追根溯源探本質(zhì) 求簡重悟促發(fā)展
——《植樹問題》的教學(xué)思考與實(shí)踐

□ 李 靜

一直以來，植樹問題都是人教版“數(shù)學(xué)廣角”各類研究課、公開課的經(jīng)典選擇。課堂上，教師能順利引導(dǎo)學(xué)生得出三種模型的公式，學(xué)生也能說得清楚明白。然而一旦運(yùn)用到解決實(shí)際問題中，很多學(xué)生就判斷不出到底是該“加1”“減1”，還是不加不減。筆者認(rèn)為，植樹問題的教學(xué)不是歸納出三種類型，將它們加以記憶甚至要求學(xué)生以此為模板對號入座那么簡單，而是要遵循數(shù)學(xué)廣角的設(shè)計(jì)理念：經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，在活動中感悟數(shù)學(xué)思想。

一、追本溯源，探究植樹問題的“根”

植樹問題承載的數(shù)學(xué)思想是對應(yīng)，教學(xué)時應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)具、圖示的作用，讓學(xué)生深入理解算式的意義、將學(xué)習(xí)目標(biāo)牢牢定位在對應(yīng)思想的體驗(yàn)與感悟上，真正建立“棵數(shù)”與“段數(shù)”之間的一一對應(yīng)關(guān)系。這樣，哪怕日后遺忘了所謂的公式，學(xué)生也能憑借對除法意義的理解，應(yīng)用對應(yīng)思想重新找回解決問題的路徑與手段。這便是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)廣角的意義與價(jià)值所在。

“植樹問題”并非是一種橫空出世的新問題，它與“路燈問題”“樓梯問題”“敲鐘問題”“鋸木問題”等都屬于間隔問題，即間隔長度不變，點(diǎn)和間隔依次重復(fù)出現(xiàn)的問題。其中，間隔數(shù)＝總長度÷間隔長度，就是在求“一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)”。因此，植樹問題本質(zhì)上是包含除意義的生活應(yīng)用。教師完全可以將它與以前學(xué)過的用除法解決問題聯(lián)系起來：間隔數(shù)就相當(dāng)于“段數(shù)”，是除法運(yùn)算得到的商，而植樹問題求的是“棵數(shù)”，所以不能直接把商作為結(jié)果，還需要根據(jù)實(shí)際情況對商進(jìn)行微調(diào)。就像有余數(shù)除法要根據(jù)實(shí)際情況對余數(shù)進(jìn)行“進(jìn)一”“去尾”的處理一樣，植樹問題的結(jié)果會出現(xiàn)“商+1”“商-1”“商不加不減”這三種情況。

二、求簡重悟，實(shí)踐植樹問題的“本”

基于對植樹問題本質(zhì)屬性的判斷，根據(jù)它的教材定位，結(jié)合它的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者以為：既然植樹問題本質(zhì)上是除法，那就從包含除入手，把它定位成特殊的除法問題進(jìn)行處理；既然數(shù)學(xué)廣角定位在數(shù)學(xué)思想的感悟，那么學(xué)生應(yīng)用一一對應(yīng)思想成功解決問題的經(jīng)歷便是本課最大的價(jià)值。為此，筆者求簡重悟，進(jìn)行了以下的教學(xué)實(shí)踐與創(chuàng)新。

（一）循序感悟，完善活動經(jīng)驗(yàn)積累

植樹問題作為特殊的用除法解決問題，并非空降而來，自有其來龍去脈。靜心回溯，抬眼便見蘊(yùn)伏，比如：

（1）一個一個數(shù)，從3數(shù)到8，要數(shù)幾次？

（2）畫一條5厘米長的線段，從刻度3出發(fā)，要畫到刻度幾？

（3）爸爸出差，3月3日出發(fā)，3月8日回來，一共去了多少天？

以上3題都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見問題，看似風(fēng)馬牛不相及，其實(shí)就是間隔問題的雛形與生活原型，是系統(tǒng)學(xué)習(xí)植樹問題的基礎(chǔ)。如果將其轉(zhuǎn)化成線段圖，其共有的本質(zhì)就呼之欲出。

這里的數(shù)次數(shù)，計(jì)算經(jīng)過的天數(shù)，就是“棵數(shù)”，而畫線段是單位長度的累加，關(guān)注了“段數(shù)”。類似的題還有很多，且都有相應(yīng)的變式。這些從一年級開始就逐漸出現(xiàn)在我們眼前的學(xué)習(xí)材料，都是感悟植樹問題的良好載體，需要教師用足用好。如通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、比一比等活動積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，以期厚積薄發(fā)，本課亦不例外。

【課堂回眸】

1.情境呈現(xiàn)。

師：在一條長20米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，需要種幾棵？請你在練習(xí)紙上畫一畫，再列式算一算。

2.反饋匯報(bào)，整理驗(yàn)證三種情況。

（1）兩端都種。

黑板上學(xué)具驗(yàn)證，突出間隔5米。

（2）只種一端。

師：生活中什么情況下這一頭就不種了呢？（有障礙物）

師：障礙物還可能在哪里？（突出首尾）

師：能不能中間不種？（排除非間隔問題）

（3）兩端不種。

3.小結(jié)。

師：看來在同樣的條件下，生活中會出現(xiàn)這樣三種情況。

【片段分析】

通過畫一畫、算一算，學(xué)生能整體感知植樹問題的三種情況，了解生活中由于實(shí)際情況的不同，植樹的結(jié)果也會不同。這三種情況中，只種一端的情況需深入解讀。“可以頭不種，可以尾不種”，那學(xué)生自然會想到能不能中間不種，但中間不種的情況恰恰不是正解，從表面上看，不符合“每隔5米”的條件，從本質(zhì)上說，就不屬于間隔問題，看似隨口一問、順手一解，其實(shí)是對今天所研究問題的概念界定。

（二）另辟蹊徑，納入原有知識體系

植樹問題的本質(zhì)是間隔問題，歸屬于用包含除解決問題，只是要根據(jù)具體情況對商進(jìn)行微調(diào)。因此，教學(xué)可以從除法入手，與除法的意義建立關(guān)聯(lián)，將其納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【課堂回眸】

1.回顧舊知。

師：課前，同學(xué)們編了能用20÷5=4解決的數(shù)學(xué)問題，如：20個桃子，5個一筐，能裝多少筐？每盒牛奶5元，20元能買多少盒？想一想，為什么講的事情不一樣，卻都可以用20÷5=4來解決？

生：都是在求20里面包含了4個5。

2.新課學(xué)習(xí)（略）。

3.對比提升。

師：剛才我們研究了植樹中的數(shù)學(xué)問題，一起來回顧一下，明明是同樣的信息，為什么會出現(xiàn)不同的結(jié)果？

生：考慮生活實(shí)際，情況不同，答案也不相同。

師：答案不一樣，那有什么一樣的地方嗎？想一想，都是先求什么？

生：都是求段數(shù)，用除法。

師：為什么要用除法來算？

生：都是求20里面有幾個5。20米中，5米一段，有這樣的4段。

師：4段要種幾棵樹呢？

生：要根據(jù)生活實(shí)際來考慮棵數(shù)。如果是兩端都種，一棵一段，多出1棵要加1；如果只種一端，一一對應(yīng)，不加不減；如果兩端不種，少了1棵要減1。

師：植樹問題和學(xué)過的除法有什么不同呢？

小結(jié)：植樹問題本質(zhì)上就是除法問題，要根據(jù)實(shí)際情況對答案進(jìn)行調(diào)整。

【片段分析】

課堂伊始，教師出示了學(xué)生用20÷5=4編寫的數(shù)學(xué)問題，在這里有意識地選擇了包含除，目的是喚醒學(xué)生的認(rèn)知，同時也為后續(xù)與植樹問題進(jìn)行比較備好素材。對比提升環(huán)節(jié)，教師通過問題串的形式引發(fā)學(xué)生深入思考?！巴瑯拥男畔ⅲ瑸楹谓Y(jié)果不同？”指向植樹問題的現(xiàn)實(shí)背景，“答案不同，有相同的嗎？”意在發(fā)現(xiàn)它們的共通之處，“為什么用除法做？”揭示它的除法本質(zhì)，“4段要種幾棵？”關(guān)注了對商的處理。層層遞進(jìn)，串珠成鏈，引導(dǎo)學(xué)生將今日新知納入原有的知識體系，求同存異。

（三）圖式結(jié)合，切實(shí)體驗(yàn)一一對應(yīng)

學(xué)習(xí)植樹問題的關(guān)鍵，是用“一一對應(yīng)”的思想來分析兩個量之間的數(shù)量關(guān)系，完成從“段數(shù)”到“棵數(shù)”的轉(zhuǎn)化。因此，結(jié)合圖示理解算式的含義，通過對應(yīng)建立兩個量之間的關(guān)聯(lián)，是本課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)所在。

【課堂回眸】

1.兩端都種。

（1）理解算式的含義。

師：種了幾棵，你能用算式來表示嗎？生：20÷5＝4，4+1＝5。

師：20÷5＝4，這個4表示什么？

生：有4段，也就是20里面有4個5。

師：為什么要加1？結(jié)合圖給我們解釋解釋。

生：一棵樹對應(yīng)一段，右邊多出一棵要加1。

結(jié)合學(xué)具進(jìn)行操作（如圖）。

師：這兩個4一樣嗎？

生討論后得出結(jié)論：不一樣，第一個4表示4段，第二個4表示和4段一一對應(yīng)的4棵。

（2）探尋解決方法。

師：（課件呈現(xiàn)）如果接著往下種，25米要種幾棵？怎樣的6棵？

生：和5段一一對應(yīng)的5棵，和一一對應(yīng)后多出來的1棵。

師：（課件呈現(xiàn)）100米呢？

師：看著屏幕和黑板，如果兩端都種，怎么求棵樹？

生：棵數(shù)＝段數(shù)+1。

2.只種一端與兩端不種。

師：只種一端和兩端不種的情況下，棵數(shù)和段數(shù)又有怎樣的關(guān)系？為什么是怎樣的關(guān)系？選擇一種，和同桌一起畫畫圖，討論討論。

【片段分析】

20÷5＝4，4+1＝5，這兩個“4”是同樣的意思嗎？一開始，學(xué)生可能會發(fā)愣，但很快就會有所頓悟，在對比中發(fā)現(xiàn)第一個“4”作為除法的商，求的是“一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)”，是“段數(shù)”，而第2個“4”則是“棵數(shù)”，進(jìn)而思考“段數(shù)”是如何與“棵數(shù)”建立聯(lián)系的。通過學(xué)具的操作擺放，深刻體會“一一對應(yīng)”正是解決這個轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵所在。因此，關(guān)注到兩個“4”的區(qū)別，就關(guān)注到了兩個量之間的關(guān)系，就找到了體驗(yàn)植樹問題背后數(shù)學(xué)思想的抓手。

三、學(xué)以致用，尋找植樹問題的“形”

植樹問題很多時候并未清晰告知類型，是隱藏了提示語的，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來巨大困難，“上課熱熱鬧鬧，作業(yè)亂七八糟”也就能理解了。教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋找生活中植樹問題的應(yīng)用范例，讓學(xué)生能夠用學(xué)到的“植樹問題”的原理來解釋生活中的現(xiàn)象，充分感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。為此，筆者進(jìn)行了三個層次的練習(xí)設(shè)計(jì)。

（一）簡單應(yīng)用重對應(yīng)

師：先判斷下面的3件事分別屬于哪種情況，再列式計(jì)算。

（設(shè)計(jì)意圖：基礎(chǔ)練習(xí)提供了植樹問題的常見范例，具有典型性，將學(xué)生從“樹”的定勢中解脫出來。練習(xí)時重在引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際情況展開判斷，對商的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。）

（二）提升練習(xí)會聯(lián)想

師：這是寧波地鐵分布圖，請你當(dāng)當(dāng)小小設(shè)計(jì)師，為規(guī)劃中的地鐵線路設(shè)計(jì)站點(diǎn)。

（1）直線型。

師：為什么是兩端都設(shè)站點(diǎn)？

（2）環(huán)形。

師：環(huán)線是什么意思？其實(shí)就是哪種情況？你能想辦法證明嗎？

課件播放從環(huán)線到一端不設(shè)站點(diǎn)的變化過程。

（設(shè)計(jì)意圖：提高練習(xí)結(jié)合社會熱點(diǎn)，滲透環(huán)形的情況，并通過課件，演示了與“只種一端”之間的關(guān)聯(lián)。這一做法既再次突出了“一一對應(yīng)”思想，也促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識間的聯(lián)想。）

（三）拓展練習(xí)促深思

（1）101班正在進(jìn)行優(yōu)秀年畫展示，展出了6幅作品（如圖固定）。一共需要多少個磁鐵？（3+1）×（2+1）＝12（個）。（2）依然照這種方法固定，要展出12幅作品，最多需要（）個磁鐵？

（設(shè)計(jì)意圖：無論是直線型還是環(huán)形，都是一維平面上的植樹問題，拓展練習(xí)將這一問題推向二維，學(xué)生需要從長、寬兩個角度進(jìn)行思考，顛覆了學(xué)生的慣性思考，那還能不能推廣到三維呢？想必深思的種子會就此生根發(fā)芽、深入人心。）