jì)算、3D作圖方面顯出不足。比如幾何畫板無法直接利用二元函數(shù)的表達(dá)式描繪三維曲面圖形，無法體現(xiàn)三維空間中方程與軌跡的關(guān)系，展示不了幾何教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想。

Maple具有二維和三維繪圖功能，擅長符號(hào)運(yùn)算，有專門的軟件包處理空間幾何命令。用Maple可以創(chuàng)建空間幾何對(duì)象，能夠識(shí)別空間中的點(diǎn)、線、面、球、多面體等空間幾何圖形。Maple可以用特殊的命令來判斷空間幾何對(duì)象的相互關(guān)系，可以用代數(shù)方法來解決幾何問題，比如求夾角和距離。Maple可以充分體現(xiàn)幾何中的數(shù)形結(jié)合思想。其命令格式，簡(jiǎn)單易學(xué)，適合學(xué)生進(jìn)行解析幾何中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。Maple能夠非常靈活地顯示圖形，可應(yīng)用于解析幾何演示教學(xué)中。Maple繪制的曲面，能夠從不同角度方便地進(jìn)行觀察，加深學(xué)生對(duì)曲面的圖形和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

Mathematica和Maple相似，也擅長于符號(hào)運(yùn)算，在處理符號(hào)、繪圖等方面各有千秋，有些Mathematica能處理的，Maple卻不能處理，比如求極限、求某些積分等。Mathematica具有輸入界面友好、比Maple易學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。在解析幾何課堂教學(xué)演示中，Mathematica在圖形繪制、顯示方面不及Maple便捷，如果只是一般的圖形展示或計(jì)算，Mathematica可以勝任。

Matlab軟件運(yùn)行需要較高的資源配置，與其他數(shù)學(xué)軟件比較，運(yùn)行速度偏慢。Matlab擅長于數(shù)值運(yùn)算，其符號(hào)運(yùn)算不及Maple。如果要處理圖形方面或矩陣方面的問題，用Matlab較好，Matlab的強(qiáng)項(xiàng)就是進(jìn)行圖形方面的處理和矩陣計(jì)算，用Matlab中的NoteBook，與Word編輯功能相結(jié)合，處理科技文章非常方便。Matlab在繪制圖形方面很有特色，但編程方面比Maple和Mathematica要復(fù)雜一些。在空間解析幾何教學(xué)中，使用Matlab中獨(dú)有的圖形用戶界面（Graphical User Interface， GUI），能夠設(shè)計(jì)出一個(gè)美觀、簡(jiǎn)潔、明了的操作界面，在圖形界面上實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理及顯示相關(guān)圖形的功能，為使用者提供一個(gè)友好的人機(jī)圖形交互平臺(tái)，如橢球面、雙曲面、拋物面等二次曲面可以制作成GUI界面的課件，方便教師課堂教學(xué)使用和攜帶。課件能夠直觀地觀察各種三維曲面的形狀和特點(diǎn)，給學(xué)生很強(qiáng)的視覺效果，有利于學(xué)生理解和掌握所學(xué)的知識(shí)，完成傳統(tǒng)教學(xué)模式不易或不能實(shí)現(xiàn)的教學(xué)任務(wù)，突破傳統(tǒng)解析幾何教學(xué)無法解決的難點(diǎn)。課件還可以根據(jù)教學(xué)要求，隨時(shí)調(diào)用，顯著提高工作效率，提高解析幾何教學(xué)效果[4]。

3 ? ?結(jié)語

數(shù)學(xué)軟件輔助解析幾何教學(xué)能夠增加課堂教學(xué)的信息量，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，顯著提高教學(xué)效率;能夠突破教學(xué)中的難點(diǎn)，突顯教學(xué)重點(diǎn)，提高學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用能力。利用教學(xué)軟件，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題變?yōu)橹庇^生動(dòng)、易于學(xué)生理解和掌握的問題，增強(qiáng)師生互動(dòng)和學(xué)生的參與意識(shí)，既傳授了數(shù)學(xué)知識(shí)也傳授了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，使學(xué)生通過主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)來進(jìn)行學(xué)習(xí)。但是，對(duì)教學(xué)軟件的選擇應(yīng)注意其目的性、交互性和靈活性，除本文介紹的4種軟件，還有Authorware，PowerPoint，F(xiàn)lash，MathCAD，3DSMax等數(shù)學(xué)課件制作工具，軟件各有所長，在幾何教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，在不同的環(huán)節(jié)中，應(yīng)選用合適的教學(xué)軟件。

[參考文獻(xiàn)]

[1]傅耀良，郇中丹.常用數(shù)學(xué)軟件[M].北京：人民教育出版社，2006.

[2]呂林根，許子道.解析幾何[M].4版.北京：高等教育出版社，2006.

[3]鐘軍平，何青，黃傳軍.《解析幾何》CAI軟件的開發(fā)與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（4）：79-82.

[4]朱曉峰，田益民.數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009（13）：232-235.